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1、广西桂林市、百色市、崇左市、北海市、防城港市2013届高三3月联考数学试卷（理科）本试卷分第卷和第卷（非选择题）两部分。第卷第卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互独立，那么如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率球的表面积公式其中R表示球的半径球的体积公式其中R表示球的半径一、选择题 1. 设i为虚数单位，复数等于A. B. C. D. 2. 函数的反函数是A. B. C. D. 3. 在等比数列中，则 A. B. C. D. 4. 在正三棱柱中，已
2、知，则异面直线和所成角的余弦值为 A. B. C. D. 5. “”是“”成立的A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 6. 设曲线在点（3，2）处的切线与直线垂直，则a= A. 2B. 2C. D. 7. 直线与圆相交于M、N两点，若，则k的取值范围是A. ,0B. （，）C. ，D. ，0） 8. 某班准备从含甲、乙的7名男生中选取4人参加米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为 A. 360B. 520C. 600D. 720 9. 已知函数的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间
3、的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是A. B. C. D. 10. 如果函数的图象与方程的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 11. 在所在平面内有一点O，满足，则等于A. B. C. 3D. 12. 设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，若在区间（2，6内关于x的方程恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为A. （1，2）B. （2，）C. （）D. （，2）第卷第卷共10小题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13. 已知，则的值为_。14. 若的二项展开式中，所有项的系数之和为64，则展开式中的常数项
4、是_。15. 正三棱锥内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为_。16. 设双曲线（，）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若（，），则该双曲线的离心率为_。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤。17. （本小题满分10分）在中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，已知，（）求的值；（）若，D为AB的中点，求CD的长。18. （本小题满分12分） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%，
5、生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元；若是二等品，则亏损1万元，生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元；若是二等品，则亏损2万元，两种产品生产的质量相互独立。 （）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X（单位：万元），求X的分布列；（）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，E是PB的中点。（）求证：平面平面PBC；（）若二面角的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值。20. （本小题满分12分）已知数列中，其前n项和满足，令。（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前n项和。21
6、. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为，P为椭圆G的上顶点，且（）求椭圆G的标准方程；（）已知直线与椭圆G交于A、B两点，直线与椭圆G交于C、D两点，且，如图所示。（i）证明：；（ii）求四边形ABCD的面积S的最大值。22. （本小题满分12分）设函数（）当时，若对任意的，恒有，求p的取值范围；（）证明：【试题答案】一、选择题 1. A2. D3. B4. A5. C6. B7. A8. C9. B10. D11. C12. D二、填空题：13. 14. 15. 16. 三、解答题：17. （本小题满分12分）解：（），且，（）由（）可得由正弦定理得，即
7、，解得在中，BD=7，18. （本小题满分12分）解：（）由题设知，X的可能取值为10，5，2，3，由此得X的分布列为：X10523P0.720.180.080.02（）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有件。由题设知，解得又且，得，或所求概率为（或）答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。19. （本小题满分12分）解：（）平面ABCD，平面ABCD，又，平面PBC，平面EAC，平面平面PBC（）解法一：平面PBC，为二面角的平面角在中，E是PB的中点， ，取PC中点F，连结EF，则，EF面PAC。，设点P到平面ACE的距离为h，则，解得，设直线PA与平面E
8、AC所成角为，则解法二：以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，1，0）。设P（0，0，a）（a0），则E（，），取m=（1，1，0）则，m为面PAC的法向量设为面EAC的法向量，则，即，取，则，依题意，则于是设直线PA与平面EAC所成角为，则，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 20. （本小题满分12分）解：（）由题意知（）即检验知、2时，结论也成立，故（）由于故 21. （本小题满分12分）解：（）设椭圆G的标准方程为（ab0）因为,，所以b=c=1椭圆G的标准方程为（）设A（），B（），D（）（i）证明：由，消去y得则，同理因为，所以因为，所以（ii）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则，因为，所以所以当且仅当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为 22. （本小题满分12分）解：（），的定义域为（0，）当时，令，、随x的变化情况如下表：x（）（,）+0极大值从上表可以看出，当p0时，有唯一的极大值点当时在处取得极大值，此极大值也是最大值要使恒成立，只需，p的取值范围为1，+）（）令，由（）知，结论成立。9
