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1、,二次函数恒成立问题 2016 年 8 月东莞莞美学校 一、恒成立问题的基本类型： 类型 1：设 f (x) ax2 bx c(a 0)， （1） f (x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 ； （2） f (x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 。 类型 2：设 f (x) ax2 bx c(a 0), f ( ) 0, b , b , f ( ) 0 0, b ,或 2a,（1）当a 0 时， f (x) 0在x , 上恒成立 2a或2a,，, f ( ) 0,f (x) 0在x , 上恒成立 f ( ) 0, f ( ) 0,（2）当a 0 时， f (x) 0在x , 上恒成立
2、 f ( ) 0,1, b , b , b ,2a或 2a,f (x) 0在x , 上恒成立 2a或, f ( ) 0 0 f ( ) 0 类型 3： f (x) 对一切x I恒成立 f (x)min f (x) 对一切x I恒成立 f (x)max 。 类型 4：,f (x) g(x)对一切x I恒成立 f (x)的图象在g(x)的图象的上方或f (x)min g(x)max (x I ) 二、恒成立问题常见的解题策略： 策略一：利用二次函数的判别式,对于一元二次函数 f (x) ax2 bx c 0(a 0, x R) 有： （1） f (x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 ； （2
3、） f (x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 例 1.若不等式(m 1)x2 (m 1)x 2 0 的解集是 R，求 m 的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论 m-1 是否是 0。 （1）当 m-1=0 时，不等式化为 20 恒成立，满足题意；,（2） m 1 0 时，只需,2, (m 1) 8(m 1) 0,m 1 0,，所以， m 1,9) 。,策略二:利用函数的最值（或值域） f (x) m对任意 x 都成立 f (x)min m ； f (x) m对任意x 都成立 m f (x)max 。简单计作：“大的大于最大的
4、，小的小于最小的”。 由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例 2.已知 f (x) x2 ax 3 a ，若 x 2,2, f (x) 2 恒成立，求 a 的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数 f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意 x 2,2, f (x)min 2 .若,min,x 2,2, f (x) 2 恒成立 x 2,2, f (x) 2 , 2,f (x)min f (2) 7 3a 2, a 2,或,24,2,a 2,a, f (x)min f ( ) 3 a 2, 2 a 2, 2,或 2,f (x)min f (2) 7 a 2,a,，即 a 的取值范围
5、为5,2 2 2 .,策略三：利用零点分布 例 3.已知 f (x) x2 ax 3 a ，若 x 2,2, f (x) 0 恒成立，求 a 的取值范围. 解析 本题可以考虑 f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间,的右侧三种情况，即 0 或, 2, 0 ,a, 2, 2或 2, 0 ,f (2) 0f (2) 0, f (2) 0 f (2) 0,a,，即 a 的取值范围为-7，2.,点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要 求对应闭区间上函数图象在 x 轴的上方或在 x 轴上就行了. 变式：设 f (x)
6、x 2 2mx 2 ，当 x 1,) 时， f (x) m恒成立，求实数m 的取值范围。,解：设 F (x) x2 2mx 2 m ，则当 x 1,) 时， F(x) 0 恒成立,当 4(m 1)(m 2) 0即 2 m 1时， F(x) 0 显然成立； 当 0 时，如图， F(x) 0 恒成立的充要条件为：, 1,2, 0,2m,F (1) 0,解得 3 m 2 。综上可得实数m 的取值范围为3,1) 。,x,2,y,- O,策略四：分离参数法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最 值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清
7、晰，操作性更强。一般地有： f (x) g(a)(a为参数）恒成立 g(a) f (x)max f (x) g(a)(a为参数）恒成立 g(a) f (x)max,x,x 2 2x a,例 4.函数 f (x) , x 1,) ，若对任意 x 1,) ， f (x) 0恒成立，求实数a 的取值范,围。 解：若对任意 x 1,) ， f (x) 0恒成立，,x,x2 2x a,即对 x 1,) ， f (x) , 0 恒成立，,考虑到不等式的分母 x 1,) ，只需 x2 2x a 0在 x 1,) 时恒成立而得 x2 2x a 0在 x 1,) 时恒成立，只要a x2 2x 在 x 1,) 时
8、恒成立。而易求得二次 函数h(x) x 2 2x 在1,) 上的最大值为 3 ，所以 a 3 。 变式：已知函数 f (x) ax 4x x2 , x (0,4 时 f (x) 0 恒成立，求实数a 的取值范围。,x,4x x 2,解： 将问题转化为a ,对 x (0,4 恒成立。,x,4x x2,令 g(x) ,，则a g(x)min,4,3,x,4x x 2,由 g(x) ,1 可知 g(x) 在(0,4 上为减函数，故 g(x) g(4) 0 xmin, a 0 即a 的取值范围为(,0) 。 注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 策略五：确定主元 在给出的含有两个变
9、量的不等式中，学生习惯把变量 x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看 成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变 量看作参数，则可简化解题过程。 例 5.若不等式2x 1 m(x2 1) 对满足 2 m 2 的所有 m 都成立，求 x 的范围。,解析：我们可以用改变主元的办法，将 m 视为主变元，即将元不等式化为： m(x2 1) (2x 1) 0 ，；,2,令 f (m) m(x 1) (2x 1) ，则 2 m 2 时，,f (m) 0 恒成立，所以只需,f (2) 0, f (2) 0,即,2,2(x 1) (2x 1) 0, 2
10、(x 2 1) (2x 1) 0,22,1 7 1 3,，所以 x 的范围是 x (,),总结：利用了一次函数 f (x) kx b, x m, n 有：, f (n) 0, f (n) 0 , f (x),f (x) 0恒成立 f (m) 0, 0恒成立 f (m) 0,变式：对任意a 1,1 ，不等式 x2 (a 4)x 4 2a 0 恒成立，求 x 的取值范围。 分析：题中的不等式是关于 x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式 (x 2)a x2 4x 4 0 在 a 1,1 上恒成立的问题。 解：令 f (a) (x 2)a x2 4x 4 ，则原问题转化为
11、 f (a) 0 恒成立（ a 1,1 ）。 当 x 2 时，可得 f (a) 0 ，不合题意。, f (1) 0,当 x 2 时，应有 f (1) 0解之得 x 1或x 3 。, 故 x 的取值范围为(,1) (3,) 。,策略六：消元转化 例 6.已知 f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且 f(1)=1,若,m n,4,m, n 1,1, m n 0时 f (m) f (n) 0 ，若 f (x) t 2 2at 1 对于所有的 x 1,1, a 1,1 恒成立，求实数,t 的取值范围. 解析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明 f(x) 是定义
12、在-1,1上的增函数,故 f(x)在-1,1上的最大值为 f(1)=1,则 f (x) t 2 2at 1 对于所有的 x 1,1, a 1,1 恒成立 1 t 2 2at 1对于所有的a 1,1 恒成立，即2ta t 2 0 对于所有的a 1,1,g(1) 0,恒成立，令 g(a) 2ta t 2 ，只要g(1) 0 ，t 2或t 2或t 0 , 点评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只,含有两变量的不等式问题,使问题得到解决.,以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的 取值范围。事实上，这些策略
13、不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使 问题得以顺利解决。 三、巩固练习 1.（1）若关于 x 的不等式 x2 ax a 0 的解集为(,) ，求实数a 的取值范围；（2）若 关于 x 的不等式 x2 ax a 3的解集不是空集，求实数a 的取值范围 解：（1）设 f x x2 ax a .则关于 x 的不等式 x2 ax a 0 的解集为(,) f x 0,min,4,min,4a a 2, ,x ,在上恒成立 fx 0 ,即 f , 0, 解得 4 a 0,（2）设 f x x2 ax a .则关于 x 的不等式 x2 ax a 3的解集不是空集 f x 3在,
14、min,4,min,4a a 2, ,x ,上能成立 fx 3,即 f , 3, 解得a 6或a 2 .,2. 若函数 y mx2 6mx m 8 在 R 上恒成立，求 m 的取值范围。 分析：该题就转化为被开方数mx2 6mx m 8 0 在 R 上恒成立问题，并且注意对二次项系 数的讨论。 略解：要使 y mx2 6mx m 8 在 R 上恒成立，即mx2 6mx m 8 0 在 R 上 恒成立。 1 m 0 时， 8 0 m 0 成立,2,2 m 0 时， m 0, 36m 4 m 8 32m m 1 0,，0 m 1,由1 ， 2 可知， 0 m 1,2,5,1,1 上是增函数，求 t
15、 的取,3. 已知向量a (x , x 1), b (1 x, t), 若函数 f x a b 在区间 值范围.,解：依定义 f (x) x2 (1 x) t(x 1) x3 x2 tx t, 则f (x) 3x2 2x t. f x 在区间1,1上是增函数等价于 f x 0 在区间1,1上恒成立; 而 f x 0 在区间1,1上恒成立又等价于t 3x2 2x 在区间1,1上恒成立; 设 gx 3x2 2x, x 1,1进而t gx在区间1,1上恒成立等价于t gx, x 1,1 max,2,1,1,1 ,3 3 , 1 ,考虑到 gx 3x 2x, x 在 1,上是减函数,在,1 上是增函数
16、,则,gmax x g1 5. 于是, t 的取值范围是t 5 . 4. 已知函数 f x x3 3ax 1, g x f x ax 5 ，其中 f x 是 f x 的导函数.对满足 1 a 1的一切a 的值，都有 g x 0 ，求实数 x 的取值范围； 解法 1.由题意 g x 3x2 ax 3a 5，这一问表面上是一个给出参数a 的范围，解不等式 g x 0 的问题，实际上，把以 x 为变量的函数 g x ，改为以a 为变量的函数，就转化为不 等式的恒成立的问题，即 令 a 3 xa 3x2 5 ， 1 a 1 ，则对1 a 1，恒有 g x 0 ，即 a 0 ， 从而转化为对1 a 1， a 0 恒成立，又由 a 是a 的一次函数，因而是一个单调函数， 它的最值在定义域的
