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1、第三章 环与域与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。1 加群、环的定义一、加群在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用
2、加法的符号来表示更加方便。因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如：（1）加群的单位元用0表示，叫做零元。即，有。（2）加群的元素的逆元用表示，叫做的负元。即有。利用负元可定义加群的减法运算：。（3）。（4）。（5）（6），且有请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。加群的一个非空子集作成一个子群，有，有。加群的子群的陪集表示为：。二、环的定义设是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若1. 对于“+”作成一个加群。2. 对于“。”是封闭的。3. ，
3、有，即乘法适合结合律。4. ，有，即乘法对加法适合左（右）分配律。则称关于“+”与“。”作成一个环。由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。例1 整数集合，有理数集合，实数集合，复数集合对于普通数的加法和乘法作成环。分别叫做整数环，有理数环，实数环，复数环。例2 数域上所有阶方阵作成的集合关于矩阵的加法和乘法作成环。例3 关于普通数的加法和乘法作成环，叫做偶数环。问：奇数集合关于普通数的加法和乘法是否作成环？答：否。因为关于加法不构成加群。由于一个环也是一个加群，所以上面关于加群的性质与运算规则（1）到（6）在环里也都成立。此外，环还有下列基本性质：（7
4、）证明：由两个分配律以及负元的定义，有再由（4）得，。（8）证明：（9）证明：因为所以。（10）证明：（11） 证明略（12）即。证明略（13）证明略（14）定义：（是正整数），并称为的次乘方（简称次方或次幂）。对任意正整数有证明略由以上（1）-（14）各条可看出，中学代数的计算法则在一个环里差不多都可适用，但还是有少数几个普通计算法则在一个环里不一定成立，这一点我们将在下一节讨论。2 交换律、单位元、零因子、整环前面说过，普通的运算法则大多数在环里也是成立的，但还是有些法则不一定成立，例如，数域上所有阶方阵集合关于矩阵的加法和乘法可验证作成一个环，但我们知道矩阵的乘法是不满交换律与消去律的。
5、由于环的定义中对乘法的要求只有适合结合律一条，所以在环中对乘法的运算往往需要附加一定的条件，由此产生各种类型的环。1、交换律因为在环的定义里没有要求乘法适合交换律，所以在环里对，未必有。如矩阵环就不适合交换律，当然也有适合交换律的环，如整数环。若环的乘法适合交换律（即，有），则称环为交换环。当环是交换环时，有例 若环的每一个元素都适合，则称是布尔环。证明，布尔环是交换环。证明：，有，于是有，即，即，所以，故布尔环是交换环。2、单位元在群论里。我们已经看到了单位元的重要性。在环的定义里，没有要求一个环要有一个对于乘法来说的单位元，但一个环如果有这样一个元，我们可以想象这个元也会占有一个很重要的地
6、位。事实上，有些环确实有单位元，如：整数环就有乘法单位元1；数域上阶方阵环也有乘法单位元，即单位矩阵。但并不是所有环都有单位元，如偶数环就没有乘法单位元。若环存在元素，使得，有，则称是的单位元。此时环也叫做有单位元环。一般地，一个环未必有单位元。但如果有的话，一定是唯一的。因为，若都是环的单位元，则。例1（）在一个有单位元的环里，这个唯一的单位元习惯上常用1来表示。注意，这里的1不是普通的整数1.在有单位元的环里，和群一样，规定。设是有单位元1的环，若，则称是可逆元，是的一个逆元。在有单位元的环里，未必每个元素都有逆元，如整数环是一个有单位元的环，但除了外，其它的整数都没有逆元。又如在矩阵环中
7、非可逆矩阵就没有逆元。但是如果有逆元，则其逆元是唯一的。因为，若有两个逆元和，则。当是可逆元时，其唯一的逆元记作。并规定 （是正整数）这样规定以后，当是可逆元时公式对任何整数都成立。3、零因子前面在讨论环的运算性质时，曾有结论，即当环中的两个元素中有一个是零元时，。那么，反过来当时，是否也有或呢？结论是在一般的环里是不成立的。例2（） 在模剩余类集合中，我们在第一章定义了加法和乘法：并在第二章证明了关于加法构成加群。又因为 所以关于剩余类的加法和乘法构成一个环。这个环叫做模剩余类环，它有单位元。当不是素数时，则，于是在中，而，这里是的零元素。定义 若环中两个非零元，使得，则称是环的左零因子，是
8、环的右零因子。注：左，右零因子统称零因子。若是交换环，则它的一个左零因子也是右零因子，反之也一样。但在非交换环中，一个左零因子未必是右零因子，同样一个右零因子也未必是左零因子。另外，未必每一个环都有零因子，例如整数环就没有零因子。显然，由可推出或当且仅当环没有零因子。例3 设，则不是零因子。证明：（）因为，所以存在，使得。，若，则由，有，所以不是零因子。（）若，则且，所以是中非零元，但与不是零因子矛盾，所以，即。例4（）定理 若环没有零因子，则（左消去律）（右消去律）成立。反之，若环里有一个消去律成立，则环没有零因子。证明：若环没有零因子，则由有于是，从而。同样可证右消去律成立。若在环里左消去
9、律成立，则当时，由及，有，故环没有零因子。同理可证右消去律成立时，也没有零因子。推论 在环中，只要有一个消去律成立，那么两个消去律就都成立。4、整环以上我们给出了一个环的乘法运算可能适合的三个附加条件：交换律，单位元，零因子。一个环当然可以同时适合一个以上的附加条件，同时适合以上三个附加条件的环特别重要。定义 若环适合以下条件：1.乘法适合交换律（即）；2. 有单位元1（即）；3. 没有零因子（即）。则称是一个整环。即，有单位元无零因子的交换环叫做整环。例如，整数环是整环。P89、5.证明 ，显然是非空集合。，有，即对加法封闭。 即加法适合结合律。存在，使得所以0是的零元。，所以的负元是，即。
10、，即加法适合交换律。由可知，关于加法构成群。，即对乘法封闭。 即乘法适合结合律。 即乘法对加法适合分配律。由可知，关于加法和乘法构成环。因为，所以是交换环。是的单位元。若，则。故是整环。3 除环、域在上一节，我们对环的乘法运算附加了一些条件后就产生了一些特殊的环，如：交换环，有单位元环，无零因子环，整环等。在本节将进一步讨论特殊的环，介绍两类重要的特殊环：除环与域。由上一节知识可知在一个有单位元1的环里，可以讨论元素的逆元问题，即当时，称是可逆元，是的逆元。而且当可逆时其逆元是唯一的，记作。那么对于有单位元的环，其中的元素是否都有逆元呢？，为此我们先看下面两个例子。例1（P90）例2（P91）
11、由例1知，当一个有单位元环至少有一个非零元时，零元一定没有逆元。而由例2知，有的有单位元环其每个非零元都有逆元，但有的有单位元环则未必每个非零元都有逆元，例如，是有单位元环，但中并非每个非零元都有逆元。于是有如下概念。定义 设是一个环，若1、含有非零元；2、有单位元1；3、的每个非零元都有逆元（即，当时，存在，使得）。则称是除环。由此定义及例2知，有理数环、实数环、复数环都是除环，但整数环不是除环。除环有如下性质：（1）除环没有零因子。事实上，设是除环，对，若有，则，从而，同理若有，则。故的非零元都不是零因子，即无零因子。由此可知，除环是无零因子环，但是无零因子环未必是除环，如，整数环是无零因
12、子环，但不是整环。（2）除环中非零元集合，关于除环的乘法构成群。事实上，设是除环，则、由（1）知对的乘法封闭；、由环的定义知，乘法适合结合律；、的单位元1就是的单位元；、由除环的定义知，中每个元素都有逆元。故关于的乘法构成群。叫做除环的乘群。这样，一个除环是由两个群：加群与乘群凑合而成的，分配律就像是一座桥，使得这两个群之间发生一种联系。由（1）、（2）知，在一个除环里，方程和（）各有一个唯一的解：和。这两个解分别叫做用从左边和右边去除，这就是除环这个名字的来源。要注意的是，一般地有（因为除环里的乘法不适合交换律）。定义 交换的除环叫做域。由此可见，域是特殊的环。所以除环的性质对域也成立，但反
13、之则未必。由于在域里有，所以我们用来表示这两个相等的元素，即，这时我们就可以得到普通运算法则。设是一个域，则对，有（1）（2）（3）证明 （1）若，则，从而，于是。反之，若，则，因而，即。（2）因为所以（3）因为所以例3（P92）到现在为止，我们已经把几种最常见的适合乘法附加条件的环，都稍微做了介绍，为了能够把它们的隶属关系看得更清楚些，我们做了一个表，详见P93。例4 模剩余类环是域是素数。证明 （）由第二节知，是有单位元的交换环，因此要证是域，只需证中非零元都可逆即可。，则，因为是素数，所以有，于是存在，使得，从而有即是的逆元，所以的每个非零元均可逆，故是域。 （）若不是素数，则有，从而有
14、，但，于是是的零因子，这与是域无零因子矛盾。故是素数。4 无零因子环的特征在前面各节，我们看到了在各种环里哪些普通计算规则是可以适用的。有一种普通计算规则不但在一般环里，就是在适合条件比较强的环域里面也不一定能够适用，这规则就是：时，未必有 (1)例1 在域（是素数）里，有，但那么，（1）之所以不一定成立的原因在哪里呢？设是一个环，我们知道的元素对于加法来说构成一个加群，在这个加群里每一个元素都有一个阶，由阶的定义可知，的元素在加群里的阶若是无限的，那么不管是哪一个整数，都有；若的阶是一个有限数，就有。即对的一个不等于零的元素来说，（1）式能不能成立，完全由在加群里的阶是无限还是有限来决定的，的阶无限时（1）式成立，的阶有限时（1）不成立。在一个环可能某一个不等于零的元素对于加法来说的阶是无限的，而另一个不等于零的元素的阶却是有限的。例2（P95）可见，在一个一般环里，（1）这个计算规则可能对于某一个元素来说成立，对于另一个元素来说又不成立。但在一个没有零因子的环里情形就不同了。定理1 在一个没有零因子的环里，所有不等于零的元素，对于加法来说的阶都是一样的。证明 若的每一个不等于零的元素，对于加法的阶都是无限的，那么定理1成立。假定的某一个不等于零的元素对于加法的阶是有限整数。，则由及是无零因子环可得，所以，同理可证，故。所以的所有不等于零的元素，对于加法来说的阶都是一样的。
