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1、SARA 疫情的影响 摘要 为了进一步了解2003 年SARS 疫情对我国某些地区行业经济发展 的影响，尤其是对零售业，旅游业和综合服务业三个行业的影响。通 过分析 1997 年至 2003 年三个行业的相关数据变化后，在已知的数据 中，可以得出三个行业在 1997 年到 2002 年的年平均值及其每月所占 百分比，然后 MATLAB 建立灰色预测模型 GM（1,1），评估出 2003 年 零售业，旅游业和综合服务业的年均值和月估计值。利用其各行业预 测出的年均值和月估计值建立非线性回归模型,对比分析 2003 年的 实际值，得出 2003 年SARS 疫情对零售业，旅游业和综合服务的影响 状
2、况。在零售业方面，（），在旅游业方面，（），在综合服务方面 （）. 关键词：MATLAB 灰色预测模型 GM（1,1） 非线性回归模型 问题重述 问题的背景 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗 称：非典型肺炎）是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病,在 2003 年 SAR S 的爆发和蔓延中，疫情威胁着我国人民的生命安全，同时给我国经济发展带来 了一定的影响。在某些省份，一些行业受到了直接的影响，面临着严重的危机， 特别是在零售业，旅游业和综合服务业方面。 问题的提出 在给出相应数据的前提下，进行分析，评估出 200
3、3 年 SARS 疫情对该市商品 零售业、旅游业和综合服务业所产生的影响。 2.模型的假设,1,1.题中所给数据真实可靠。 2.1997 年至 2003 年期间，数据的变化只与 SARS 疫情有关，不受其他影响。 符号说明 问题分析 根据题中已知的数据，首先求解出商品零售业、旅游业和综合服务业各在 1997 年至 2002 年数据变化的年平均值，然后对各行业的年平均值建立灰色预测模型， 预测出各行业在 2013 年的可能值，最后将预测的可能值与 2013 年实际的年平均 值进行对比分析，从而分析出 SARS 疫情在该市对商品零售业、旅游业、综合服 务业的影响。 数据处理 对附件 1 中的表 1
4、、表 2、表 3 进行年平均值及编号处理： 表一 商品的零售额（单位：亿元）,表二 接待海外旅游人数（单位：万人）,表三 综合服务业累计数额（单位：亿元）,6.模型的建立与求解 由已知数据，对于 1997 年至 2002 年某项指标记为矩阵 A (aij )612 , 计算每年的年平均值，记为 x(0) (x(0) (1), x(0) (2),.，x(0) (6),并要求级比,(0.7515 ,1.3307 )(i 2,3,.,6),2,x(0) (i),x(0) (i 1), (i) ,-（1）,i,对 x(0) 做一次累加，则 x(1) (1) x(0) (1), x(1) (i) x(0
5、) (k)(i 2,3,.,6) ，记 k 1,x(1) (x(1) (1), x(1) (2),., x(1) (6) -（2）,ax,dt,(1),取 x(i) 的加权均值，则 z(1) (k) x(1) (k) (1 )x(1) (k 1)(k 2,3,.,6) ， 为确定参 数，于是 GM（1,1）的白化微分方程模型为 dx(1) , b -（3）,其中a 是发展灰度， b 是内生控制灰度 由于 x(1) (k) x(1) (k 1) x(0) (k) ，取 x(0) (k ) 为灰导数， z(1) (k ) 为背景值，建立灰色 微分方程为： x(0) (k) az(1) (k) b(
6、k 2,3,.,6) 或 x(0) (k) az(1) (k) b(k 2,3,.,6) 其矩阵形式为： Y (0) B (a, b)T ，其中Y (0) (x(0) (2), x(0) (3),., x(0) (6)T ，, ,B ,11.1, z(1) (2) z(1) (3). z(1) (6)T,，用最小二乘法求得参数的估计值为：,(a, b)T (BT B)1 BT Y (0) -（4）.则会微分方程模型（2）的解为： x(1) (t 1) (x(0) (1) b ) eat b ，则 aa,x(0) (k 1) x(1) (k 1) x(1) (k) (x(0) (1) b ) (
7、eak ea(k 1) ) -（5）,a 由（5）式可以得到 2003 年的年平均值为 x ，则预测 2003 年的总值为 X 12 x 。 根据历史数据，可以统计计算出 2003 年第 i 个月的指标占全年总值的比例为ui ，,即,12 6,3,6,(i 1,2,.,12),u ,i1 j 1,aij,aij j 1,i,-（6），则,12,u (u ,u ,.,u ),12 ，于是可得 2003 年每,一个月的指标值为Y X u 。 （1）商品零售额（亿元） 由数据表 1，计算可得每年月平均值、一次累加值分别为： x(0) (876167，985000，1084750，1184167，13
8、28083，1454083) ， x(1) (876167，1861167，2945917，4130083，5458167，6912250) 。 显然 x(0) 的所有级比都在可行域内经检验，在这里取参数 0.4 比较合适， 则有 z(1) (1270167，2295067，3419583，4661317，6039800) ,由最小二乘法求得a 0.0993 ， b 85.5985 。可得 2003 年的年平均值为： x 162.88 亿元；年总值为 X 12 x 1954 .6 亿元。由（6）式得每月的比例为： u (00794，00807，00749，00786，00819，00818，0
9、0845，00838，00872，00886，00866，00920) 故 2003 年 1 月至 12 月的预测值为： Y u X (1552，1578，1464，1536，1601，1599，1652，1638，17o5，1732，1693，1799) 亿 元 将预测值与实际值进行比较如表四所示。 表四 商品的零售额(单位：亿元),（2）接待海外旅游人数（万人） 由数据表 2，计算可得每年月平均值、一次累加值分别为： x(0) (19.1,18.1 ,20.83,24. 39,24.75,2 7.18) ， x(1) (19.1,37.2 ,58.03,82. 42,107.17, 134
10、.35) 。 显然 x(0) 的所有级比都在可行域内经检验，在这里取参数 0.5比较合适， 则有 z(1) (28.15,47.61 5,70.225,9 4.795,120. 76) 由最小二乘法求得a 0.0939 ， b 16.257 。可得 2003 年的年平均值为： x 30.274 万人；年总值为 X 12 x 363.2884 万人。由（6）式得每月的比例为： u (0.0703,0.8782,0.0907,0.0848,0.0836,0.1022,0.1010,0.1041,0.0914,0.0701) 故 2003 年 1 月至 12 月的预测值为： Y u X (14.8,
11、26.6,25.5,31.9,33.0,30.8,30.4,37.1,36.7,37.8,33.2,25.5)万人 将预测值与实际值进行比较如表五所示。 表五 接待海外旅游人数（单位：万人）,4,（3）综合服务业累计数额（亿元） 由数据表 3，计算可得每年月平均值、一次累加值分别为： x(0) (443,539.1 7,603,713. 5,802,917. 5) ， x(1) (443,982.1 7,1585.17, 2298.67,31 00.67,4018 .17) 。 显然 x(0) 的所有级比都在可行域内经检验，在这里取参数 0.5比较合适， 则有 z(1) (712.585,1
12、283.67,194 1.92,2699. 67,3559.42 ) 由最小二乘法求得a 0.1343 ， b 441.103 。可得 2003 年的年平均值为： x 1048 .699 亿元；年总值为 X 11 x 11535 .689 亿元。由（6）式得每月的比 例为： u (0.0191,0.312,0.0440,0.0591,0.0729,0.0877,0.1043,0.1201,0.1354,0.1511,0.1752) 故 2003 年 1 月至 12 月的预测值为： Y u X (220.3317,359.9135,507.5703,681.7592,804.9517,1011.
13、68,1203.1724,5,亿,1385.4363,1743.0426,2021.0527) 元 将预测值与实际值进行比较如表五所示。 表六 综合服务业累计数额（单位：亿元）,通过表四、五、六得到的数据，建立非线性回归方程，利用 MATLAB 得到下列曲 线图像：,图 1 商品的零售额(单位：亿元)红色预测值，蓝色统计值,图二 接待海外旅游人数,6,图三 综合服务业累计数额,7.模型的结果分析 （1）综合服务业累计数 模型的评价与推广 参考文献 附录,7,8,灰色预测模型程序（MATLAB）： （1）商品零售额（亿元） x=86.62 98.50 100.15 118.42 132.81 1
14、45.41; format long g n=length(x); %计算级比 for i=1:n-1 r1(i)=x(i)/x(i+1); end a1=0; %进行级比检验 for i=1:n-1 if r1(i)exp(-2/(n+1) %最小二乘法的参数估计 x,x1,z1,B,y,au(1),au(2)%输出原始序列、一次累加生成序列、紧邻均值生成、 B 矩阵、y 矩阵、参数估计,9,a=x1(1)-au(2)/au(1); b=au(2)/au(1); X=zeros(1,n); X1=zeros(1,n); for i=1:n X1(i)=a*exp(-au(1)*(i-1)+b
15、; end X(1)=X1(1); for i=2:n X(i)=X1(i)-X1(i-1); end X %计算模拟序列 X dt=x-X; v1=sum(x)/n; v2=sum(dt)/n; s1=0; s2=0; for i=1:n s1=s1+(x(i)-v1)2; s2=s2+(dt(i)-v2)2; end s1=s1/n; s2=s2/(n-1); C=(sqrt(s2)/(sqrt(s1); C %计算后验差比 m=0; for i=1:n if abs(dt(i)-v2)0.95 end end end t=n+1,10,yc1=zeros(1,t); yc=zeros(1
16、,t); for i=1:t yc1(i)=a*exp(-au(1)*(i-1)+b; end yc1; yc(1)=yc1(1); for i=2:t yc(i)=yc1(i)-yc1(i-1); end yc %预测三年数据 级比检验合格 （2）接待海外旅游人数（万人） x=19.1 18.10 20.83 24.39 24.75 27.18; format long g n=length(x); %计算级比 for i=1:n-1 r1(i)=x(i)/x(i+1); end a1=0; %进行级比检验 for i=1:n-1 if r1(i)exp(-2/(n+1),11,end %对序列 x1 进行紧邻均值生成 z2=z1; z3=z2.*(-1); B=z3,ones(n-1,1); y=zeros(n-1,1); for i=1:n-1 y(i)=x(i+1);
