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1、2018 年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试 数学试卷 一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 16 题每题 4 分,第 712 题每 题 5 分) 1不等式| x | 1的解集为 ,2计算: lim,3n 1,n n 2, ,3设集合 A x | 0 x 2, B x | 1 x 1,则 A,B ,z,4若复数 z i i ( i 是虚数单位),则 z 2 ,5已知an是等差数列,若a2 a8 10 ,则a3 a5 a7 已知平面上动点 P 到两个定点(1,0) 和(1,0) 的距离之和等于 4,则动点 P 的轨迹为 如图,在长方形 ABCD A1B1C1D1 中, AB
2、 3 , BC 4 , AA1 5 ,O 是 A1C1 的 中点,则三棱锥 A A1OB1 的体积为 ,第 7 题图,第 12 题图 8某校组队参加辩论赛,从 6 名学生中选出 4 人分别担任一、二、三、 四辩若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩,则不同的安排方法种数为 ,x ,2 9a 9,x2 ,9设a R ,若 x2 与 x 的二项展开式中的常数项相等,则a ,10设m R ,若 z 是关于 x 的方程 x2 mx m2 1 0 的一个虚根,则| z | 的取值范围 是 ,1/ 5,11设a 0 ,函数 f (x) x 2(1 x)sin(ax) ,x (0,1) ,若函数 y 2x 1与
3、 y f (x) 的图象有且仅有两个不同的公共点,则a 的取值范围是 如图,正方形 ABCD 的边长为 20 米,圆O 的半径为 1 米,圆心是正方形的中心,点 P 、Q 分别在线段 AD 、CB 上,若线段 PQ 与圆O 有公共点,则称点Q 在点 P 的“盲 区”中已知点 P 以 15 米/秒的速度从 A 出发向 D 移动,同时,点Q 以 1 米/秒的速 度从C 出发向 B 移动,则在点 P 从 A 移动到 D 的过程中,点Q 在点 P 的盲区中的时长约 为 秒(精确到 01) 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分,每题 5 分) 下列函数中,为偶函数的是(),(A) y x2,1
4、 (B) y x 3,3, 1 (C) y x 2(D) y x,14如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1 的棱虽在的直线中,与直线 BC1,15记 Sn 为数列an的前n 项和“an是递增数列”是“ Sn 为递增数列”的() (A)充分非必要条件(B)必要非充分条件 (C)充要条件(D)既非充分也非必要条件 16已知 A 、B 为平面上的两个定点,且| AB 2 | 该平面上的动线段 PQ 的端点 P 、Q ,,),满足| AP | 5 ,AP AB 6 ,AQ 2 AP ,则动线段 PQ 所形成图形的面积为( (A)36(B)60(C)81(D)108,2/ 5,三、解答题(本大题共有
5、5 题,满分 76 分,第 1719 题每题 14 分,20 题 16 分, 21 题 18 分) 17(本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知 y cos x ,3,1,(1)若 f ( ) ,且 0, ,求 f ( ) 的值;,3 (2)求函数 y f (2x) 2 f (x) 的最小值,2,3/ 5,18 (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) x2,已知a R ,双曲线 : y 1 a2,若点(2,1) 在 上,求 的焦点坐标; 若a 1 ,直线 y kx 1 与 相交于 A 、B 两点,且线段 AB 中点的横
6、坐标为 1,求实数k 的值,19(本题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面,所得截线是抛物线”的几何原理,某快餐店用两 个射灯(射出的光锥视为圆锥)在广告牌上投影出其标识,如图 1 所示,图 2 是投影出的抛 物线的平面图,图 3 是一个射灯的直观图,在图 2 与图 3 中,点O 、A 、B 在抛物线上,OC 是抛物线的对称轴, OC AB 于C , AB 3米, OC 4.5米 求抛物线的焦点到准线的距离; 在图 3 中,已知OC 平行于圆锥的母线 SD , AB 、 DE 是圆锥底面的直径,求 圆锥的母线与轴的夹角的大小(
7、精确到 001),图 1,图 2,图 3,4/ 5,20(本题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分),1,设a 0 ,函数 f (x) ,1 a 2x,若a 1 ,求 f (x) 的反函数 f 1( x) ; 求函数 y f (x) f (x) 的最大值(用a 表示); (3)设 g(x) f (x) f (x 1) 若对任意 x (,0,g(x) g(0) 恒成立,求a 的 取值范围,21(本题满分 18 分,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分),*,*,若cn 是递增数列,数列an满足:对任意n N ,存在m N ,使得,mn,5/ 5,mn1,a c,a c, 0 ,,则称an是cn 的“分隔数列” 设cn 2n , an n 1,证明:数列an 是cn 的“分隔数列”; 设cn n 4 ,Sn 是cn 的前n 项和,dn c3n1 ,判断数列Sn 是否是数列dn 的分隔数列,并说明理由; 设c aqn1 , T c 的前n 项和,若数列T 是c 的分隔数列,求实数a 、 nnnnn q 的取值范围,