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1、要点梳理 1.三种增长型函数模型的图象与性质,增函数,增函数,增函数,越来越快,越来越慢,函 数,性 质,2.8 函数模型及应用,基础知识 自主学习,2.三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数y=ax (a1)与幂函数y=xn (n0) 在区间(0,+)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定 范围内ax会小于xn，但由于y=ax的增长速度_y=xn 的增长速度,因而总存在一个x0,当xx0时有_.,y轴,x轴,快于,axxn,（2）对数函数y=logax (a1)与幂函数y=xn (n0) 对数函数y=logax (a1)的增长速度,不论a与n值的 大小如何总会_y=xn的增长速度，因
2、而在定义 域内总存在一个实数x0,使xx0时有_. 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增 函数,但它们的增长速度不同，且不在同一个档次 上,因此在（0,+)上，总会存在一个x0,使xx0时 有_. 3.函数模型的应用实例的基本题型 (1)给定函数模型解决实际问题; (2)建立确定性的函数模型解决问题; (3)建立拟合函数模型解决实际问题.,慢于,logaxxn,axxnlogax,4.函数建模的基本程序,基础自测 1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控,除了应征税 外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元, 不收附加税时,每年大约销售100万瓶，若每销售 100元国家要征收附加税
3、为x元(税率x%),则每年销 售量减少10 x万瓶,为了使每年在此项经营中收取的 附加税额不少于112万元,则x的最小值为_. 解析 解得2x8,则x的最小值为2.,2,2.已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要损失 10%,要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强 度的 以下,则至少需要重叠_块玻璃板. 解析,11,3.某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成 本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润 必须按p%纳税,且年广告费超出年销售收入2%的部 分也按p%纳税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税 120万元.则税率p%为_. 解析 利润300万元,纳税300p%万元, 年
4、广告费超出年销售收入2%的部分为 200-1 0002%=180(万元), 纳税180p%万元,共纳税 300p%+180p%=120(万元), p%= =25%.,25%,4.某医院为了提高服务质量,进行了调查发现：当还 未开始挂号时,有N个人已经在排队等候挂号.开始 挂号后排队的人数平均每分钟增加M人.假定挂号 的速度是每窗口每分钟K个人,当开放一个窗口时, 40分钟后恰好不会出现排队现象,若同时开放两个 窗口时,则15分钟后恰好不会出现排队现象，根据 以上信息,若要求8分钟后不出现排队现象,则需要 同时开放的窗口至少应有_个.,解析 设要同时开放x个窗口才能满足要求,则 N+8M8Kx
5、由、得 代入得60M+8M82.5Mx,解得x3.4. 即至少同时开放4个窗口才能满足要求.,【例1】某公司试销一种成本单价 为500元/件的新产品,规定试销 时销售单价不低于成本单价,又 不高于800元/件.经试销调查,发 现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一 次函数y=kx+b的关系(如图所示).,典型例题 深度剖析,(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式; (2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总 价)为S元.试用销售单价x表示利润S,并求销售单价 定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利 润是多少？此时的销售量是多少？ 解 (1)由图象知,当x=60
6、0时,y=400; 当x=700时,y=300, 代入y=kx+b中,得 y=-x+1 000 (500 x800).,(2)销售总价=销售单价销售量=xy, 成本总价=成本单价销售量=500y, 代入求毛利润的公式,得 S=xy-500y=x(-x+1 000)-500(-x+1 000) =-x2+1 500 x-500 000 =-(x-750)2+62 500 (500 x800). 当销售单价为750元/件时，可获得最大毛利润 62 500元,此时销售量为250件.,跟踪练习1 电信局为了配合客户的不同需要，设有 A、B两种优惠方案.这两种方案应付话费(元)与通 话时间(分钟)之间的
7、关系如下图所示(实线部分) (MNCD). (1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多 少元？ (2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元？,(3)通话时间在什么范围内方案B才会比方案A优惠？ 由图表知识,分别求得两种方案的解析式，通 过解析式即可求解. 解 由图知,M(60,98),C(500,168),N(500,230). MNCD, 设这两方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别 为fA(x)、fB(x),分析,(1)通话两小时的费用分别是116元和168元. (2)fB(x+1)-fB(x)=0.3(x500),或由直线CD的斜率的 实际意义知方案B从500分钟以后每分钟收
8、费0.3元. (3)由图知:当0 x60时,fA(x)500时,fA(x)fB(x);当60fB(x)得 综合可得通话时间在 时方案B较优惠.,【例2】某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投 入)为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本 (即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求 量为500台,销售的收入函数为 （万 元)(0 x5),其中x是产品售出的数量(单位:百台). (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大？ 对于一些较复杂的应用题,有时仅构造一个 数学模型还不能解决根本问题，须先后或同时构 造、利用几个数学模型才可.,分析,解 (1)当x
9、5时,产品能售出x百台; 当x5时,只能售出5百台, 故利润函数为L(x)=R(x)-C(x),(2)当0 x5时,L(x)=4.75x- -0.5, 当x=4.75时,L(x)max=10.781 25万元. 当x5时,L(x)=12-0.25x为减函数, 此时L(x)10.75(万元). 生产475台时利润最大.,跟踪练习2 某化工厂引进一条先进生产线生产某种 化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨) 之间的函数关系式可以近似地表示为y= -48x+ 8 000,已知此生产线年产量最大为210吨. (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成 本最低,并求最低成本; (2)若每
10、吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量 为多少吨时,可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解 (1)每吨平均成本为 (万元).,当且仅当 即x=200时取等号. 年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元. (2)设年获得总利润为R(x)万元, 则R(x)=40 x-y=40 x- +48x-8 000 =- +88x-8 000 =- (x-220)2+1 680(0 x210). R(x)在0,210上是增函数, x=210时,R(x)有最大值为 - (210-220)2+1 680=1 660. 年产量为210吨时,可获得最大利润1 660万元.,【例3】1999年10月12日“世界
11、60亿人口日”，提出 了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题, 控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前. (1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口 平均增长率是多少？ (2)我国人口在1998年底达到12.48亿,若将人口平 均增长率控制在1%以内,我国人口在2008年底至多 有多少亿？,以下数据供计算时使用: 增长率问题是指数函数与幂函数问题,利用已 知条件,列出函数模型. 解 (1)设每年人口平均增长率为x,n年前的人口数为y, 则y(1+x)n=60,则当n=40时,y=30,分析,即30(1+x)40=60,(1+x)40=2, 两边取对数,则40lg(1+x)=lg 2
12、, 则lg(1+x)= =0.007 525, 1+x1.017,得x=1.7%. (2)依题意,y12.48(1+1%)10, 得lg ylg 12.48+10lg 1.01=1.139 2, y13.78,故人口至多有13.78亿.,跟踪练习3 某城市现有人口总数为100万人,如果年 自然增长率为1.2%,试解答以下问题: (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函 数关系式; (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人); (3)计算大约多少年以后,该城市人口将达到120万 人(精确到1年); (4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人,年 自然增长率应该控制在
13、多少？ (参考数据：1.01291.113，1.012101.127， lg 1.20.079,lg 20.301 0,lg 1.0120.005, lg 1.0090.003 9),解 (1)1年后该城市人口总数为 y=100+1001.2%=100(1+1.2%). 2年后该城市人口总数为 y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2% =100(1+1.2%)2. 3年后该城市人口总数为 y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2% =100(1+1.2%)3. x年后该城市人口总数为 y=100(1+1.2%)x. (2)10年后人口总数为 100(1+1
14、.2%)10112.7(万人).,(3)设x年后该城市人口将达到120万人, 即100(1+1.2%)x=120, (4)由100(1+x%)20120,得(1+x%)201.2, 两边取对数得20lg(1+x%)lg 1.2=0.079, 所以lg(1+x%) =0.003 95, 所以1+x%1.009,得x0.9%, 即年自然增长率应该控制在0.9%以内.,【例4】(14分)某地区的一种特色水果上市时间能持 续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价 格呈连续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价 格连续下跌,现有三种价格模拟函数: f(x)=pqx; f(x)=logqx+p; f(x
15、)=(x-1)(x-q)2+p (以上三式中p、q均为常数,且q2). (1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函 数,为什么？ (2)若f(1)=4,f(3)=6，求出所选函数f(x)的解析式 (注:函数的定义域是1,6.其中x=1表示4月1日, x=2表示5月1日,以此类推);,(3)为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓 宽外销,请你预测该水果在哪几个月内价格下跌. 解题示范 解 (1)因为f(x)=pqx是单调函数. f(x)=logqx+p是单调函数. f(x)=(x-1)(x-q)2+p中 f(x)=3x2-(4q+2)x+q2+2q. 3分 令f(x)=0,得x1=q,x
16、2= f(x)有两个零点, 可以出现两个递增区间和一个递减区间, 所以应选f(x)=(x-1)(x-q)2+p为其模拟函数. 8分,(2)由f(1)=4,f(3)=6, 10分 f(x)=(x-1)(x-4)2+4 =x3-9x2+24x-12 (1x6). 12分 (3)由f(x)=3x2-18x+240,解得2x4. 函数f(x)=x3-9x2+24x-12在区间(2,4)上单调递减. 这种水果在5、6月份价格下跌. 14分,跟踪练习4 (2009青岛模拟)某民营企业生产A、B 两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投 资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术 平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位: 万元) 图1 图2 (1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数 关系式,并写出它们的函数关系式;,(2)该企业已
