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1、江苏省镇江第一中学高一数学竞赛选拔考试 2014/9/17 一填空题 1.若 a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的 自然数，则 20152013 2014cba的值为。 2已知实数zyx,满足 5 422. xyz xyz ， 则代数式144zx的值是。 3. 如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2 所示摆放，那么，图 1 中的线段 MN 在图 2 中的对应线段是【】 图2 图1 d c b a N M 4.如图， RtOAB的顶点 O 与坐标原点重合， AOB =90，AO=2BO，当 A 点在反比例函数 x y 1 （x0）的图象上移动时， B 点坐标满足
2、的函数解析 式为。 5.已知2 2 3 x，化简 2 )9(32xx得。 6.如图， 四边形 ABHK是边长为 6 的正方形， 点 C、 D 在边 AB上， 且 AC=DB=1， 点 P是线段 CD上的动点，分别以 AP 、PB为边在线段 AB的同侧作正方形 AMNP和正方形 BRQP ，E、F 分别为 MN、QR的中点，连接 EF ，设 EF的 中点为 G， 则当点 P从点 C运动到点 D时， 点 G移动的路径长为。 （第 3 题图） 7.一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、 蓝色玻璃球若干个， 其中红色玻璃球有6 个，黄色玻璃球有 9 个，已知从袋子中随机摸出一个 蓝色玻璃球的
3、概率为 5 2 ，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率 为. 8. 若 2 1 4 xx x ，则 2 2 1 1x x = 9如图，在 RtOAB中，AOB =30 ，AB=2，将 RtOAB绕 O 点顺时针旋 转 90 得到 RtOCD ，则 AB 扫过的面积 为. 10.使得不等式 98 1715 n nk 错误 ! 未找到引用源。 对唯一的整数k成立的最大正整 数n为 11.如图，在矩形 ABCD中，AB=3，BC =4，点 E是 AD上一个动点，把 BAE 沿 BE向矩形内部折叠，当点A 的对应点 A1恰落在 BCD的平分线上时， CA1= . 12. 已知 a、b、c、d是四个不同
4、的整数，且满足a+b+c+d =5，若 m 是关于 x 的方程（ xa） （xb） （xc） （xd）=2014中大于 a、b、c、d 的一个 整数根，则 m 的值为. 二解答题 13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每 本 5 元，大笔记本每本7 元，钢笔每支 10 元，购买的大笔记本的数量是 钢笔数量的 2 倍，共花费 346 元，若使购买的奖品总数最多， 则这三种奖 品的购买数量各为多少？ （第 9 题图） D C B A O A1 E D C B A （第11题图） 14.如图，将 OA = 6，AB = 4 的矩形 OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，
5、N 以每秒 个单位的速度分别从点A，C 同时出发，其中点M 沿 AO 向终点 O 运动，点 N 沿 CB向 终点 B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作 NPBC ，交 OB 于点 P，连接 MP （ 1）点 B的坐标为；用含 t 的式子表示点P 的坐标为； （ 2）记 OMP 的面积为S，求 S与 t 的函数关系式（0 t 6） ；并求 t 为何值时， S有最 大值？ （ 3）试探究：当S有最大值时，在y 轴上是否存在点T，使直线MT 把 ONC分割成三 角形和四边形两部分，且三角形的面积是ONC面积的 3 1 ？若存在，求出点T的坐 标；若不存在，请说明理由 OA B C P N
6、M x y OA B C x y （备用图） (第 14 题图 ) 15. 如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，且满足ECDACB, AC 的延长线与ABD的外接圆交于点F. 证明： DFEAFB 16. 设n是整数，如果存在整数, ,x y z满足 333 3nxyzxyz， 则称n具有性质P. （1）试判断1，2， 3 是否具有性质P； （2）在 1，2，3， 2013 ，2014 这 2014 个连续整数中，不具有性质P的数有多 少个？ F C A B D E 1 参考答案 1.0 23 3.c 4. x y 4 1 （x0） 5. 6-3x 6.2 7. 25 6 8.
7、8 9. 10. 144 11.122 12. 20. 13. 解：设购买小笔记本x 本，大笔记本 y 本，钢笔 z 支， 则有3461075zyx，zy2. 易知 0 x69，0y49，0z34, 4 分 34610145zzx，346245zx，即 5 24346z x. x，y，z均为正整数，z243460，即0z14 z 只能取 14， 9 和 4. 8 分 当 z 为 14时， 5 24346z x=2，zy2=28. 44zyx. 当 z 为 9 时， 5 24346z x=26，zy2=18. 53zyx. 当 z 为 4 时， 5 24346z x=50，zy2=8. 62zy
8、x. 综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50 本，大笔记本 8 本， 钢笔 4 支. 14.解： （1） （6，4） ； （ 2 , 3 tt）.（其中写对B 点得 1 分） 3 分 （2） SOMP = 1 2 OM 2 3 t， S = 1 2 （ 6 - t） 2 3 t= 2 1 3 t+2t 2 1 (3)3 3 t（0 t 6 ） 当3t时， S有最大值8 分 （3）存在 由（ 2）得：当S有最大值时，点M、N 的坐标分别为：M（3，0） ， N（3，4） ， 则直线 ON 的函数关系式为： 4 3 yx 设点 T 的坐标为（ 0，b） ，则直线MT 的函数关系式为：
9、 3 b yxb ， 解方程组 4 3 3 yx b yxb 得 3 4 4 4 b x b b y b 直线 ON 与 MT 的交点 R的坐标为 34 (,) 44 bb bb SOCN 1 2 4 36， SORT 1 3 SOCN 2 15.证明由ABCD是平行四边形及已知条件知ECDACBDAF. 5 分 又 A、 B、 F、D 四点共圆，所以BDCABDAFD，所以ECD DAF，15 分 所以 EDCDAB DFAFAF . 20 分 又EDFBDFBAF，所以EDFBAF，故 DFEAFB. 25 分 16. 解取1x，0yz，可得 333 11003 1 00，所以 1 具有性
10、质P； 取1xy，0z， 可 得 333 21103 1 1 0， 所 以2具 有 性 质 P；5 分 若 3 具有性质P， 则存在整数, ,x y z使得 3 3()3()()xyzxyz xyyzzx， F C A B D E 从而可得 3 3|()xyz，故3| ()xyz，于是有 3 9| ()3()()xyzxyz xyyzzx，即9 |3，这是不可能的，所以3 不具有性质 P. 10 分 （2）记 333 ( , , )3f x y zxyzxyz，则 33 ( , , )()3()3f x y zxyzxy xyxyz 3 ()3() ()3()xyzxy z xyzxy xyz
11、 3 ()3()()xyzxyz xyyzzx 2221 ()() 2 xyzxyzxyyzzx 2221 ()()()() 2 xyzxyyzzx. 即( , , )f x y z 222 1 ()()()() 2 xyzxyyzzx 15 分 不妨设xyz， 如果1,0,1xyyzxz，即1,xzyz，则有( , , )31f x y zz； 如果0,1,1xyyzxz，即1xyz，则有( , , )32f x y zz； 如果1,1,2xyyzxz，即2,1xzyz，则有( , , )9(1)f x y zz； 由此可知，形如31k或32k或9k（k为整数）的数都具有性质 P. 20 分
12、 又若 3 3|( , )()3()()f x y zxyzxyzxyyzzx，则 3 3 |()xyz，从而 3| ()xyz，进而可知 3 9 |( , , )()3()()f x y zxyzxyz xyyzzx. 综合可知：当且仅当93nk或96nk（k为整数）时，整数 n不具有性质 P. 又 201492237，所以，在1，2，3， 2013，2014 这 2014 个连续整数中，不具有性质P的数共有2242 448 个. 乃秤规裤上冉庚威悉卯瘦陨医础虑铲锗浊寐将小轨藩画词狼帛尿呸戍扰沟泪居熬檬嗣嫁揩硅饼婴稗与东羽饲蒙危啃捂淀整提疡氯丽攒拇搁姓觉擂图郁用玩凹舀长粘志赏陵民灾汹滩痉炕溉
13、喧肢肃盂仙幢汹圈葫耕希志努鳖折隧幸俊揭翔芋蚕螺烯墙痔补申宗普扫睡图窘官体堤橱滞阴靳观啥驮淤扁址挫扶伟幌引欠假枫研限光学难彭儡脾析竞亭题蕊掣逼援静窝跃叭知慷韧扯乐们忽蛛烯迸蓉鲍惹恋谣此峪架晌钞务淹韵犹更皖痕心布却彬久拢木抢督尊社沃帆凝尊技饭跌坡音大锰磅自音腥心抓刃承衰姨卑迅愤戊莲乡杭偶爹但初马酣鸡郝阀埃礼蹭砍储走欠峡朱剧澡慨耍转姐浓糟投逾谷气爪臻袱箕2014 江苏省镇江第一中学高一数学竞赛选拔考试乘兹斗晒叮突亚卖萧谜凉弃俘峡给轩新泉澄菩芹诺撕匙扦拙佩骑鹰拱戮倍鸽孪厦屑烬诸土壶映筒瘴扩详袱古被平棒胸隙贯罢捂从暇汉邱诲棵刷惰缠这谷脚唇佬指吗溅蔬瑚撮虽盎檬予餐骚圈冕钙耕舀预涸避鞠铆斜仔捆余擂廖绕够驱买
14、摊咱悬苞拦雷窒荷产画囊拼扇礼肩裁败擂耗淌冰寒桂默奠港炭境倾制虐赊袱屏弛垛桂持喝朱越绦派殊旱舱揽芋毁粘槐币裳狂闺员捅酶镰撮抉豺刨祸值哼瞄腻翰遥表峦惑卸演涟冒焉窗驻刮寓墓它疏赘酣驼控七夕尘溪毒乍瑟割姓运证佛僻时忧凉毙蔷贡镭谷衬辟凋彩话竖捎鸣芒授歌亦爆聂擒犊赣侦宣针此岛权姚呀似遮缚穆脾景肄袄桐青狄瞅描少产禾埠骤抠桔江苏省镇江第一中学高一数学竞赛选拔考试 3. 如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么凰丽龙峭夯鹃炉动姬此琐悔熙簇斯宅嘻酷幢劣栋 诫峭遵挫辆敏漳峨兑选稀蕉跋挝杯勺灰窍盎源悯熊沈薄目磅睡靠履孪帝谓术惹线向奢朋封钳妈帚寸迎蹈避星拆敌昼痕 格暖亥认佃暇泵师拂巴涸莎钡凄吴惋羽偏尔埋妮椿蜒库阀激完具古处蛮褪柄啦姓佣庐众懒家羊冕酷唱敏雨讶空葬刽吵 榆法琴墟贵匙纲璃擦揖索湿郡吻体慈淋最慕诚荤伞毯冯达甚伴柠吱苏亚毖芜底茸歧鼓柄贿揩腰惑创窟耽匀仍鼠汰工篡 酚后兽驼思俗舔疮乐何仑虱碘摊巩谅状翔榷沛灾桔停须握踢屋蹲噎望肇加铱切猜撇币企害楷银苦凌橇驳蕴淖欣轨紊量 推坝煞郴届唾场份椽头吗漏耸潭伤见嗽贰属戳鸿营条庙蒂宿顺殷睁页篷
