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1、专题六 二次函数压轴题,1.主要类型: (1)线段及周长最值问题 (2)面积最值问题 (3)存在性问题探究,2.规律方法: (1)解决线段和的最小值或三角形周长最小问题,主要依据是“两点之间,线段最短”,具体方法是利用轴对称将两条线段之和转化为一条线段的长,然后求出该条线段的长.,(2)解决图形面积的最值问题,通常先设出动点坐标,然后表示出图形面积,利用二次函数性质来求最大值或最小值,表示不规则图形的面积时,通常采用割补法把其转化为易于表示面积的图形(有一边在坐标轴上或平行于坐标轴).,(3)解决存在性问题要先假设结论成立,然后根据所探究特殊图形的有关性质,利用分类讨论的数学思想构造全等或相似
2、图形,进而求出字母的取值. 3.渗透的思想:分类讨论、转化思想、数形结合、函数与方程等.,类型一线段及周长最值问题 【考点解读】 1.考查范畴:线段和周长最值问题主要包括线段和的最小值、周长和的最小值和线段差的最大值三种情况.,2.考查角度:利用二次函数解析式确定有关点的坐标,结合某个动点考查两条线段和或差的最值问题.,【典例探究】 典例1(2018宜宾节选)在平面直角坐标系xOy中,已知 抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图,直线 y= x与抛物线交于A,B两点,直线l为y=-1.,(1)求抛物线的解析式. (2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值?若存在,求出点
3、P的坐标;若不存在,请说明理由.,【思路点拨】(1)由抛物线的顶点坐标为(2,0),可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2,由抛物线过点(4,1),利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.,(2)联立直线AB与抛物线解析式组成方程组,通过解方程组可求出点A,B的坐标,作点B关于直线l的对称点B,连接AB交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值,根据点B的坐标可得出点B的坐标,根据点A,B的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标.,【自主解答】 略,【规律方法】 解决线段和最小值问题的方法 (1)解题的基本依据是“两点之间,线段最短”,如图所示
4、,若A,B是两个定点,动点P在直线m上,求PA+PB的最小值的方法是:作点A关于直线m的对称点A,当A,P,B三点共线时PA+PB最小.,(2)确定动点P的位置后,再根据两条直线的解析式联立组成方程组,进而求出交点P的坐标.,【题组过关】 1.(2019烟台中考)如图,顶点为M的抛物线y=ax2+ bx+3与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C,过点C作 CDy轴交抛物线于另一点D,作DEx轴,垂足为点E,双 曲线y= (x0)经过点D,连接MD,BD.,(1)求抛物线的解析式. (2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标.
5、 (3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,BPD的度数最大?(请直接写出结果),略,2.(2019贺州中考)如图,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(-1,0),且OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+ bx+c(a0)图象经过A,B,C三点. 世纪金榜导学号,(1)求A,C两点的坐标. (2)求抛物线的解析式. (3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作PDAC于点D,当PD的值最大时,求此时点P的坐标及PD的最大值.,【解析】(1)OA=OC=4OB=4,故点A,C的坐标分别为(4,0),(0,-4). (2)抛物线的解析式为
6、:y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4),即-4a=-4,解得:a=1,故抛物线的解析式为:y=x2-3x-4.,(3)直线CA过点C,设其函数解析式为:y=kx-4,将点A坐标代入上式并解得:k=1,故直线CA的解析式为:y=x-4,过点P作y轴的平行线交AC于点H,OA=OC=4,OAC=OCA=45, PHy轴,PHD=OCA=45, 设点P(x,x2-3x-4),则点H(x,x-4),PD=HPsinPHD= (x-4-x2+3x+4)= x2+ x, 0,PD有最大值,当x=2时,其最大值为 , 此时点P(2,-6).,类型二面积最值问题 【考点解读】 1.考查范畴:以二次
7、函数为背景,面积最值问题主要包括三角形面积问题和四边形面积问题. 2.考查角度:建立几何图形面积与动点的坐标的二次函数关系,然后确定最值.,【典例探究】 典例2(2019海南中考节选)如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(-5,0),B(-4,-3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.,(1)求该抛物线的解析式. (2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合),设点P的横坐标为t.当点P在直线BC的下方运动时,求PBC的面积的最大值.,【自主解答】 (1)将点A,B坐标代入二次函数解析式得: 解得: 故抛物线的解析式为:y=x2+6x+5,(2)令y=0,则x=-1或-5
8、,即点C(-1,0), 如图,过点P作y轴的平行线交BC于点G,将点B,C的坐标代入一次函数解析式并解得: 直线BC的表达式为:y=x+1, 设点G(t,t+1),则点P(t,t2+6t+5), SPBC= PG(xC-xB)= (t+1-t2-6t-5)= 0,SPBC有最大值,当t= 时,其最大值 为,【规律方法】 解决面积最值问题的方法 (1)首先设出动点的坐标为(x,ax2+bx+c).,(2)求有一边在坐标轴或与坐标轴平行的图形面积时,用该边为底边用含x的式子表示出来,结合图形可用x的代数式表示出该边上的高;求三边不在坐标轴上的三角形或不规则图形面积时,要先采用割补的方法转化成易于表
9、示出面积的图形.,(3)用含有未知数x的代数式表示图形面积. (4)利用二次函数的性质来求最大值或最小值.,【题组过关】 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-5交y轴于点A,交x轴于点B(-5,0)和点C(1,0),过点A作ADx轴交抛物线于点D.,(1)求此抛物线的解析式. (2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,求EAD的面积. (3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和ABP的最大面积.,略,类型三存在性问题探究 【考点解读】 1.考查范畴:以二次函数为背景的存在性问题包括探究等腰三角形、
10、直角三角形、相似三角形和特殊四边形的形状.,2.考查角度:考查是否存在某点,使图形满足某种特殊形状,根据图形性质解答问题.,【典例探究】 典例3已知抛物线y= 的图象如图所示:,(1)将该抛物线向上平移2个单位,分别交x轴于A,B两点,交y轴于点C,则平移后的解析式为_. (2)判断ABC的形状,并说明理由. (3)在抛物线对称轴上是否存在一点P,使得以A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.,【思路点拨】(1)根据函数图象的平移规律,可得新的函数解析式. (2)根据自变量与函数值的对应关系,可得A,B,C的坐标,根据勾股定理及逆定理,可得答案. (3
11、)根据等腰三角形的定义,分类讨论得到关于P点纵坐标的方程,解方程可得答案.,【自主解答】 略,【规律方法】 探究等腰三角形存在性的方法 (1)假设结论成立. (2)分别表示三角形三条边的长度,分三种情况进行讨论,根据两边相等列出方程,然后求出对应的未知数的值.,(3)表示三边长度往往需要用到点的坐标,要掌握抛物线和直线与坐标轴的交点坐标求法,并能够利用解方程组求抛物线与直线的交点坐标.,【题组过关】 (2019贵港中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(4,3),与y轴相交于点B(0,-5),对称轴为直线l,点M是线段AB的中点.,(1)求抛物线的解析式. (2)写出点M的坐标并求直线AB的解析式. (3)设动点P,Q分别在抛物线和对称轴l上,当以A,P,Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,求P,Q两点的坐标.,【解析】(1)函数解析式为:y=a(x-4)2+3,将点B坐标代 入上式并解得:a= , 故抛物线的解析式为:y= x2+4x-5.,(2)A(4,3),B(0,-5),则点M(2,-1), 设直线AB的解析式为:y=kx-5, 将点A坐标代入上式得:3=4k-5,解得:k=2, 故直线AB的解析式为:y=2x-5. (3)略,
