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1、潮流计算的基本算法及使用方法 一、潮流计算的基本算法 牛顿拉夫逊法 概述 牛顿拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。这种方法的特点就是把对非线 性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是 牛顿拉夫逊法的核心。 牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏 导数雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩 阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。因为越靠 近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。而所谓“某一 邻域”是指雅可比方向均指向
2、解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说 潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1)启动即在此邻域内。 一般概念 对于非线性代数方程组 f x 0,即,1,fi x1, x2 , xn 0i 1,2,n,(11),在待求量 x 的某一个初始计算值 x0 附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高 阶项，得到如下的线性化的方程组,(12),f x0 f x0 x0 0 上式称之为牛顿法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量,x0 f x0 1 f x0 ,(13),将x0 和 x0 相加，得到变量的第一次改进值 x1 。接着再从 x1 出发，重复上述计算 过程。因此从一
3、定的初值 x0 出发，应用牛顿法求解的迭代格式为,(14),f xk xk f xk xk 1 xk xk ,(15),上两式中： f x是函数 f x 对于变量 x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵 J ； k 为迭代,次数。 由式（14）和式子（15）可见，牛顿法的核心便是反复形成求解修正方程式。牛 顿法当初始估计值 x0 和方程的精确解足够接近时，收敛速度非常快，具有平方收敛特性。 13 潮流计算的修正方程 运用牛顿拉夫逊法计算潮流分布时，首先要找出描述电力系统的非线性方程。这里仍 从节点电压方程入手，设电力系统导纳矩阵已知，则系统中某节点（ i 节点）电压方程为,2, , ,n,ijj,
4、 Ui , Si ,Y U,j1,从而得, ,n,Si Ui Yij U j j 1,进而有, 0, ,n,j 1,ii,Yij U j,P jQ Ui,（16）,式（16）中，左边第一项为给定的节点注入功率，第二项为由节点电压求得的节点注 入功率。他们二者之差就是节点功率的不平衡量。现在有待解决的问题就是各节点功率的不 平衡量都趋近于零时，各节点电压应具有的价值。 由此可见，如将式（16）作为牛顿拉夫逊中的非线性函数 FX 0 ，其中节点电 压就相当于变量 X 。建立了这种对应关系，就可列出修正方程式，并迭代求解。但由于节点 电压可有两种表示方式以直角做表或者极坐标表示，因而列出的迭代方程相
5、应地也有两 种，下面分别讨论。 131 直角坐标表示的修正方程 节点电压以直角坐标表示时，令Ui ei jfi 、U j ej jf j ，且将导纳矩阵中元素表 示为Yij Gij jBij ，则式（17）改变为,n,j 1,ijijjj,iiii ,G jB e jf 0,P jQ e jf ,（17）,再将实部和虚部分开，可得, ,n,j 1,iij jij j,i iij jij j,n,j 1,i iij jij jiij jij j,G e B f e G f B e 0,Q f ,e ,P G e B f f G f B e 0 ,（18）,这就是直角坐标下的功率方程。可见，一个节
6、点列出了有功和无功两个方程。 对于 PQ节点（ i 1，2,m 1），给定量为节点注入功率，记为 Pi 、Qi ，则由式（2 8）可得功率的不平衡量，作为非线性方程, ,n,iij jij j,ii iij jij j,n,ii iij jij jiij jij j,G f B e , f G e B f e ,Q Q,e G e B f f G f B e ,P P,j 1,j 1,（19）,式中Pi 、 Qi 分别表示第i 节点的有功功率的不平衡量和无功功率的不平衡量。 对于 PV 节点（ i m 1,m 2,n ），给定量为节点注入有功功率及电压数值，记为 Pi 、Ui ，因此，可以利用
7、有功功率的不平衡量和电压的不平衡量表示出非线性方程，即有,22,2,2,ii,ii,n,j 1,iij jij jiij jij j ,ii,e f ,U U ,e G e B f f G f B e ,P P,（110）,式中Ui 为电压的不平衡量。,对于平衡节点（ i m ），因为电压数值及相位角给定，所以US es jfS 也确定，不需 要参加迭代求节点电压。 因此，对于 n 个节点的系统只能列出 2n 1个方程，其中有功功率方程n 1个，无 功功率方程m 1个，电压方程n m个。将式（19）、式（110） 非线性方程联立，,i,0 0 ,i,、e（ i 1,2,n,i m ）展开，,称
8、为n 个节点系统的非线性方程组，且按泰勒级数在 f 并略去高次项，得到以矩阵形式表示的修正方程如下, ,n ,p ,nn,nn n ,nn,np,np,pn p ,pn,pp,pp,n ,n ,p ,f ,f ,e ,e ,Se ,Rnn, R,HN,HN,NHN, H,Spn e ,Rpn,RppSpp,HN,HN,NHN,L,J,L,J,L,LJ, J,L,J,L,J,L,LJ, J, P , P H,Q , Q ,n1Sn1Rn 2Sn2RnpSnp,n2,n 2,n1,n1, RSRS p1p1p 2p 2,p 2,p 2,p1,p p1,2n 2 ,2n,2 p,21,N2n f2
9、,H2n,H21,1n 1 ,1n,1 p,11,N1n f1 ,H1n,H1 pN1 p 1 p H2 pN2 p 2 p,N11H12N12 111212 N21H22N22 212222, H11,U 2 ,U 2 ,2 , P2 ,1 , P1 ,（111）,上式中雅可比矩阵的各个元素则分别为,j,ij,H,f, Pi,j,3,ij,N,e, Pi,j,ij,J,f, Qi,j,i,ij,e,Q,L ,Rij i,U 2,ej,Sij i,U 2,f j 将（111）写成缩写形式,e,f ,e, RS ,L ,N f ,H,Q J,P , J , U 2 ,（112）,对雅可比矩阵各元
10、素可做如下讨论： 当 j i 时，对于特定的 j ，只有该特定点的 fi 和ei 是变量，于是雅可比矩阵中各非对角 元素表示为,j,i,ij,f,P,H ,ij iij i,j,i, G e B f,e,P, Bijei Gij fiNij ,ij iij i,j,i,ij, B f G e,f,Q,J ,ij iij i,j,i,ij, G f B e,e,Q,L ,f j,U 2,Rij i 0,ej,U 2,Sij i 0,当 j i 时，雅可比矩阵中各对角元素的表示式为,n,j,i,ij,G f B e G f B e, ,f,P,H ,ij jij jii iii i j 1,n,j
11、,i,ij,G e B f G e B f, ,e,P,N ,ij jij jii iii i j 1,n,j,i,ij,G e B f G e B f, ,f,Q,J ,ij jij jii iii j 1,n,4,jij jii iii i,j,i,ij,G f B e G f B e, ,e,Q,L ,ij j1,f j,U 2,Rij i 2 fi,U 2,Sij i 2ei,ej 由上述表达式可知，直角坐标的雅可比矩阵有以下特点：,5,雅可比矩阵是 2n 1阶方阵，由于 Hij H ji 、 Nij N ji 等等，所以它是一个不 对称的方阵。 雅可比矩阵中诸元素是节点电压的函数，在
12、迭代过程中随电压的变化而不断地改 变。 雅可比矩阵的非对角元素与节点导纳矩阵YB 中对应的非对角元素有关，当YB 中的 Yij 为零时，雅可比矩阵中相应的 Hij 、Nij 、Jij 、Lij 也都为零，因此，雅可比矩阵也是一个 稀疏矩阵。 132 极坐标表示的修正方程, ,n,在牛顿拉夫逊计算中，选择功率方程 Pi jQi Ui Yij U j 0 作为非线性函数方程， j 1,把式中电压向量表示为极坐标形式,ii,ii,i,U,i,j,cos j sin , U e U ,j,j,j,j,cos j sin jj,U j U e U,则节点功率方程变为,n,j 1,ijijjjj,i ,i
13、,G jB U cos j sin 0,j sin ,Pi jQi Ui cos,将上式分解成实部和虚部,n,ijijij,ii jij j 1,P UU ,G cos B sin 0,n,j 1,ijijij,ii jij,Q UU ,G sin B cos 0,这就是功率方程的极坐标形式，由此可得到描述电力系统的非线性方程。 对于 PQ节点，给定了, ,n,ijijij,iii jij,n,ijijij ,jij,iii ,Q Q, UU ,P P,j 1,j 1, UU G sin B cos ,G cos B sin ,i 1、2、m 1,（113）,对于 PV 节点，给定了 Pi 、
14、Ui ，而Qi 未知，式（113）中Qi 将失去作用，于是 PV 节点仅保留Pi 方程，以求得电压的相位角。,n,ijijij,iii jij,P P,j 1, UU G cos B sin ,、m 2、n,i m 1,（114） 对于平衡节点，同样因为Us 、 s 已知，不参加迭代计算。 将式（113）、式（114）联立，且按泰勒级数展开，并略去高次项后，得出矩阵形 式的修正方程, n,p,U,U,H ppH pn,L,J,L,LJ, J, Pn ,Pp ,Q , , 2 ,2,2,U1 , U1, 1,Nn1Hn 2Nn2HnpHnn,H p1Np1H p 2Np 2 Hn1,H21,1
15、p,11,H1 pH1n 1n H2 pN2n J2 pL2n,N11H12N12 111212 N21H21N21 L21J21L21, H11,Q2 J21, P2 ,1 , P1 ,（115）,雅可比矩阵终，对 PV 节点，仍可写出两个方程的形式，但其中的元素以零元素代替， 从而显示了雅可比矩阵的高度稀疏性。式中电压幅值的修正量采用U U 的形式，并没有什 么特殊意义，仅是为了雅可比矩阵中各元素具有相似的表达式。 雅可比矩阵的各元素如下,ijijijijij,j,i,ij, U U G sin B cos ,P,H ,n,i jijijijij,i,i,ii, UU ,P,H ,j1 ji,G sin B cos ,j,j,ij,N, U U G cos B sin ijijijijij,U, Pi U,n,ijijijiii,i,i,i,ii,2,
