二元一次方程组知识点归纳[参考]

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1、二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元 一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一 次方程组。 注意注意 ：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！ 也可以由一个或多个二元一次方程单独组 成。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次 方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组

2、的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 1.有一组解 如方程组 x+y=5 6x+13y=89 x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解 如方程组 x+y=6 2x+2y=12 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“ 方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 3.无解 如方程组 x+y=4 2x+2y=10， 因为方程化简后为 x+y=5 这与方程 相矛盾，所以此类方程组无解。 一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种：消元的方法有两种： 代入消元法：代入消元法

3、：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另 一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 例：解方程组 x+y=5 6x+13y=89 解：由得 x=5-y 把带入，得 6(5-y)+13y=89 y=59/7 把 y=59/7 带入， x=5-59/7 即 x=-24/7 x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 基本思路：未知数又多变少。 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如 y）用含

4、 另一个未知数（例如 x）的代数式表示出来，即写成 y=ax+b 的形式，即“变” 2、将 y=ax+b 代入到另一个方程中，消去 y，得到一个关于 x 的一元一次方程，即“代”。 3、解出这个一元一次方程，求出 x 的值，即“解”。 4、把求得的 x 值代入 y=ax+b 中求出 y 的值，即“回代” 5、把 x、y 的值用联立起来即“联” 加减消元法加减消元法：像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 例：解方程组 x+y=9 x-y=5 解：+ 2x=14 即 x=7 把 x=7 带入 得 7+y=9 解得 y=-2 x=7 y =-2 为方程组的解 用加减消元法解二元一

5、次方程组的解用加减消元法解二元一次方程组的解 6、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适 当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。 7、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加 减”。 8、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“解”。 9、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即 “回代”。 10、把求得的两个未知数的值用联立起来，即“联”。 注意：注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。 教科书中没有的

6、几种解法教科书中没有的几种解法 (一一)加减加减-代入混合使用的方法代入混合使用的方法. 例 1, 13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把 y=2 代入(3)得 x=1 所以:x=1, y=2 特点:两方程相加减,单个 x 或单个 y,这样就适用接下来的代入消元. (二二)换元法换元法 例 2， (x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令 x+5=m,y-4=n 原方程可写为 m+n=8 m-n=4

7、 解得 m=6, n=2 所以 x+5=6, y-4=2 所以 x=1, y=6 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的 x+5,y-4 之类，换元后可简化方程也是主要原因。 （三）另类换元（三）另类换元 例 3， x:y=1:4 5x+6y=29 令 x=t, y=4t 方程 2 可写为：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以 x=1,y=4 重点重点 一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题） 内容提要 二、 解方程的依据等式性质 1a=ba+c=b+c 2a=bac=bc (c0) 三、 解法 1一元一次方程的解法：去分母去括

8、号移项合并同类项 系数化成 1解。 2 元一次方程组的解法：基本思想：“消元”方法：代入法 加减法 六、 列方程（组）解应用题 列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。 其具体步骤是：其具体步骤是： 审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 设元（未知数 ）。直接未知数间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 用含未知数的代数式表示相关的量。 寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是 相

9、同的。 解方程及检验。 答案。 综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实 际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。 二元一次方程组二元一次方程组练习题练习题 一、选择题：一、选择题： 1下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A3x2y=4z B6xy+9=0 C+4y=6 D4x= 1 x 2 4 y 2下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A 2 2 842311 9 . 23754624 xyxyab x BCD xybcyxxy 3二元一次方程 5a11b

10、=21 （ ） A有且只有一解 B有无数解 C无解 D有且只有两解 4方程 y=1x 与 3x+2y=5 的公共解是（ ） A 3333 . 2422 xxxx BCD yyyy 5若x2+（3y+2）2=0，则的值是（ ） A1 B2 C3 D 3 2 6方程组的解与 x 与 y 的值相等，则 k 等于（ ） 43 235 xyk xy 7下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） xy+2xy=7； 4x+1=xy； +y=5； x=y； x2y2=2 1 x 6x2y x+y+z=1 y（y1）=2y2y2+x A1 B2 C3 D4 8某年级学生共有 246 人，其中男生人数 y 比女生

11、人数 x 的 2 倍少 2 人，则下面所列的方程组中 符合题意的有（ ） A 246246216246 . 22222222 xyxyxyxy BCD yxxyyxyx 二、填空题二、填空题 9已知方程 2x+3y4=0，用含 x 的代数式表示 y 为：y=_；用含 y 的代数式表示 x 为： x=_ 10在二元一次方程x+3y=2 中，当 x=4 时，y=_；当 y=1 时，x=_ 1 2 11若 x3m32yn1=5 是二元一次方程，则 m=_，n=_ 12已知是方程 xky=1 的解，那么 k=_ 2, 3 x y 13已知x1+（2y+1）2=0，且 2xky=4，则 k=_ 14二元

12、一次方程 x+y=5 的正整数解有_ 15以为解的一个二元一次方程是_ 5 7 x y 16已知的解，则 m=_，n=_ 23 16 xmxy yxny 方方方方 三、解答题三、解答题 17当 y=3 时，二元一次方程 3x+5y=3 和 3y2ax=a+2（关于 x，y 的方程）有相同的解，求 a 的值 18如果（a2）x+（b+1）y=13 是关于 x，y 的二元一次方程，则 a，b 满足什么条件？ 19二元一次方程组的解 x，y 的值相等，求 k 437 (1)3 xy kxky 20已知 x，y 是有理数，且（x1）2+（2y+1）2=0，则 xy 的值是多少？ 21已知方程x+3y=

13、5，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为 1 2 4 1 x y 22根据题意列出方程组： （1）明明到邮局买 0.8 元与 2 元的邮票共 13 枚，共花去 20 元钱，问明明两种邮票各买了多 少枚？ （2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放 4 只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放 5 只，则 有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？ 23方程组的解是否满足 2xy=8？满足 2xy=8 的一对 x，y 的值是否是方程组 25 28 xy xy 的解？ 25 28 xy xy 24（开放题）是否存在整数 m，使关于 x 的方程 2x+9=2（m2）x 在整数范围内有

14、解，你能找 到几个 m 的值？你能求出相应的 x 的解吗？ 题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题 1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5 只，贤 计划用 132 米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身 和衣袖恰好配套 题型二、列二元一次方程组解决行程问题 2、甲、乙两地相距 160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 小时 20 分相 遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留 1 小时候后调转车头原速返回，在汽车再次出 发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多

15、少千米？ 3、一轮船从甲地到乙地顺流航行需 4 小时，从乙地到甲地逆流航行需 6 小时，那么一木筏由甲地漂 流到乙地需要多长时间？ 题型三、列二元一次方程解决商品问题 4、在“五一”期间，某超市打折促销，已知 A 商品 7.5 折销售，B 商品 8 折销售，买 20 件 A 商品 与 10 件 B 商品，打折前比打折后多花 460 元，打折后买 10 件 A 商品和 10 件 B 商品共用 1090 元。求 A、B 商品打折前的价格。 题型四、列二元一次方程组解决工程问题 5、某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把 200 千米以外的一条大河的水引到城市 中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为 50 天，甲、乙两队合作了 30 天后，乙队 因 另外有任务需要离开 10 天，于是甲队加快速度，每天多修 0.6 千米，10 天后乙队回来后，为了 保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修 0.4 千米，结果如期完成，问：甲、 乙两队原计划每天各修多少千米？ 题型五：列二元一次方程组解决增长问题 6、某中学现有学生 4200 人，计划一年后初中在校学生增加 8%，高中在校学生增加 11%，这样全 校在校生将增加 10%，则该校现在有初中生多少人？在校高中生有多少人？