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1、“没有学不好的数学”系列之一 初中函数知识点详解,知识点一、平面直角坐标系,1、平面直角坐标系,在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。,其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上,为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，,叫做坐标平面。,为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫,做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。,注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。,2、点的坐标的概念,点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前
2、，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵 坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 a b 时，（a，b）和（b，a）是两个 不同点的坐标。,知识点二、不同位置的点的坐标的特征,1、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限 x 0, y 0 点 P(x,y)在第二象限 x 0, y 0 点 P(x,y)在第三象限 x 0, y 0 点 P(x,y)在第四象限 x 0, y 0 2、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上 y 0 ，x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上 x 0 ，y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在y 轴上 x，y 同时为零，即
3、点 P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征,位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。,位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。,5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p关于 x 轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 p关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数 点 P 与点 p关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点
4、P(x,y)到坐标轴及原点的距离：,（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 y,（2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 x,x 2 y 2,1,（3）点 P(x,y)到原点的距离等于,知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的 值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三
5、种表示法及其优缺点 解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种 表示法叫做解析法。 列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表 法。 图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 知识点四、正比例函数和一次函数,1、正比例函数和一次函数的概念,“没有学不好的数学”系列之一 初中函数知识点详解 一般地，
6、如果 y kx b （k，b 是常数，k 0），那么 y 叫做 x 的一次函数。 特别地，当一次函数 y kx b 中的b 为 0 时， y kx（k 为常数，k 0）。这时，y 叫做 x 的正比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数 y kx b 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数 y kx的图像是经过原 点（0，0）的直线。,4、正比例函数的性质 一般地，正比例函数 y kx有下列性质： 当 k0 时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大，图像从左之右上升； 当 k0 时，y 随 x 的增大而增大 当
7、 k0 时，直线与y 轴交点在 y 轴正半轴上 当 b0 时，直线与y 轴交点在 y 轴负半轴上 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 y kx（k 0）中的常数 k。确定一个 一次函数，需要确定一次函数定义式 y kx b （k 0）中的常数k 和 b。解这类问题的一般方 法是待定系数法 知识点五、反比例函数 1、反比例函数的概念 一般地，函数 y k （k 是常数，k 0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 x y kx1 或 xy=k 的形式。自变量 x 的取值范围是 x 0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非 零实数。,2,“
8、没有学不好的数学”系列之一 初中函数知识点详解,2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、 四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x 0，函数 y 0，所以，它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、 反比例函数的性质,4、反比例函数解析式的确定,k,x,确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 y 中，只有一个待定系数，因此 x 只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 若过反比例函
9、数 y k (k 0) 图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，则所得的矩形 x k,PMON 的面积 S=PM PN= y x xy 。 y , xy k, S k 。,知识点六、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念,2,一般地，如果 y ax bx c(a,b, c是常数，a 0) ，特别注意 a 不为零，那么 y 叫做 x 的二次函数。,y ax2 bx c(a,b, c是常数，a 0) 叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像,b,二次函数的图像是一条关于 x 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a 抛物线的主要特征（也叫抛物线的三要素）： 有开口方向；有对称轴；有
10、顶点。,3、二次函数图像的画法 五点法： 先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出 对称轴 求抛物线 y ax2 bx c 与坐标轴的交点： 当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图 像。 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、 D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B， 然后顺次连接五点，画出二次函数的
11、图像。 知识点七、二次函数的基本形式,1. 二次函数基本形式： y ax2 的性质：,a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。,3,“没有学不好的数学”系列之一 初中函数知识点详解,2. y ax2 c 的性质：,二次函数 y ax2 c 的图像可由 y ax2 的图像上下平移得到（平移规律：上加 下减）。,3. y a x h2 的性质：,二次函数 y a x h2 的图像可由 y ax2 的图像左右平移得到（平移规律：左加 右减）。,4. y a x h2 k 的性质：,知识点八、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： y ax2 bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； 2
12、. 顶点式： y a(x h)2 k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）； 3. 两点式： y a(x x1)(x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成两,点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b2 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用两点式表 示二次函数解析式的这三种形式可以互化. a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 知识点九、二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析 式必须根据题目的特点，选择适
13、当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 知识点十、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当,2a4a,b4ac b2,x 时， y,最值,。,12,2a,如果自变量的取值范围是 x x x ，那么，首先要看 b 是否在自变量取值范围,4a,4,b4ac b2,x1 x x2 内，若在此范围内，则当 x= 2a 时， y最值 ,；
14、若不在此范围内，则需要,考虑函数在 x1 x x2 范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当 x x2 时，,y ax2 bx c ，当 x x 时， y ax2 bx c ；如果在此范围内，y 随x 的增大而 最大221最小11,减小，则当 x x 时， y ax2 bx c ，当 x x 时， y 1最大112,最小, ax2 bx c 。 22,“没有学不好的数学”系列之一 初中函数知识点详解,知识点十一、二次函数的性质 1、二次函数的性质,2、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）： 一元二次方程ax2 bx c 0 是二次函数 y ax2 bx
15、 c 当函数值 y 0 时的特殊情况.,图象与 x 轴的交点个数：,2,1,2, 当 b 4ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 A x ，0 ，B x ，0,12,(x x ),，其中的,12,x ，x 是,2,一元二次方程ax,a,b2 4ac,bx c 0a 0 的两根这两点间的距离 AB x2 x1 ,2,推导过程：若抛物线 y ax bx c 与 x 轴两交点为 A,1212,x ，0，Bx ，0，由于 x 、x 是,方程ax2 bx c 0 的两个根，故,aa,1212,x x b , x x c,a aa,AB x x x x x x , 4x x ,4cb2 4ac a,b 2
16、,22,1212121 2, 当 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； 当 0 时，图象与 x 轴没有交点. 1 当a 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 ； 2 当a 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 记忆规律：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的 b2 4ac ，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。 当 0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时，图像与x 轴有一个交点； 当 0 时，图像与 x 轴没有交点。 知识点十二 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆） 1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
