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1、,复变函数与积分变换,电信系通信工程教研室 李广柱 电话：0731-84261483 手机：15973120248 QQ：46860236 Email：,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 2,课程简介,课程性质及特点 课时 教材及参考书 教学目标 要求 考核 主要讲授内容,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 3,课程简介1. 课程性质及特点,是包括通信工程专业在内的电子学专业的重要的基础课程，所涉及的知识是从事通信工程专业的人员需要了解和掌握的。 所需的基础知识：高等数学。 是后继课程，如“信号与系统”、“数字信号处理”、“通信原理”等课程的基础课。,
2、2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 4,课程简介,课时 24学时 教材及参考书 教材： 林益编：复变函数与积分变换，华中科技大学。,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 5,3. 主要参考书： 1). 西安交通大学. 复变函数, 高等教育出版社, 1996. 2). 焦红伟. 复变函数与积分变换，北京大学出版社, 2007. 3). 高宗升. 复变函数与积分变换，北京航空航天大学出版社, 2006.,课程简介,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 6,4. 教学目标： 学习和掌握复数和复变函数的基本概念； 掌握解析函数，及其导数、积分的概
3、念； 掌握复数级数、留数的概念； 掌握积分变换的定义和基本概念。,课程简介,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 7,课程简介,考核： 作业(20%)考试(80%) 学习纪律要求： 缺课达1/3者，不准参加期末考查； 缺作业1/3者，不准参加期末考查。 要求： 上课认真听讲，积极回答问题、参与讨论； 有问题及时问，不能积累； 作业独立按时完成。,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 8,7. 主要讲授内容 第一章 复数和复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数定理 第七章 傅里叶变换,课程简介,2020/10/14, 积
4、分变换与复变函数 第1讲 - 9,本次课讲述的内容,复数 复数的概念 复数的四则运算 复数的表示方法 复平面 复数的模与辐角 复数的三种表示方法 平面图形和区域的复数表示,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 10,复数的概念,为什么要引入复数的概念？,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 11,虚数单位的引入,实例：方程 x2 =-1 在实数集中是无解的，为了解这个方程，需要引入一个新数i，称之为“虚数单位”。且规定： (1). i2=-1； (2). i 可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算。,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 -
5、12,虚数单位的特性,虚数单位具有以下特性：根据定义可知，,一般地，若n是正整数，则：,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 13,复数的定义,对于任意两个实数x和y，称z=x+yi或z=x+iy为复数。其中x，y分别称为复数z的实部和虚部。 并记：x=Re(z)；y=Im(z)。在工程应用中常把Re称作求实部的运算或操作；Im称作求虚部的运算或操作。 当实部x=0，y0时，称z=iy为“纯虚数”； 当虚部y=0时，z=x+0i则可被视作实数x。,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 14,两个复数相等的条件,两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
6、 设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则： 复数z等于0，当且仅当它的实部和虚部同时等于0，即：,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 15,共轭复数的概念,两个复数，若它们的实部相同而虚部互为相反数，则它们为共轭复数。 设复数z=a+bi共轭复数记为 ，则可知：,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 16,复数的代数运算,设两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i，记： (1). 它们的和与差 (2). 它们的积,例：求复数z=a+bi ，与其共轭复数之积。 结论：两个共轭复数之积是个实数。,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲
7、 - 17,复数的代数运算,设两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i，记： (3). 它们的商 可见，复数的代数运算满足： 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 加法对乘法的分配律,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 18,共轭复数的性质,共轭复数满足以下性质： (1). (2). (3). (4).,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 19,例：将下列复数表示成x+yi的形式：,解：,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 20,例：设 ，求Re(z)，Im(z)和 。,解：,2020/10/14, 积分变换与复变函
8、数 第1讲 - 21,复数的性质,两个数如果都是实数,可以比较它们的大小，如果不全是实数，就不能比较大小，也就是说，复数不能比较大小。 观察复数i和0，由复数的定义可知i0； (1). 若i0，则ii0i，即-10，矛盾； (2). 若i0i，即-10，矛盾。 由此可见，复数中无法定义大小关系。,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 22,复平面的概念,注意到：复数z=x+iy与有序实数对(x,y)成一一对应关系。因此，一个建立了直角坐标系的平面可以用来表示复数，通常把横轴叫做实轴或x轴，纵轴叫做虚轴或y轴。这种用来表示复数的平面叫做复平面。,复数z=x+iy可以用复平面上的
9、点(x,y)表示。,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 23,复数的模,从复平面上的原点o到点z=x+iy所引的向量与复数z构成对应关系，复数z在复平面上也可以用向量 来表示，向量的长度称为z的模或绝对值，记为：,显然下列各式成立：,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 24,平行四边形法则,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致，满足平行四边形法则和三角形法则：,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 25,复数的辐角,在z0的情况下，由实轴正向到向量 之间的夹角 称为复数z的辐角，记为 。,任何一个复数z0都有无穷多个辐角，假
10、定 是其中一个辐角，则z的全部辐角为：,特别地，当z=0时，|z|=0，此时辐角不确定。,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 26,辐角的主值,在复数z(0)的辐角中，把满足 的辐角 称为Argz的主值，记为 。,思考：辐角主值是否唯一？辐角怎么求？,例：求复数 的辐角和辐角主值。,解：,因此，辐角主值为： 辐角为：,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 27,复数的辐角,复数z0时辐角的主值：,其中：,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 28,共轭复数的模和辐角,一对共轭复数 和 在复平面上的位置关于实轴对称，因此它们的模满足：,共轭
11、复数 和 的辐角主值满足什么关系？ (1). 若z=0，则辐角无意义； (2). 若z位于负实轴上，则： (3). 其它情况下，则有：,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 29,例：求 、 。,解：,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 30,复数的三种表示方法,前面已经学过，复数z可以表示成： 利用直角坐标和极坐标之间的关系： 可得： ，此所谓复数的三角表示法。,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 31,复数的三种表示方法,在三角表示法 的基础上，利用Euler公式 ： 可以将复数表示为： 此所谓复数的指数表示法。,2020/10/1
12、4, 积分变换与复变函数 第1讲 - 32,例：将下列复数表示成三角形式和指数形式：,解：,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 33,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 34,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 35,平面图形的复数表示,根据复数的几何意义可知， 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示；也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定平面图形。,例：将通过两点z1=x1+y1i和z2=x2+y2i的直线用复数形式的方程表示。,解：通过两点(x1,y1)和(x2,y2)的直线方程为：,2020/10/14, 积分
13、变换与复变函数 第1讲 - 36,平面图形的复数表示,所以它的复数形式的参数方程为：,因此，从z1到z2的直线段的方程为：,若取t=1/2，则可知线段的中点为：,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 37,例：求下列方程所表示的曲线。,解：方程 表示所有与复平面上的点-i距离皆为2的点的轨迹，可知该轨迹为原点为-i，半径为2的圆。若将z=x+yi代入可得：,由平面解析几何可知，该轨迹是个圆。,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 38,方程 表示所有与复平面上的点2i和点-2距离相等的点的轨迹，可知方程表示的是连接点2i和点-2的线段的垂直平分线。将z=x+
14、yi代入可得：,由平面解析几何可知，该轨迹是段直线。,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 39,方程 所表示的轨迹直接看不出，可将z=x+yi代入得：,由平面解析几何可知，该轨迹也是段直线。,方程 表示与x轴夹角为 的一段射线，该射线不包括原点。,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 40,例：指明下列不等式所确定的轨迹或所在范围，并作图。,解：通常在求轨迹或者画图时，可以先利用辐角的几何意义直接判断；当该方法不适用时，可以将z=x+yi代入，从而将复条件转化为关于x、y的实条件，利用平面解析几何的知识进行判断。,2020/10/14, 积分变换与复变函数
15、 第1讲 - 41,显然，该表达式无法直接看出它的轨迹或者区域，因此将z=x+yi代入上式，可得：,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 42,利用辐角的几何意义可以得知，该方程表示的区域为：,利用模的定义可知，该方程表示的区域为：,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 43,由于 表示到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，根据平面解析几何可知是个椭圆，因此不等式表示的即为该椭圆的内部区域。,可知，该不等式表示的是圆环形区域。,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 44,扩充复平面,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面。 不包括无穷远点在内
16、的复平面称为有限复平面, 或简称复平面。 对于复数来说，实部、虚部、辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大。,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 45,无穷大的四则运算,(1). 加法：,(2). 减法：,(3). 乘法：,(4). 除法：,(6). 复平面上的每一条直线都通过。,(5). 、 、 、 皆无意义。,思考：是否任意复数都有辐角?,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 46,小结,复数 复数的概念 复数的四则运算 复数的表示方法 复平面 复数的模与辐角 复数的三种表示方法 平面图形和区域的复数表示,2020/10/14, 积分变换与复变函数 第1讲 - 47,作业：,习题1(*表示选做)： 1. (2), (3), (6),(8) 3. 5. (1
