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1、二次函数 （一）、课标要求,知识点归纳：,1、二次函数的定义 一般地，形如 yax2bxc(a，b，c 为常数，a0)的函数， 叫二次函数其中，x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二 次项系数、一次项系数和常数项 2、二次函数的自变量的取值范围 （1）一般情况下，二次函数的自变量的取值范围是全体实数如 二次函数 y2x2x1，y=x22，它们的自变量 x 的取值范围 为全体实数 （2）实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围还必须使 实际问题有意义 如圆的面积S 与圆的半径r 的关系式Sr2 是一个二次函数， 自变量 r 的取值范围是 r0，这里 r 不能小于或等于 0 3、回顾学过的
2、函数 一次函数 ykxb(k0)，其中包括正比例函数 ykx(k0). 反比例函数(k0)，二次函数 yax2bxc(a0)，这些 函数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系,领军教育,/ 9,1,一对一讲义,二次函数 y=ax2bxc 的图象与性质 知识归纳: 1、用配方法可把 y=ax2bxc(a0)化成 y=a(xh)2k 的形式， 因此 y=ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，形状与 y=ax2 的形 状相同，只是位置不同,2、y=ax2bxc 配方为,，故抛物线 y=ax2,bxc 的顶点为，对称轴为直线 3、二次函数 y=ax2bxc 的图象与性质如下：,当 a0 时，抛物线
3、y=ax2bxc 的开口向上，,时，,y 随 x 的增大而减小；,时，y 随 x 的增大而增大；,时，y 有最小值,，则抛物线的顶点是其最低点,当 a0 时，抛物线 y=ax2bxc 的开口向下，,时，,y 随 x 的增大而增大；,时，y 随 x 的增大而减小；,时，y 有最大值 ，则抛物线的顶点是其最高点 二次函数 y=a(xh)2k 的图象与性质 知识归纳: 1、二次函数 y=a(xh)2k(a0)的图象是一条抛物线，它的形状 与 y=ax2(a0)的形状相同，只是位置不同抛物线 y=a(xh)2k 的顶点是(h，k)，对称轴是直线 x=h,/ 9,2,2、二次函数 y=a(xh)2k(a
4、0)的性质如下： 当 a0 时，若 xh，则 y 随 x 的增大而增大；当 x=h 时，y 有最小值 k； 当 ah，则 y 随 x 的增大而减小；当 x=h 时，y 有最大值 k 3、抛物线 y=a(xh)2k(a0)与 y=ax2(a0)的关系 抛物线 y=ax2 向右(h0)或向左(h0)或向下(k0)平移|k| 个单位得抛物线 y=a(xh)2k （二）、知识要点 二次函数解析式的几种形式： 一般式： y ax 2 bx c （ 、 、 为常数， ） abca0 顶点式： y a(x h)2 k （ 、 、 为常数， ），其中（ ， ）为顶点坐标。 a h ka0h k 交点式： y
5、a(x x1 )(x x2 )，其中 x1，x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标，即一 元二次方程 ax 2 bx c 0 的两个根，且a0，（也叫两根式）。 二次函数 y ax bx c 的图象 2 二次函数 y ax 2 bx c 的图象是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线，几个 y 不同的二次函数，如果 a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只 是位置不同。 任意抛物线 y a(x h)2 k 可以由抛物线 y ax 2 经过适当的平移得到，移动规 律可简记为：左加右减，上加下减，具体平移方法如下表所示。,/ 9,3,在画 y ax 2 bx c 的图象时，可以先
6、配方成 y a(x h)2 k 的形式，然后将 y ax2 的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将 y ax 2 bx c 配成 y a(x h)2 k 的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点 坐标。然后取图象与y 轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图 象与 x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与 x 轴只 有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与 y 轴交点及其对称点）， 一般画图象找 5 个点。 3.二次函数的性质 ）,/ 9,4,公式法：直接利用顶点坐标公式（,）
7、，求其顶点；对称轴是直线,，若,若,，y,有最大值，当,2（2013义乌市）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），顶点坐 标为（1，n），与 y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论： 当 x3 时，y0；3a+b0；1a ；3n4 中， 正确的是（ ）,4.求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法 配方法：将解析式 y ax 2 bx c 化为 y a(x h)2 k 的形式，顶点坐标为（ ， h k），对称轴为直线 x h ，若 a0，y 有最小值，当 xh 时， y最小值 k ；若 a0，y 有最大值，当xh 时， y最大值 k 。,2a4
8、a,b4ac b2,，,b,x 2a,b,4a,4ac b2,；,a 0，y有最小值，当x 时，y 2a最小值,a 0,4a,b4ac b2,x 时，y 2a最大值,5.抛物线与 x 轴交点情况： 对于抛物线 y ax 2 bx c (a0) 当 b2 4ac 0 时，抛物线与 x 轴有两个交点，反之也成立。 当 b2 4ac 0 时，抛物线与 x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。 当 b2 4ac 0 时，抛物线与 x 轴无交点，反之也成立。 经典例题： 二次函数图像与系数的关系 1（2013昭通）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结 论中正确的是（
9、）,/ 9,5,3（2013烟台）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x=1， 且过点（3，0）下列说法：abc0；2ab=0；4a+2b+c0；若（ 5，y1），（ ，y2）是抛物线上两点，则 y1y2其中说法正确的是（ ）,4（2013济宁）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中 正确的是（ ）,5（2013济南）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（0，2），与 x 轴交点的横坐标分别为 x1，x2，且1x10，1x22，下列结论正确的是（ ）,/ 9,6,6（2013广安）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如
10、图所示，对称轴是直线 x=1下 列结论： abcO，2a+b=O，b24acO，4a+2b+cO 其中正确的是（ ）,7（2013鄂州）小轩从如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象中，观 察得出了下面五条信息： ab0；a+b+c0； a2b+4c0； 你认为其中正确信息的个数有（ ）,8（2013滨州）如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且对称轴为 x=1，点 B 坐标为（1，0）则下面的四 个结论： 2a+b=0；4a2b+c0；ac0；当 y0 时，x1 或 x2 其中正确的个数是（ ）,9（2013包头
11、）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论： b0；4a+2b+c0；ab+c0；（a+c）2b2其中正确的结论是（ ）,/ 9,7,),B,x,x,） 10.在图中，函数 y=ax2 与 y=ax+b 的图象可能是( yy,x,y,x,y,A,/ 9,8,C,D,O,O,O,O,11.求三角形面积的最值问题 已知二次函数y ax 2 bx c过点 A(-1,0)B(3,0)C(0,3) 求函数解析式 在第一象限的抛物线上是否存在一点 N，使得CNB 的面积最大，若存在，求 出点 N 的坐标，若不存在请说明理。,12.已知如图，抛物线y ax2 - 2ax c（a 0
12、）与 y 轴交于点 C（0,3），与 x 轴交于 A,B 两 点，点 A 的坐标为（-1,0）. 求抛物线的解析式及顶点坐标； 设点P 是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形 ABDC 面积相等的四边形ACPB 的点P 的坐标； 在的条件下，求APD的面积。,.,点 A 和 x 轴正半轴上的点 B ， AO OB = 2， AOB 1200 （1）求这条抛物线的表达式； （2 ）联结OM ，求 AOM 的大小； （3）如果点C 在 x 轴上，且 ABC 与 AOM 相似，,求点C 的坐标,A,B,O,x,二次函数与三角形形似问题 12如图 9，在平面直角坐标系 xoy 中，顶点为 M 的抛物线 y ax2 bx(a 0）经过 y,/ 9,9,M 图 9,
