冲击波第二讲课件

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1、1.3 理想流体运动方程组,没有扩散、粘性和热传导等耗散过程的流体称为理想流体。 (1.22),一维不定常流体运动,(1.51) 其中r是空间坐标，u是流体在r方向的运动速度，现为标量N=0、1、2分别对应平面、柱面、球面对称的情况。,在绝热运动情况下，能量方程可用方程等熵代替，流体动力学方程组可写为 (1.52),对于多方气体，状态方程为 ，于是绝热性方程就给出 ，所以多方气体的绝热运动的封闭方程组为 （1.53）,在等熵运动情况下，一维不定常理想流体运动方程组由两个微分方程和一个状态方程组成 （1.54）,在实际工作中，流体动力学方程组还可写为各种等价的形式。例如对于多方气体，可利用声速c

2、的表达式置换上式中的p和，把方程组写为u和c的方程： （1.55） 此方程组是封闭的，求解得出u(x，t)和c(x，t)之后，利用热力学关系就得到其他的状态量p=p(c)=p(x，t)和=(c)=(x，t),1.4 伯努力方程,在定常情况下，理想流体动量方程化为 （1.56） 根据矢量运算有 （1.57） 其中 是速度的旋度，速度矢量点乘的积为 （1.58） 而 所以等熵,因为矢量积垂直u，所以它在流线切线方向上的投影为零，于是沿流线有 （1.59） 这就是著名的伯努利方程，其中 称为伯努利常数。,在一维流动情况下，q2=u2，伯努利方程为 （1.60） 或者 （1.60a）,1.5 不可压缩

3、流体运动方程组,流体在什么条件可认为是不可压缩的？在绝热运动中，流体密度的变化可表为 在定常运动情况下，根据伯努利定律，压力变化其数量级正比于u2，故有 若 ，则流体就可视为是不可压缩的，由上看出，它成立的必要条件是流体的运动速度远小于声速： uc,对于不定常运动情况，还应满足 lc 和l分别对应流体速度发生显著变化所需的时间和距离。 现将=0代入理想流体质量、动量守恒方程，就得不可压缩流体运动方程组,在一维运动情况下，不可压缩流体动力学方程组化为 （1.61） （1.62） 其中N=0，1，2分别对应平面、柱面、球面对称的情况，对方程(1.61）可立即积分得 （1.63） 其中，f(t)是时

4、间t的任意函数。再用(1.63)式代人(1.62)式，积分得 （1.64）,例题 试求如下不可压缩流体一维球对称运动的解，设在半径rfrR的球形空间内充满不可压缩流体，在外界面R上作用着给定的压力p( t )，内界面rf为自由面(即该处p=0)，求流体在p( t )作用下的运动。例如一个金属球壳当外界面上受到高压作用时产生的运动就可近似归结为这样的问题。 解 根据内边界条件，由(1.64)式得,1.6 流体力学方程组的积分形式,积分形式的流体动力学力程组 (1.65),质量守恒方程,现令f= (1.66) 根据质量守恒方程(1.5)，上式右端被积函数等于零，于是得 (1.67),动量守恒方程,

5、令f=u (1.68) 用动量守恒方程代入上式右端，就得 (1.69) 当没有外力F=0，没有粘性应力=0时 (1.70),能量守恒方程,令 (1.71) 用能量守恒方程代入上式右端，就得到积分形式的能量守恒方程 (1.72) 在无热传导q=0，无粘性=0，无能源R=0，无外力F=0的情况下 (1.73),对于理想流体，积分形式的守恒方程组很简单 (1.74) 以上各式的物理含义很清楚，第一式表示体积V(t)内的质量永不变，第二式表示V(t)内的总动量的变化率等于体积表面积S(t)上所受压力的总合，第三式表示V(t)内的总能量的变化率等于周围介质通过压力单位时间内对该体积内介质所做的功。我们还

6、看到，以上各方程有一共同特点，等式左端是体积分，而等式右端均为面积分。,1.7 间断面及间断关系式,设有一运动的间断曲面，其方程为F(x，y，z，t)=0，在经过时间t之后该面上的点M(x，y，z)沿法线方向运动到曲面F( x，y，z，t+t)=0上的点M(x，y，z)处，记MM的距离为l，则有,另外 因 和 ，所以 于是，曲面F=0在质点M(x，y，z)处沿法线方向的速度为 (1.75),若曲面在M点的法线单位矢量记作n，则间断面F=0的速度矢量为D=Dn 现在来推导间断面上的关系式，设间断面上任意一块面积S*（t），它以速度D运动，取S*的外法向为D的正向，在S*的两边取两个表面S1( t

7、 )及S2( t )，它们如右图组成体积V( t )。设坐标原点取在面S*上，以l表示沿S*的法向n取的线坐标，并将面S1( t )及S2( t )到坐标原点的距离分别记作l1（t）及l2（t）。,任何一个物理量，在体积V( t )内的积分为 对上述积分求时间微商，得 其中f1及f2是函数f分别在l1及l2处的值。考虑到 ，其中un是坐标为l（t）的曲面S( t )的运动速度在法向n上的分量，并注意到dSn=dS，于是,上述积分的体积是某一时刻t时的体积V( t )，我们总可以将其两个表面取得无限靠近S*即S1 S*和 S2 S* ，同时保持S*仍位于S1与S2之间。另外，因为函数f只在间断面

8、S*上发生间断，故在S*之外的两边函数f是连续的，亦即两边的都是有限的。所以，当S1 S* ， S2 S* ，即l10 ，l20时，上式右端的前两项趋于零，于是得 （1.76） 这是一个很有用的公式，式中的体积V内含有一个间断面S*，在该面上函数f允许有间断。,间断面上的质量守恒关系式,令f=，代人(1.76)式，再考虑到积分形式的守恒方程（1.74)中的第一式，则得 因为面积S*的大小是任意的，所以上式要成立只有被积的函数为零，故得 或 （1.77） M相当于单位时间内流过间断面单位面积的流体质量。,间断面上的动量守恒关系式,令f=u，同样代入(1.76)式，再考虑到(1.74)式中的第二式

9、，得 由(1.74)式知，这里S(t)是体积V( t )的总表面积，即 ，当取极限 l10 ，l20时，这里最后一项侧面积趋于零，则S(t)S1+S2= S*(上)+ S*(下)。于是上式右端的面积分可以分为上下表面两部分，即 由此得 (1.78),上式可以分解为法向和切向两个方向的方程。注意到u=unn+utt，其中t是切向的单位矢量，un和ut分别为速度的法向和切向分量，于是(1.78)式给出 （1.79） （1.80） 以上就是间断面上的动量守恒关系式，再利用到(1.77)式，可将（1.79)式改写为 （1.81） 这里P表示流过间断面的动量流。同样，考虑到(1.77)式，由(1.80)

10、式给出 (1.82) 这说明穿过间断面时切向速度是连续的。,间断面上的能量守恒关系式,令，代人(1.76)式，再利用（1.74）式的第三式 或写为 （1.83） 将(1.83)式两端同时减去 ，然后除以M，再考虑到 和 ，则(1.83)式还可写为 （1.84）,关系式(1.77)、(1.81)、(1.82)及(1.83)或(1.84)就称为间断面关系式，它给出了物理量在间断面上所应满足的关系。例如，在冲击波面上就应满足以上关系。,间断面上熵的变化,设S是介质单位质量的熵，现令f=S。因为介质穿过间断面的过程是不可逆过程，故过间断面时熵总是增加的，所以有 于是根据（1.76）式得 即 （1.85

11、）,按图的定义，间断面速度D是朝向“l”一边的，并认为该方向为正，即D0。介质穿过间断面有两种情况。一种情况是介质由“l”区通过间断面进入“2”区，这时必然是u1nD0或u1n0，但不论哪种情况总有u1nD0，亦即M0，于是由(1.85)式得 Sl S20 我们暂把间断面叫做波面，把穿过它流走介质的一边叫做“波前”，流入介质的一边则叫做波后”。对u1nD0情况“1”区就为波前，“2”区为波后。以上不等式说明，波后的熵大于波前的。,另一种情况是介质由“2”区进人“1”区，D0，即M0，于是由(1.85)式得 Sl S20 因为现在“1”区是波后，所以这里也是波后的熵大于波前的。 以上结果说明，不

12、论哪种情况，间断面上的熵，总是波后的大于波前的。,接触间断面,当间断面与其两边的流体以相同速度运动，即D=u1n=u2n时，则有M=0，也就是没有质量流穿过间断面，这种间断面就称为接触间断面。对于接触间断面，关系式(1.77)自动满足，代替它的则是 u1n=u2n （1.86） 而由(1.81)式得到 p1=p2 （1.87） 所以，接触间断面两边的法向速度和压力是连续的,再由(1.80)式看到，对于接触间断，该式中的u1t及u2t可以取任意值，即(1.82)式不一定成立，而可以有u1tu2t，所以，接触间断面两边的切向速度可以是不连续的。同样，由（1.77）式看到，接触间断面两边的介质密度可

13、以是相同的，也可以是不相同的。于是，接触间断又可分为如下两类。,一类接触间断,一类是u1t=u2t的情况。这时，容易看出，（1.84）式将化为 已知p1=p2，所以假若再有1=2，则必然有e1=e2，这样一来，所有的物理量在界面上均连续，这与存在间断面的假设相矛盾。所以，当存在间断面时，必然有12。这一类切向速度连续而密度不连续的间断面又称为特殊间断。这里又包含两种情况，一种情况是间断面两边的物质是相同的，但其内能、温度、熵是不相等的；另一种情况则是两边的物质也不相同。,二类接触间断,另一类是u1tu2t的间断。这就是通常称为的切向间断。这种间断面两边的介质密度可以是相同的，也可以是不同的。另由(1.85)式看到，间断两边的熵也可以是任意的。,