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1、专题11 四边形问题专题11四边形问题【考点1】多边形的内角和与外角和【例1】（2019云南中考真题）一个十二边形的内角和等于( )A2160B2080C1980D1800【答案】D【解析】【分析】根据多边形的内角和公式进行求解即可.【详解】多边形内角和公式为，其中为多边形的边的条数，十二边形内角和为，故选D.【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键.【变式1-1】（2019福建中考真题）已知正多边形的一个外角为36，则该正多边形的边数为( ).教育精品A12B10C8D6【答案】B【解析】【分析】利用多边形的外角和是360，正多边形的每个外角都是36，即可求出答案
2、【详解】解：3603610，所以这个正多边形是正十边形故选：B【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理是需要识记的内容【变式1-2】（2019四川中考真题）如图，六边形的内角都相等，则_【答案】60【解析】【分析】先根据多边形内角和公式求出六边形的内角和，再除以6即可求出的度数，由平行线的性质可求出的度数【详解】解：在六边形中，故答案为：60【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质等，解题关键是能够熟练运用多边形内角和公式及平行线的性质【考点2】平行四边形的判定与性质的应用【例2】（2019四川中考真题）如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（ ）教
3、育精品A28B24C21D14【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案.【详解】解：四边形是平行四边形，平行四边形的周长为28，是线段的中垂线，的周长，故选：D【点睛】本题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中垂线定理.【变式2-1】（2018山东中考真题）如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，.添加一个条件使四边形为平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）教育精品ABCD【答案】D【解析】【分析】把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项添加D选项，即可证明
4、DECFEB，从而进一步证明DCBFAB，且DCAB，则四边形ABCD是平行四边形.教育精品【详解】FCDE，CDAF，在DEC与FEB中，DECFEB（ASA），DCBF，CEBF，ABDC，ABBF，DCAB， 四边形ABCD为平行四边形故选D.【点睛】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键平行四边形的判定方法有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.教育精品【变式2-2】（2019江苏中
5、考真题）如图，在ABCD中，点M，N分别是边AB，CD的中点求证：AN=CM【答案】见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得.【详解】四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CDM，N分别是AB、CD的中点，CN=CD，AM=AB，CNAM，四边形ANCM为平行四边形，AN=CM【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据条件选择适当的判定方法是解题关键.【变式2-3】（2018江苏中考真题）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF教育精品（1）求证：四边形ACDF是平行四边
6、形；（2）当CF平分BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.【解析】分析：（1）利用矩形的性质，即可判定FAECDE，即可得到CD=FA，再根据CDAF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；教育精品（2）先判定CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD教育精品详解：（1）四边形ABCD是矩形，ABCD，FAE=CDE，E是AD的中点，AE=DE，又FEA=CED，FAECDE，CD=FA，又CDAF，四边形ACDF是平行四边形；（2）BC=2CD证明：CF平
7、分BCD，DCE=45，CDE=90，CDE是等腰直角三角形，CD=DE，E是AD的中点，AD=2CD，AD=BC，BC=2CD点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的教育精品【考点3】矩形的判定与性质的应用【例3】（2019内蒙古中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂足为点，且平分，则的长为_.教育精品【答案】【解析】【分析】由矩形的性质可得AO=CO=BO=DO，可证ABEAOE，可得AO=AB=BO=DO，由勾股定理
8、可求AB的长教育精品【详解】解：四边形是矩形，平分，且，（），且，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的关键【变式3-1】（2019湖北中考真题）在中，分别是的中点，连接求证：四边形是矩形；请用无刻度的直尺在图中作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析.【解析】【分析】首先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断连接交于点，作射线即可【详解】证明：分别是的中点，四边形是平行四边形，四边形是矩形连接交于点，作射线，射线即为所求【点睛】本题考查三角形中位线定理，矩形的
9、判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.教育精品【变式3-2】（2019山东中考真题）如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG AE ，连接 CG 教育精品（1）求证： ABECDF ；（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）时,四边形EGCF是矩形，理由见解析.【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，ABCD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出ABE=CDF，证出BE
10、=DF，由SAS证明ABECDF即可；教育精品（2）证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AGOB，OEG=90，同理：CFOD，得出EGCF，由三角形中位线定理得出OECG，EFCG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论教育精品【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，OB=OD，OA=OC，ABE=CDF，点E，F分别为OB，OD的中点，BE=OB，DF=OD，BE=DF，在ABE和CDF中，（2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：AC=2OA，AC=2AB，AB=OA，E是OB的中点，AGOB，OEG=90，同理：CFOD，AGCF，E
11、GCF，EG=AE，OA=OC，OE是ACG的中位线，OECG，EFCG，四边形EGCF是平行四边形，OEG=90，四边形EGCF是矩形【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.教育精品【考点4】菱形判定与性质的应用【例4】（2019辽宁中考真题）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，DC的中点，若BD4，EF3，则菱形ABCD的周长为_教育精品【答案】.【解析】【分析】连接AC，利用三角形的中位线定理求得AC的长，从而利用菱形的性质求得AO和BO的长，利用勾股定理求得边长后即可求得周长教育精品【详
12、解】解：如图，连接AC，E，F分别是AD，DC的中点，EF3，AC2EF6，四边形ABCD为矩形，BD4，ACBD，AO3，BO2，AB，周长为，故答案为：【点睛】考查了菱形的性质，解题的关键是了解菱形的对角线互相垂直平分，难度不大【变式4-1】（2019广西中考真题）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则_教育精品【答案】【解析】【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求，再根据勾股定理求出，然后由菱形的面积即可得出结果.【详解】四边形是菱形，；故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解题的
13、关键.【变式4-2】（2019浙江中考真题）如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点、在菱形的对角线上. 教育精品（1）求证：； （2）若为中点，求菱形的周长。【答案】（1）证明见解析；（2）8.【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到EH=FG，EHFG，得到GFH=EHF，求得BFG=DHE，根据菱形的性质得到ADBC，得到GBF=EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；教育精品（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD=BC，ADBC，求得AE=BG，AEBG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB=EG，于是得到结论教育精品【详解】（1）四边形EFGH是矩形，EH=FG，EHFG，GFH=EHF，BFG=180-GFH，DHE=180-EHF，BFG=DHE，四边形ABCD是菱形，ADBC，GBF=EDH，BGFDEH（AAS），BG=DE；（2）连接EG，四边形ABCD是菱形，AD=BC，ADBC，E为AD中点，AE=ED，BG=DE，AE=BG，AEBG，四边形ABGE是平行四边形
