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1、第 1 页 高中数学立体几何知识点归纳总结高中数学立体几何知识点归纳总结 一、立体几何知识点归纳一、立体几何知识点归纳 第一章第一章 空间几何体空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱， 棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱棱柱 1.1 棱柱棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边 都互相平行，由这些面所围成的几何体
2、叫做棱柱。 1.2 相关棱柱几何体系列相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱） 的关系： 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱 正棱柱 直棱柱 其他棱柱 四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形 长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体 1.3 棱柱的性质：棱柱的性质： 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 1.4 长方体的性质：长方体的性质： 长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的 平方和；【
3、如图】 2222 11 ACABADAA （了解）长方体的一条对角线与过顶点 A 的三条 1 AC 棱所成的角分别是，那么， l 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 E B D C A F B DE A FC C1D1 B1 C D AB A1 第 2 页 ，； 222 coscoscos1 222 sinsinsin2 （了解）长方体的一条对角线与过顶点 A 的相邻三个面所成的角分别是， 1 AC， 则，. 222 coscoscos2 222 sinsinsin1 1.5 侧面展开图侧面展开图：正 n 棱柱的侧面展开图是由 n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻 边的矩形.
4、 1.6 面积、体积公式：面积、体积公式：（其中 c 为底面周长，h 2 Sc h Sc hSSh 直棱柱侧 直棱柱全底棱柱底 ，V 为棱柱的高） 2.圆柱圆柱 2.1 圆柱圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴， 其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2 圆柱的性质：圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都 是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3 侧面展开图：侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长 和母线长为邻边的矩形. 2.4 面积、体积公式面积、体积公式： S圆柱侧圆柱侧=；S圆柱全=，V圆柱=S底h=（其中 r 为底面半径，h 为圆柱高）2 rh 2 22rhr
5、 2 r h 3.棱锥棱锥 3.1 棱锥棱锥有一个面是多边形，其余 各面是有一个公共顶点的三角形，由这 些面所围成的几何体叫做棱锥。 正棱锥如果有一个棱锥的底面 是正多边形，并且顶点在底面的射影是 底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2 棱锥的性质：棱锥的性质： 平行于底面的截面是与底面相似的正 多边形，相似比等于顶点到截面的距 离与顶点到底面的距离之比； 正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面 边长一半，构成四个直角三角形。 ） （如上图：为直角三角形）,SOBSOHSBHOBH 3.3 侧面展开图：侧
6、面展开图：正 n 棱锥的侧面展开图是有 n 个全等的等腰三角形组成的。 3.4 面积、体积公式：面积、体积公式：S正棱锥侧=，S正棱锥全=，V棱锥=.（其中 c 为底面 1 2 ch 1 2 chS 底 1 3 Sh 底 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 C A A O C O B B 上 上 上 上上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 O CD A B H S 第 3 页 周长，侧面斜高，h 棱锥的高） h 4.圆锥圆锥 4.1 圆锥圆锥以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所 围成的
7、几何体叫圆锥。 4.2 圆锥的性质：圆锥的性质： 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面 的距离之比； 轴截面是等腰三角形；如右图：SAB 如右图：. 222 lhr 4.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心， 以母线长为半径的扇形。 4.4 面积、体积公式：面积、体积公式： S圆锥侧=，S圆锥全=，V圆锥=（其中rl()r rl 2 1 3 r h r 为底面半径，h 为圆锥的高，l 为母线长） 5.棱台棱台 5.1 棱台棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥， 我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 5.2 正棱台的性质：
8、正棱台的性质： 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； 正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是 正多边形； 如右图：四边形都是直角, O MNO O B BO 梯形 棱台经常补成棱锥研究.如右图：，注意考虑相似比.SO M上SON,SOB上SOB上上 5.3 棱台的表面积、体积公式：棱台的表面积、体积公式：侧， （其中SSS上 上上上上 上S上上 1 S) 3 VSSS h 上上 上上上 是上，下底面面积，h 为棱台的高）, S S 6.圆台圆台 6.1 圆台圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 底面与截面之间的部分叫做圆台. 6.2 圆台的性质：圆台的性质： 圆台的上下底面，与底面平行的截面
9、都是圆； 圆台的轴截面是等腰梯形； 圆台经常补成圆锥来研究。如右图： ，注意相似比的应用.SO ASOB上上上 6.3 圆台的侧面展开图是一个扇环；圆台的侧面展开图是一个扇环； r r l l h h 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 A OB S 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 N M A C B D O CD AB S O l l 上 上 上 上 上 上 r r R R h h 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上
10、上 上 上 上 上 上 D O B O A C S 第 4 页 6.4 圆台的表面积、体积公式：圆台的表面积、体积公式：， 22 ()SrRRr l 上 上 V圆台圆台， （其中 r，R 为上下底面半径，h 为高） 22 11 S) 33 SSS hrrRRh上上上上上 7.球球 7.1 球球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. 或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称 球； 7.2 球的性质：球的性质： 球心与截面圆心的连线垂直于截面； （其中，球心到截面的距离为 22 rRd d、球的半径为 R、截面的半径为 r）
11、 7.3 球与多面体的组合体：球与多面体的组合体：球与正四面体，球与 长方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 7.4 球面积、体积公式：球面积、体积公式：（其中 R 为球的半径） 23 4 4, 3 SR VR 球球 例：（06 年福建卷）已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为，则正方体的 32 3 棱长为_ （二）空间几何体的三视图与直观图（二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形； 正视图正视图光线从几何体的前面向后面正投影，得到的
12、投影图； 侧视图侧视图光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图； 正视图正视图光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图； 注：（1）俯视图画在正视图的下方， “长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边， “高度”与正视图相等， “宽度”与俯视图。 （简记为“正、侧一样高，正、俯一样长， 俯、侧一样宽”. （2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。 3.直观图： 3.1 直观图直观图是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在 平行投影下画出的空间图形。 r r d d R R 上 上 上 上 上 上上 上 上 上 上 上 上 上 A O O1 B A
13、 CD B CD O AB O C A A c 第 5 页 3.2 斜二测法：斜二测法： step1：在已知图形中取互相垂直的轴 Ox、Oy， （即取 ） ；90 xoy step2：画直观图时，把它画成对应的轴，取，它们确定的 , o x o y 45 (135 )x o yor 平面表示水平平面； step3：在坐标系中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行 x o y 于 x 轴（或在 x 轴上）的线段保持长度不变，平行于 y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半。 结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是
14、原平面图形面积的倍倍. 2 4 解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图” . （2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和 棱画成虚线。 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 （一）（一） 平面的基本性质平面的基本性质 1.平面平面无限延展，无边界无限延展，无边界 1.1 三个定理与三个推论三个定理与三个推论 公理公理 1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 用途：常用于证明直线在平面内. 图形语言：图形语言： 符号语言：符号语言： 公理公理 2：不共线：不共线的三
15、点确定一个平面. 图形语言：图形语言： 推论推论 1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言：图形语言： 推论推论 2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言：图形语言： 推论推论 3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言：图形语言： 用途：用于确定平面。 公理公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （两个平面的交线）. 用途：常用于证明线在面内，证明点在线上. 图形语言：图形语言： 符号语言：符号语言： 形语言，文字语言，符号语言的转化：形语言，文字语言，符号语言的转化： 第 6 页 （二）空间图形的位置关系（二）空间图形的位置关系 1.空间直线
16、的位置关系：空间直线的位置关系： 共面:ab=A,a/b 异面:a与b异面 1.1 平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述： / , /ab bcac 1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补相等或互补。 1.3 异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线； （2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点 的直线是异面直线。 第 7 页 图形语言：图形语言： a A P 符号语言：符号语言：PAa P A a Aa 上上上 1.4 异面直线所成的角：（1）范围：；（2）作异面直线所成的角：平移法.0 ,90 如右图，在空间任取一点 O，过 O 作，则/ , /aa bb 所成的角为异面直线所成的角。特别地，找异面特别地，找异面, a b
