高中数学人教a版必修1学案1.3函数的基本性质

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1、word 1.3 函数的基本性质 【入门向导】数学与科技 根据人类消耗的能源结构比例图的图象，简要说明近150 年来人类消耗的能源结构变化 情况，并对未来100 年能源结构的变化趋势作出预测 由图象可以看出近150 年来人类消耗木材比例一直减少；消耗的煤炭比例先逐渐增多， 到 1940 年左右达到最大值，以后又逐渐变少；从1880 年左右开始消耗石油，到1990 年左 右所占比例达到最大值，以后又逐渐减少；天然气从1900 年左右开始应用于能源，所占比 例一直在逐渐增大，核能从1980 年左右开始被应用，所占比例逐渐增大太阳能呢？ 从图象可以看出100 年内， 木材一般不会再作为能源消耗，煤炭

2、、 石油所占比例在逐渐 变小， 天然气、 核能所占比例在逐渐增大，新开发的能源，水化物和太阳能所占比例也逐渐 增大 解读函数的单调性 一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质 1这个区间可以是整个定义域如yx 在整个定义域 (， )上是单调递增的， y x 在整个定义域(， )上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质 2这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如yx 22x1 在整个定义域 (， )上不具有单调性，但是在(， 1上是减函数，在(1， )上是 增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质 3有的函数无单调性如函数y 1，x为有理数， 0，x为无理数， 它

3、的定义域是 (， )，但无 单调性可言，又如y x2 1，x0,1,2 ，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上 具有单调性 二、单调性的证明与判断 函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法严格按照单调性定义进行证明主要步 骤有如下五步： (1)取值：定义域中x1，x2的选取，选取 x1， x2时必须注意如下三点： x1，x2取值的任意性，即“任意取x1，x2”中，“任意”二字不能省略或丢掉，更不 可随意取两个特殊值替代x1，x2； x1与 x2有大小，一般规定x1x2； x1与 x2同属一个单调区间 (2)作差：指求f(x2)f(x1) (3)变形：这一步连同下一步“定号”是单调性证明与

4、判定的核心内容，即将中的差 式 f(x2)f(x1)进一步化简变形，变到利于判断 f(x2)f(x1)的正负为止常用的变形技巧有： 通分、因式分解、有理化、配方等一般变形结果是将和差变形为积商，这样才便于定号 (4)定号：根据变形结果，确定f(x2)f(x1)的符号 word (5)判断：根据 x1与 x2的大小关系及 f(x1)与 f(x2)的大小关系， 结合单调性定义得出结论 例 1 证明：函数yx3(xR)是增函数 证明设 x1， x2是 R 上的任意两个实数，且x1x2，则 f(x1)f(x2)x 3 1x 3 2(x1x2)(x 2 1x1x2x 2 2) (x1x2)(x1 1 2

5、x2) 23 4x 2 2 x1x2， x1 x20. f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 函数 yx3(xR)是增函数 三、单调区间的求解 1本节单调区间的求解主要是观察法得单调区间再进行证明，或者是图象法求出单调 区间，对于利用定义探索函数单调区间问题，由于难度大， 要求不可过高， 适当了解即可 (单 调区间的求解问题随着进一步学习，我们会找到更简单快捷的方法 导数法 ) 2书写单调区间时，注意区间端点的写法 对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言， 因此在写单调 区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时 就必须

6、去掉端点，因此，书写单调区间时，不妨约定“能闭则闭，须开则开” 函数奇偶性学法指导 一、学习要点 1要注意准确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题： (1)定义域在数轴上关于原点对称，方可讨论函数f(x)的奇偶性 (2)f(x) f(x)或 f(x)f(x)是定义域上的恒等式 2奇、偶函数的定义是判断奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需 要先将函数进行化简或应用定义的等价形式，即：f( x) f(x)? f( x) f(x)0? f x f x 1(f(x) 0) 3奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形，反 之亦成立因此也可以利用函数图象的

7、对称性去判断函数的奇偶性和简化一些函数图象的画 法 4按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数 5在公共定义域内： (1)奇函数与奇函数的和(差)仍是奇函数；偶函数与偶函数的和(差)仍是偶函数；非零的 奇函数与偶函数的和(差)是非奇非偶函数 (2)奇函数与奇函数的积(商)是偶函数；偶函数与偶函数的积(商)是偶函数；奇函数与偶 函数的积 (商)是奇函数 以上两条同学们可以自行验证 6 设 f(x)是定义域关于原点对称的一个函数，则 F1(x)f(x) f(x)为偶函数， F2(x)f(x) f(x)为奇函数 7奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同，偶函

8、数在其定义域内关于 原点对称的区间上单调性相反 二、典型例题选析 例 2 当 a，b，c 满足什么条件时，函数 f(x)ax 2 bxc 是：(1)奇函数； (2)偶函数； (3) word 既奇又偶函数；(4)非奇非偶函数 解(1)若是奇函数，应有f( x) f(x)， 于是有 ax2bxc ax2 bxc， 即 ax2 c0 对定义域内所有实数都成立， 所以只有 ac0. (2)若是偶函数，则有f(x)f(x)，于是有 ax 2bxcax2bxc， 即 2bx0 对定义域内所有实数都成立， 所以只有 b0. (3)若既是奇函数又是偶函数， 则由 (1)和(2)知 ab c0. (4)若是非

9、奇非偶函数，则f( x)f(x)，f(x)f(x)， 即 ax 2bxcax2 bxc， ax 2bxcax2bxc ? ax 2c0， bx0 ? a0或c0， b0. 所以 a0 且 b0 或 c0 且 b0 时， f(x)为非奇非偶函数 例 3 已知 f(x) ax5bx3cx8，且 f(2)10，求 f(2)的值 解令 g(x)f(x)8ax5bx 3cx， 显然 g(x)是奇函数，即g(2) g(2) 又 g(2)f(2)818， 所以 f(2)g(2)8 26. 判断函数奇偶性的常见错误 一、忽略定义域出错 例 4 判断 f(x) x 4 x3 1 x 的奇偶性 错解因为 f(x)

10、x 4x3 1x x 3 1x 1x x3， 显然 f(x) f(x)，故 f(x)为奇函数 剖析判断函数奇偶性，首先要看函数的定义域，若定义域是关于原点的对称区间，则 函数可能具有奇偶性；否则，函数一定不具有奇偶性其次，要看f(x)与 f(x)之间的关系 正解函数的定义域为x|x1 显然，它的定义域不关于原点对称，于是该函数为非 奇非偶函数 二、忽视对参数的讨论 例 5 判断函数f(x)x2|xa|1(aR)的奇偶性 错解显然函数定义域为R. 因为 f(a)a21，f( a)a22|a|1， 所以 f(a)f(a)，且 f(a)f(a)， 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 剖析此解法

11、错在没有对参数进行讨论，未考虑到a 0 这种特殊情形， 以致解题出错 正解当 a0 时， 函数 f(x)( x)2|x|1 x2|x|1 f(x)， 此时 f(x)为偶函数；当a0时， f(a)a 2 1，f(a)a22|a|1， f(a)f(a)，f(a)f(a)， 此时 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 word 三、忽视特殊函数f(x)0 的存在 例 6 判断函数f(x)1x2x21的奇偶性 错解定义域为 1,1 ，关于原点对称 又 f(x)1 x 2 x 21 1x2x21f(x)， 所以函数 f(x)是偶函数 剖析上述解法忽视了定义域关于原点对称的函数f(x)0，既是奇函数又是偶函

12、数 正解函数定义域为 1,1 ，此时 f(x)0， 因而 f(x)既是奇函数又是偶函数 四、不明分段函数奇偶性概念致错 例 7 判断 f(x) x 22x3， x0， 的奇偶性 错解当 x0 时， x0， f(x)(x) 22( x) 3 (x22x3) f(x) 当 x0， f(x) (x) 2 2(x)3 (x22x 3) f(x) 所以 f(x)是奇函数 剖析尽管对于定义域内的每一个不为零的x，都有 f(x) f(x)成立，但当x0 时， f(0)3f(0)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 断函数单调性的方法 一、用定义证明函数的单调性 例 1 证明：函数f(x)x在定义域上

13、是减函数 证明f(x)x的定义域为 0， )， 设 0 x10， 且 f(x2)f(x1)( x2)(x1)x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1x2 x1 x2， x1x20， f(x2)f(x1)0， 即 f(x2)f(x1) f(x)x在定义域 0， )上是减函数 点评(1)有的同学认为由0 x1x2，得 0 x1 x2多么直接呢，其实这种证明方法不 正确，因为我们没有这样的性质作依据其次，这种证明利用了函数yx的单调性，而y x的单调性，我们没有证明，因此不能直接使用 (2)在本题的证明中，我们使用了“分子有理化 ”这种证明技巧，在今后的学习中，我 们还会经常遇到， 因此

14、要注意观察这类题目的结构特点，在今后的学习中学会使用这种方法 例 2 已知定义在 (0， )上的函数 f(x)对任意 x，y(0， )，恒有 f(xy)f(x)f(y)， 且当 0x0，判断 f(x)在(0， )上的单调性 分析抽象函数单调性的判断要紧扣定义，并且要注意对原题条件的应用 word 解设 x1，x2(0， )且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)f(x 1 x2 x2)f(x2) f(x 1 x2)f(x2)f(x2)f( x1 x2) x1，x2(0， )且 x1x2， 0x 1 x20. f(x1)f(x2) f(x)在(0， )上是减函数 二、利用已知函数的单调性判断较复

15、杂函数的单调性 例 3 求函数 f(x)x 2a x (a0)的单调区间 分析此函数可化为f(x) x a x，可根据 y1 x的单调性判断 解f(x) x2a x x a x. a0，y a x 的单调递减区间是( ，0)和(0， )， y x 在 R 上单调递减， f(x) x 2 a x (a0)的单调区间是(，0)和 (0， ) 点评运用已知的结论，直接得到函数的单调性如一次函数、二次函数、反比例函数 的单调性均可直接说出了解以下结论，对于直接判断函数的单调性有好处： 函数 y f(x)与函数 yf(x)在相对应的区间上的单调性相反 当 f(x)恒为正或恒为负时，函数y 1 f x 与

16、 yf(x)在相对应的区间上的单调性相反 在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数等 三、图象法 例 4 求函数 y x22|x|3 的单调区间 分析“脱去 ”绝对值符号，画出函数图象，由图象观察得出 解当 x0 时， y x22x3 (x1)2 4； 当 x0 时， y x 22x 3 (x1) 24. 画出图象如图所示： 故在 (， 1和0,1上，函数是增函数； 在1,0和1， )上，函数是减函数 函数单调性的应用 一、比较大小 例 5 若函数 f(x)x2mxn，对任意实数x 都有 f(2x)f(2x)成立，试比较f(1)， f(2)，f(4)的大小 解依题意可知f(x)的对称轴为x2， f( 1)f(5) f(x)在2， )上是增函数， word f(2)f(4)f(5)， 即 f(2)f(4)f(1) 点评(1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函 数中自变量小函数值反而变大； (2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量