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1、棱柱,棱锥的表面积及体积,一、棱柱的侧面积：,是指所有侧面面积之和,如果直棱柱的底面周长是C，高是h，那么它的侧面积是:,1.直棱柱的侧面积公式：,2.棱柱的全面积（表面积）：,例1:已知一直棱柱的底面是边长分别为6cm和8cm,且它们的夹角为30的平行四边形，侧棱长是5cm,求它的全面积.,4,7或6,3,188cm2,例3:有两个相同的直三棱柱，高为 ,底面三角 形的三边长分别为3a,4a,5a(a0).用它们拼成 一个三棱柱或四棱柱,在所有的可能情形中,表 面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是 _.,例4： 斜棱柱的底面是等腰三角形ABC,AB=10， AC=10，BC=12，棱柱顶
2、点A1到A、B、C等 距离，侧棱长是13，求它的侧面积.,解：S侧=各个侧面面积之和,396,O,作与棱柱的侧棱垂直的直截面,斜棱柱的侧面积公式：,例4： 斜棱柱的底面是等腰三角形ABC,AB=10， AC=10，BC=12，棱柱顶点A1到A、B、C等 距离，侧棱长是13，求它的侧面积.,解法二：,1.祖暅原理：,体积可看成是由面积叠加而成,用一组平行平面截两个空间图形,若在任意等高处的截面面积都对应相等,则两空间图形的体积必然相等.,二、棱柱的体积：,幂势既同，则积不容异,夹在两个平行平面间的两个几何体， 被平行于两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体的
3、体积相等。,祖暅原理,定理 棱柱的体积等于它的底面积S和高h的积。,V棱柱= Sh,2.棱柱的体积,对任意棱柱，都可找到与它等高且底面积相同的长方体，则棱柱体积等于长方体的体积,例1:已知三棱柱ABC-ABC的底面为直角三角形，两直角边AC和BC的长分别为4cm,3cm,侧棱AA的长为10cm,求满足下列条件的三棱柱的体积:(1)侧棱AA垂直于底面; (2)侧棱AA与底面 所成的角为60.,H,例2: 已知正六棱柱的最长的对角线为13cm,侧面积等于180cm2,求它的体积.,练习：直三棱柱底面各边的比为345，侧棱长为14,全面积为1440,求体积.,2.斜棱柱的体积公式：,思考： 斜棱柱的
4、底面是等腰三角形ABC,AB=10， AC=10，BC=12，棱柱顶点A1到A、B、C等 距离，侧棱长是13，求它的体积,思考：已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BB1C1C的面积为S,侧棱到侧面BB1C1C的距离为a,求该三棱柱的体积.,a,三、棱锥的侧面积：,是指所有侧面面积之和,1.正棱锥的侧面积公式：,2.正棱锥的表面积（全面积公式）：,例1:求棱长都为a的正四棱锥的表面积.,例2:已知正三棱锥P-ABC的底面边长为a,侧棱和底面所成的角是45,求它的全面积.,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,四、棱锥的体积,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式,B,C,与三棱柱相对照，请猜
5、想三棱锥体积公式。,连接BC,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥,就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是:,练习1：,将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥， 这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？,如果这是一个 平行六面体呢？,练习2:,从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到 一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的 几分之几？,问题2、如果改为求 棱长为a的正四面 体A-BCD的体积。 你能有几种解法？,问题1、你能有几种 解法？,解一、补形，将三棱 锥补成一个正方体。,解二、利用体积公
6、式 V四面体 SBCDh,E,棱 锥,Ex:求棱长都为a的正四棱锥的体积.,2,Ex:如图所示四面体ABCD中,已知 AB=AC=DB=DC=10,BC=AD=12, 求四面体ABCD的体积.,例:如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形,且ABC=60,侧棱PC垂直于平面ABCD,PC=a,求点C到平面PAB的距离.,利用体积求距离,Ex:如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E,F分别是AA1与CC1中点. (1)求四棱锥A1-EBFD1的体积; (2)计算B1到平面EBFD1的距离.,棱锥性质： （1）侧棱和高被平行于底面的截面分成比 例线段； （2）平行于底面的截面与底面是相似多边 形； （3）,例 （1）一个底面是正方形的四棱锥的中截面面积是A，则它的底面边长为_； （2）一个棱锥被平行于底面的两个平面所截，若两个截面与底面面积之比为1:4:9，则该棱锥被截面截得的三部分体积之比为_； （3）已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E,F,G,H，设四面体EFGH的表面积为T，则T:S=_。,例.如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D,E,F，且知SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 。,
