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1、1,激光原理与技术原理部分,第3讲 光线传输矩阵,2,3.0 光线的传播,光线？ 几个前提 几何光学意义上的光线0 近轴光线近似 光学元件绕光轴旋转对称 均匀介质,3,3.0 光线的传播,坐标系及方向的规定 光线在光轴上方，r0；反之，r0；反之，r0；,4,3.1 简单光学元件光线传输矩阵,1.通过厚度为d的均匀介质,5,f0，相对于凸透镜 f0，相对于凹透镜,3.1 简单光学元件光线传输矩阵,2.通过焦距为f的薄透镜,6,3.1 简单光学元件光线传输矩阵,3.不同介质介面（平面）,7,3.1 简单光学元件光线传输矩阵,4.不同介质介面(球面),8,（1）R0,凹反射镜 （2）R0,凸反射镜
2、 （3）R趋于无穷,平面镜,一个曲率半径为R的球面反射镜对光线的作用相当于一个焦 距f=R/2的薄透镜,3.1 简单光学元件光线传输矩阵,5.球面反射镜,9,3.2 复杂光学系统光线传输矩阵,例：求解通过长度为d的均匀介质后， 再透过一个薄透镜的光线传输情况。,10,习题,试推导厚透镜光线传输矩阵,11,激光原理与技术原理部分,第4讲 光线稳定条件 类透镜介质中的光线方程与波动方程,12,4.1 透镜波导光线稳定条件,透镜波导:由焦距为f1和f2的透镜相互间隔d周期性排列而成，称为双周期透镜波导。,13,同理，从N面到S面的光线传播情况,4.1 透镜波导光线稳定条件,从S面到N面的光线传播情况
3、,14,4.1 透镜波导光线稳定条件,综合可得到从S面到S+1面的光线传播情况,15,将矩阵形式的传播方程写成方程组的形式 可得到递推关系,4.1 透镜波导光线稳定条件,16,该式为决定光线在双周期透镜波导内传播规律的差分方程，等价于微分方程： 该方程具有 的解，用 作为试探解对差分方程进行试探，可得到：,4.1 透镜波导光线稳定条件,17,4.1 透镜波导光线稳定条件,双周期透镜波导的光线稳定条件 当为实数时，光线与光轴的距离在rmax和-rmax之间振荡；即光线传播被约束在透镜孔径形成的波导之中，不会发生溢出。 为实数等价于|b|1，即： 由相同焦距的薄透镜构成的周期透镜波导称为相同周期透
4、镜波导，即f1=f2=f； 相同周期透镜波导的稳定条件为：,18,4.1 球面反射镜腔光线稳定条件,光线在球面反射镜之间的传播 根据光线传播矩阵可以写出第2次反射后的光线状态为：,19,4.1 球面反射镜腔光线稳定条件,在腔内经过N次往返之后的光线参数为： 其中Tn为光线矩阵，可以按照矩阵理论求出： 其中： 从推导过程可以看出，近轴光线在两个反射镜间传输的传输矩阵与光线的初始位置无关，因此可以用传输矩阵来描述任意近轴光线的传输特性。,20,4.1 球面反射镜腔光线稳定条件,由前述可知一个半径为R的球面反射镜等效于一个焦距为F=R/2的透镜,则上述的两个球面反射镜可以等效为由两个焦距分别为R1/
5、2和R2/2，距离为L的透镜构成的双周期透镜波导，由双周期透镜波导的光线稳定性条件可以得到反射镜系统的稳定条件：,21,1. 薄透镜的聚焦机理 一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离r2成正比的相位超前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞后量。到达焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相当于一个平面的相位变换器。 离轴距离为r的相位提前量为 经过透镜后的光场,4.2 类透镜介质,22,4.2 类透镜介质,2.类透镜介质 折射率满足 的介质称为类透镜介质。 其中0为介质轴线上的折射率；k0是轴线上的波数；k2是与介质、工作状态以及外界泵浦能量有关的常数。 在Nd：YAG
6、固体激光器中，当激光其处于运行状态时，由于发热造成工作物质内部沿径向产生温度分布： 在实验上和理论上都证实了工作物质的 折射率随温度发生变化： 可见工作状态下的Nd：YAG工作物质是一种二次折射率介质。,23,3. 光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播 程函(eikonal)方程： 光线的传播方向，就是程函 变化最快的方向 在讨论光线和几何光学的强度时，可以推导出光线的微分方程（光线方程），其中 为光线上某点到另外一点的长度，而 是该点的位置矢量 ： （1）均匀介质 解方程得： 上式代表一个矢量直线方程，即直线沿着 的方向并 通过 点，因此，在均匀通行介质中，光线是直 线传播的,4.3 光线
7、的传播：光线方程,24,4.3 光线的传播：光线方程,（2）类透镜介质 当考虑近轴光线近似 光线方程可以写成： 在二次折射率介质中，由于(x,y)没有轴向分布，只有径向分布，因此 ，而由类透镜介质的折射率表达式可得到： x,y都是独立变量，因此有： 为了简化讨论，取y-z平面上的光线 讨论，并以r代替y，得到近轴光线的 微分方程,25,（1）k20 微分方程的解为 若考虑光线入射初始条件为 ，则可以求出 ，因此微分方程的解可以写成：,4.3 光线的传播：光线方程,如右图的曲线可以代表在类透镜介质中传播的光线，只是在幅度上作了夸大。从该方程可以得出结论：当k20时，类透镜介质对光线起汇聚作用，相
8、当于正透镜。,26,4.3 光线的传播：光线方程,(2)k20 当k20时，光线微分方程的解可以表示为： 从方程可以得出结论，随着z的不断增加，r(z)不断增大，当 ，因此k20的类透镜介质对光线具有发散性，类似于负透镜的作用。,27,练习：证明2-1-39式,28,4.4 光束的传播：波动方程,类透镜介质中的波动方程 在各向同性、无电荷分布的介质中，Maxwell方程组的微分形式为：,对2式求旋度：,且由3式：,在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即,综合上三式可以得到,假设折射率n的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：,代入(4)式,波动方程 也称亥姆
9、霍兹方程,29,4.4 光束的传播：波动方程,当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：,当 代表吸收介质， 代表增益介质,上式表示复数波数，我们考虑波数表示形式为,其中k0、k2都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置r和介质的特性k2都有关系。由波数的定义： 可以得到n(r)的表达式：,的情况,该表达式就是类透镜介质的折射率表达式，证明我们考虑的k(r)表达式代表的正是在类透镜介质中的情况。,级数展开,30,4.4 光束的传播：波动方程,下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。可以假设光场的横向
10、分布只与 有关，因此波动方程中的算符 可以表示为： 我们假设 ，其中a为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为： 其中e-ikz表示波数为k的严格平面波；,31,4.4 光束的传播：波动方程,为了研究修正平面波，我们引入了修正因子 ，它包含了相位和振幅修正两部分。 该修正因子满足慢变近似： 将这些相关假设带入波动方程可以得到： 令修正因子取以下形式：,为什么取这种形式？这是对波动方程进行长期研究得到的解，既满足方程，又有明确的、能够被实验证实的物理意义。,32,4.4 光束的传播：波动方程,通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到： 该方程对不同r都成立，因此r的各次项系数应该为零，整理得到： 该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。,
