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1、- 1 - 冲刺中考压轴真题培优训练：圆 1（2019?遂宁）如图，ABC内接于O，直径AD交BC于点E，延长AD至点 F，使DF2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AGBC，连 接OC，若 cosBAC，BC6 （1）求证：CODBAC； （2）求O的半径OC； （3）求证：CF是O的切线 解：（ 1）AG是O的切线，AD是O的直径， GAF90， AGBC， AEBC， CEBE， BAC2EAC， COE2CAE， CODBAC； （2）CODBAC， cosBACcosCOE ， 设OEx，OC3x， - 2 - BC6， CE3， CEAD， OE 2+CE2 OC 2
2、， x 2+329x2， x（负值舍去）， OC3x， O的半径OC为 （3）DF2OD， OF3OD3OC， ， COEFOC， COEFOC， OCFDEC90， CF是O的切线 2（2019?温州）如图，在ABC中，BAC90，点E在BC边上，且CA CE，过A，C，E三点的O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交 AB于点G，连结CD，CF （1）求证：四边形DCFG是平行四边形 （2）当BE4，CDAB时，求O的直径长 - 3 - （1）证明：连接AE， BAC90， CF是O的直径， ACEC， CFAE， AD是O的直径， AED90， 即GDAE， CFDG， AD是O
3、的直径， ACD90， ACD+BAC180， ABCD， 四边形DCFG是平行四边形； （2）解：由CDAB， 设CD3x，AB8x， CDFG3x， AOFCOD， AFCD3x， BG8x3x3x2x， - 4 - GECF， ， BE4， ACCE6， BC6+410， AB88x， x1， 在 RtACF中，AF3，AC6， CF3， 即O的直径长为 3 3（2019?杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，ODBC于点D，连接 OA （1）若BAC60， 求证：ODOA 当OA1 时，求ABC面积的最大值 （2）点E在线段OA上，OEOD，连接DE，设ABCmOED，ACBnO
4、ED （m，n是正数），若ABCACB，求证：mn+20 - 5 - 解：（ 1）连接OB、OC， 则BOD BOCBAC60， OBC30， ODOBOA； BC长度为定值， ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大， 当AD过点O时，AD最大，即：ADAO+OD， ABC面积的最大值BCAD2OBsin60 ； （2）如图 2，连接OC， 设：OEDx， - 6 - 则ABCmx，ACBnx， 则BAC180ABCACB180mxnxBOCDOC， AOC2ABC2mx， AODCOD+AOC180mxnx+2mx180+mxnx， OEOD，AOD1802x， 即：180+mxnx180
5、2x， 化简得：mn+20 4 （2019?宁波）如图 1，O经过等边ABC的顶点A，C（圆心O在ABC内）， 分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BFEC交AE于点F （1）求证：BDBE （2）当AF：EF3：2，AC6 时，求AE的长 （3）设x，tanDAEy 求y关于x的函数表达式； 如图 2，连结OF，OB，若AEC的面积是OFB面积的 10 倍，求y的值 证明：（ 1）ABC是等边三角形， BACC60， DEBBAC60，DC60， - 7 - DEBD， BDBE； （2）如图 1，过点A作AGBC于点G， ABC是等边三角形，AC6， BG， 在 RtABG中，
6、AGBG3， BFEC， BFAG， ， AF：EF3：2， BEBG2， EGBE+BG3+25， 在 RtAEG中，AE； （3）如图 1，过点E作EHAD于点H， EBDABC60， 在 RtBEH中， EH，BH， - 8 - ， BGxBE， ABBC2BG2xBE， AHAB+BH2xBE+BE（2x+ ）BE， 在 RtAHE中，tan EAD， y； 如图 2，过点O作OMBC于点M， 设BEa， ， CGBGxBEax， ECCG+BG+BEa+2ax， EMECa+ax， BMEMBEaxa， BFAG， EBFEGA， ， AG， - 9 - BF， OFB的面积， AE
7、C的面积， AEC的面积是OFB的面积的 10 倍， ， 2x 27x+60， 解得：， ， 5（2019?怀化）如图，A、B、C、D、E是O上的 5 等分点，连接AC、CE、EB、 BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH （1）计算CAD的度数； （2）连接AE，证明：AEME； （3）求证：ME 2 BM?BE 解：（ 1）A、B、C、D、E是O上的 5 等分点， 的度数72 COD72 COD2CAD CAD36 （2）连接AE - 10 - A、B、C、D、E是O上的 5 等分点， CADDAEAEB36 CAE72，且AEB36 AME72 AMECAE AEME （3）连
8、接AB ABEDAE，且AEBAEB AENBEA AE 2BE ?NE，且AEME ME 2BE ?NE AEAB，CABCADDAEBEAABE36 - 11 - BADBNA72 BABN，且AEME BNME BMNE ME 2BE ?NEBM?BE 6（2019?湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l 1分别交x轴和y轴于 点A（3，0），B（0，3） （1）如图 1，已知P经过点O，且与直线l1相切于点B，求P的直径长； （2）如图 2，已知直线l2：y3x3 分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q 是直线l2上的一个动点，以Q为圆心， 2为半径画圆 当点Q与点C重合时，求证：直线
9、l 1与Q相切； 设Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN问：是否存在这样的点Q， 使得QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明 理由 解：（ 1）如图 1，连接BC， - 12 - BOC90，点P在BC上， P与直线l1相切于点B， ABC90，而OAOB， ABC为等腰直角三角形， 则P的直径长BCAB3； （2）过点作CMAB， 由直线l2：y3x3 得：点C（1，0）， 则CMACsin45 42圆的半径， 故点M是圆与直线l1的切点， 即：直线l1与Q相切； （3）如图 3， 当点M、N在两条直线交点的下方时， - 13 - 由题意得：MQNQ，MQN
10、90， 设点Q的坐标为（m，3m3），则点N（m，m+3）， 则NQm+33m+32， 解得：m3； 当点M、N在两条直线交点的上方时， 同理可得：m3； 故点Q的坐标为（ 3，63）或（3+，6+3） 7（2019?天津）已知PA，PB分别与O相切于点A，B，APB80，C为O 上一点 （）如图，求ACB的大小； （）如图，AE为O的直径，AE与BC相交于点D若ABAD，求EAC 的大小 解：（）连接OA、OB， - 14 - PA，PB是O的切线， OAPOBP90， AOB360909080100， 由圆周角定理得，ACBAOB50； （）连接CE， AE为O的直径， ACE90， AC
11、B50， BCE905040， BAEBCE40， ABAD， ABDADB70， EACADBACB20 8（2019?株洲）四边形ABCD是O的圆内接四边形，线段AB是O的直径， 连结AC、BD点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且ACHCBD，AD - 15 - CH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P （1）求证：四边形ADCH是平行四边形； （2）若ACBC，PBPD，AB+CD2（+1） 求证：DHC为等腰直角三角形； 求CH的长度 证明：（ 1）DBCDAC，ACHCBD DACACH ADCH，且ADCH 四边形ADCH是平行四边形 （2）AB是直径 ACB90ADB，且
12、ACBC CABABC45， CDBCAB45 ADCH ADHCHD90，且CDB45 CDBDCH45 CHDH，且CHD90 DHC为等腰直角三角形； 四边形ABCD是O的圆内接四边形， - 16 - ADPPBC，且PP ADPCBP ，且PBPD， ，ADCH， CDBCAB45，CHDACB90 CHDACB ABCD AB+CD2（+1） CD+CD2（+1） CD2，且DHC为等腰直角三角形 CH 9（2019?威海）（ 1）方法选择 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，ABBCAC求证： BDAD+CD 小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DMAD，连接AM
13、 小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DNAD 请你选择一种方法证明 （2）类比探究 【探究 1】 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，BC是O的直径， ABAC试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论 - 17 - 【探究 2】 如图，四边形ABCD是O的内接四边形， 连接AC，BD若BC是O的直径， ABC30，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是BDCD+2AD （3）拓展猜想 如图，四边形ABCD是O的内接四边形， 连接AC，BD若BC是O的直径， BC：AC：ABa：b：c， 则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是BDCD+AD
14、解：（ 1）方法选择：ABBCAC， ACBABC60， 如图，在BD上截取DMAD，连接AM， ADBACB60， ADM是等边三角形， AMAD， ABMACD， AMBADC120， ABMACD（AAS）， BMCD， BDBM+DMCD+AD； （2）类比探究：如图， BC是O的直径， BAC90， - 18 - ABAC， ABCACB45， 过A作AMAD交BD于M， ADBACB45， ADM是等腰直角三角形， AMAD，AMD45， DMAD， AMBADC135， ABMACD， ABMACD（AAS）， BMCD， BDBM+DMCD+AD； 【探究 2】如图，若BC是O
15、的直径，ABC30， BAC90，ACB60， 过A作AMAD交BD于M， ADBACB60， AMD30， MD2AD， ABDACD，AMBADC150， ABMACD， ， BMCD， BDBM+DMCD+2AD； - 19 - 故答案为：BDCD+2AD； （3）拓展猜想：BDBM+DMCD+AD； 理由：如图，若BC是O的直径， BAC90， 过A作AMAD交BD于M， MAD90， BAMDAC， ABMACD， ， BMCD， ADBACB，BACMAD90， ADMACB， ， DMAD， BDBM+DMCD+AD 故答案为：BDCD+AD - 20 - 10（2019?扬州）
16、如图，AB是O的弦，过点O作OCOA，OC交AB于P，CP BC （1）求证：BC是O的切线； （2）已知BAO25，点Q是上的一点 求AQB的度数； 若OA18，求的长 （1）证明：连接OB， OAOB， OABOBA， PCCB， CPBPBC， APOCPB， APOCBP， - 21 - OCOA， AOP90， OAP+APO90， CBP+ABO90， CBO90， BC是O的切线； （2）解：BAO25， ABO25，APO65， POBAPOABO40， AQB （AOP+POB）13065； AQB65， AOB130， 的长的长23 11（2019?鄂州）如图，PA是O的切线，切点为A，AC是O的直径，连接 OP交O于E过A点作ABPO于点D，交O于B，连接BC，PB （1）求证：PB是O的切线； （2）求证：E为PAB的内心； （3）若 cosPAB，BC1，求PO的长 - 22 - （1）证明：连结OB， AC为O的直径， ABC90， ABPO， POBC AO
