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1、立体几何中的有关证明与综合问题例1 已知斜三棱柱ABC-ABC的底面是直角三角形，C=90，侧棱与底面所成的角为（090），B在底面上的射影D落在BC上。（1）求证：AC面BBCC。（2）当为何值时，ABBC，且使得D恰为BC的中点。讲解：（1） BD面ABC，AC面ABC， BDAC，又ACBC，BCBD=D， AC面BBCC。（2）由三垂线定理知道：要使ABBC，需且只需AB在面BBCC内的射影BCBC。即四边形BBCC为菱形。此时，BC=BB。因为BD面ABC，所以，就是侧棱BB与底面ABC所成的角。由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时=。即当=时，ABBC，且使得D恰为BC的
2、中点。例2 如图：已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC底面ABCD，E为PC中点。（1）求证：平面EDB平面PBC；（2）求二面角的平面角的正切值。讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，那么我们自然想到：是否有？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。 面PDC底面ABCD，交线为DC， DE在平面ABCD内的射影就是DC。在正方形ABCD中，DCCB， DECB。又， DE。又面EDB， 平面EDB平面PBC。（2）由（1）的证明可知：D
3、E。所以，就是二面角的平面角。 面PDC底面ABCD，交线为DC，又平面ABCD内的直线CB DC。 CB面PDC。又面PDC， CBPC。在Rt中，。点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。例3如图：在四棱锥中，平面，为的中点。（1）求证：平面；（2）当点到平面的距离为多少时，平面与平面所成的二面角为？讲解：题目中涉及到平面与平面所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。另一方面，要证平面，应该设法证明CE平行于面内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。（1）延长BC、A
4、D交于点F。在中，所以，AB、CD都与AF垂直，所以，CD/AB，所以，。又，所以，点D、C分别为线段AF、BF的中点。又因为为的中点，所以，EC为的中位线，所以，EC/SF。又，所以，平面。（2）因为：平面，AB平面，所以，AB。又ABAF，所以，AB面。过A作AHSF于H，连BH，则BHSF，所以，就是平面与平面所成的二面角的平面角。在Rt中，要使=，需且只需AH=AB=。此时，在SAF中，所以，。在三棱锥S-ACD中，设点A到面SCD的距离为h，则h=因为AB/DC，所以，AB/面SCD。所以，点A、B到面SCD的距离相等。又因为E为SB中点，所以，点E到平面SCD的距离就等于点B到面S
5、CD距离的一半，即。点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等价转化，在转化的过程中不断探求结论。例4如图，已知面，于D，。（1）令，试把表示为的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？讲解（1）为寻求与的关系，首先可以将转化为。 面，于D， 。 。 。 为在面上的射影。 ，即。 。即的最大值为，等号当且仅当时取得。（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得。令，解得：，与交集非空。 满足条件的点Q存在。点评本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求学生有一定的空间想象力，而且，作好问题的转化是解决此题的关键。例5如图所示：正四棱锥
6、中，侧棱与底面所成角的正切值为。（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧面上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。讲解： （1）连交于点，连PO，则PO面ABCD， PAO就是与底面所成的角， tanPAO=。设AB=1，则PO=AOtanPAO = 。设F为AD中点，连FO、PO，则OFAD，所以，PFAD，所以，就是侧面与底面所成二面角的平面角。在Rt中， 。即面与底面所成二面角的大小为（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，。 就是异面直线PD与AE所成的角。在Rt中，。 。
7、由，可知：面。所以，。在Rt中，。 异面直线PD与AE所成的角为。（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面的一条垂线，然后再平移到点E即可。为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：。延长交于点，连接。设为中点，连接。 四棱锥为正四棱锥且为中点，所以，为中点， ，。 。 面。 ， 为正三角形。 ， 。取AF中点为K，连EK，则由及得四边形为平行四边形，所以，。点评开放性问题中，“退一步去想”（先只满足部分条件）、“将命题加强”往往是找到解题的突破口的方法。1（2000年全国高考题）如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且=。
8、（I）证明：BD；（II）假定CD=2，=，记面为，面CBD为，求二面角 的平面角的余弦值；（III）当的值为多少时，能使平面？请给出证明。 CD M B ENA F答案与提示：（）略；（）；（）=1。2（2002年全国高考）如图：正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=.（）求MN的长；（）当为何值时，MN的长最小；（）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。答案与提示：（）；（）时，MN的长最小，为；（）3（2002年北京高考）如图：在多面体中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底
9、面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E、F两点，上下底面矩形的长、宽分别为与，且，两底面间的距离为。（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）证明：（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式来计算。已知它的体积公式是。试判断与的大小关系，并加以证明。（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）答案与提示：（1）；（3）。 4.(1997年全国高考)如图,在正方体中,E,F分别是的中点.证明AD; .求AE与所成的角; .证明面AED面;.设2,求三棱锥的体积答案与提示： （2）90； （4）=1 ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u
10、ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u
11、ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u
12、ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u
