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1、ANSYS 及其在材料科学中的应用（5）,Outline 非线性分析,非线性概述 非线性求解,非线性行为 基本概念,非线性结构的基本特征是结构刚度随载荷的改变而变化。如果绘制一个非线性结构的载荷位移曲线，则力与位移的关系是非线性函数。,F,u,当载荷增加时，载荷位移曲线的斜率也在改变。在本例中结构是“软化”的。,非线性行为(续),引起结构非线性的原因有很多，它们可分成以下三种主要类型： 1.几何非线性 大应变，大位移，大旋转 2.材料非线性 塑性，超弹性，粘弹性，蠕变 3.状态改变非线性 接触，单元死活,几何非线性,如果一个结构承受大的变形，它改变的几何构形可导致非线性行为。大位移、大应变和大
2、旋转是几何非线性的例子。,在轻微的横向载荷下，杆的端部是极度柔性的，当载荷增加时，杆的几何形状改变（变弯曲）并减少了力臂（由于载荷移动），从而导致杆的刚度在较高载荷下不断增大。,材料非线性,非线性的应力应变关系是产生结构非线性的一个普遍原因。,钢,橡 胶,应变,应变,应力,应力,状态改变非线性,许多非线性问题是与状态相关的。例如一段绳索可以是松驰的或拉紧的。一个装配件的两部分可能接触或脱离接触。,在这个接触例题中，接触面积未知，它取决与施加载荷的大小。,非线性分析得到的结果,不能使用叠加原理! 结构响应与路径有关，也就是说加载的顺序可能是重要的。 结构响应与施加的载荷可能不成比例。,非线性分析
3、的应用,一些典型的非线性分析的应用包括： 非线性屈曲失稳分析 金属成形研究 碰撞与冲击分析 制造过程分析（ 装配、部件接触等） 材料非线性分析 （弹性材料、聚合物） 承受极限载荷的系统分析（塑性行为与动力响应）,非线性分析的应用(续),宽翼悬臂梁的侧边扭转失稳,一个由于几何非线性造成的结构稳定性问题,非线性分析的应用(续),橡胶底密封 一个包含几何非线性（大应变与大变形），材料非线性（橡胶），及状态非线性（接触的例子。,非线性分析的应用(续),轴上装配花键，接触非线性的例子,概述,ANSYS 最常用的非线性功能 几何非线性 大应变，大位移与大转动 - 结构稳定性 （前屈曲分析与后屈曲分析） 塑
4、性 超弹性 接触非线性,非线性分析,应理解非线性分析中所用到的基本术语：,1. Newton-Raphson法 2. 收敛 3. 载荷步，子步和平衡迭代 4. 自动时间步 输出文件信息 非线性求解过程 高级求解控制 重启动分析,主要内容,非线性求解,F,u,在非线性分析中，不能直接由线性方程组求得响应。需要将载荷分解成许多增量求解，每一增量确定一平衡条件。,渐变式加载,非线性求解的一种方法是将载荷分解为一系列增量。在每一增量步求解结束后，调节刚度矩阵以适应非线性响应。,纯增量法的问题在于载荷增量步导致误差累积，使最终结果偏离平衡。,F,u,误差,累计响应,位移,载荷,1) Newton-Rap
5、hson 法,ANSYS 使用Newton-Raphson平衡迭代法 克服了增量求解的问题。 在每个载荷增量步结束时，平衡迭代驱使解回到平衡状态。,F,u,一个载荷增量中全 Newton-Raphson 迭代求解。（四个迭代步如图所示）,位移,载荷,1,2,3,4,Newton-Raphson法(续),Newton-Raphson 法迭代求解使用下列方程： KTu = Fa - Fnr 这里: KT= 切向刚度矩阵 u= 位移增量 Fa = 施加的载荷矢量 Fnr = 内力矢量 目标是迭代至收敛 (后面定义)。,Fa,u,1,2,3,4,KT,Newton-Raphson 法(续),Newto
6、n-Raphson法是ANSYS用于求解非线性方程组的一种数值方法 。 Newton-Raphson法基于增量加载与迭代，使每个载荷增量步达到平衡。 Newton-Raphson 法的优点是对于一致的切向刚度矩阵有二次收敛速度。 也就是每一迭代步的求解误差与前一步误差的平方成正比。,2) 收 敛,Newton-Raphson 法需要一个收敛的度量以决定何时结束迭代。给定外部载荷（Fa），内部载荷（ Fnr ）（由单元应力产生并作用于节点），在一个体中，外部载荷必须与内力相平衡。 Fa - Fnr = 0,收敛是平衡的度量。,收 敛(续),Fa,u1,Newton-Raphson 迭代过程如下所
7、示。基于 u0 时的结构构形，计算出切向刚度KT，基于F 计算出的位移增量是u ，结构构形更新为 u1。,Fnr,u,在更新的构形中计算出内力（单元力） 。 迭代中的Newton-Raphson 不平衡量是: R = Fa - Fnr,F,u0,位移,载荷,R,KT,收 敛(续),Newton-Raphson不平衡量 (Fa - Fnr) 实际上从未真正等于零。当不平衡量小到误差允许范围内时，可中止Newton-Raphson 迭代，得到平衡解。 在数学上，当不平衡量的范数|Fa - Fnr|小于指定容限乘以参考力的值时就认为得到收敛。,收敛判据,ANSYS 缺省的收敛判据是力 / 力矩和位移
8、 / 旋转增量。 对于力 / 力矩缺省的容限是0.5%，对于位移 / 旋转增量的容限是 5% 。 经验表明这些容限对于大多数问题具有足够的精确度。缺省的设置对于广泛的工程问题既不“太紧”也不“太松”。,收敛判据(续),力收敛判据提供了一个收敛的绝对度量，因为它可直接度量内部力与外部力间的平衡。,基于检查的位移判据只应作为力收敛判据的辅助手段使用。 只依据位移判断收敛在一些情况下将导致错误的结果。,收敛半径,虽然使用一致切向刚度的Newton-Raphson法具有平方的收敛速度，但它不能保证一定收敛！只有初始构形在收敛半径以内， Newton-Raphson 才可以保证收敛。,F,u,位移,载荷
9、,收敛半径 如果 ustart 在收敛半径内将收敛，否则将发散。,ustart ?,收敛半径(续),ANSYS 使用了许多求解工具（以后将探讨）既使用渐变式加载（在收敛半径内开始求解），又扩大收敛半径。,渐变式加载,扩大收敛半径,F,u,ustart,F1,F,u,ustart,切向刚度,为得到平方的收敛速度，切向刚度矩阵需要是全一致的。切向刚度矩阵KT由四部分组成： KT = Kinc + Ku + K - Ka 这里 Kinc= 主切向刚度矩阵 Ku = 初始位移矩阵 K= 初始应力矩阵 Ka = 初始载荷矩阵,切向刚度(续),切向刚度矩阵代表多维空间中载荷位移曲线的斜度。,Kinc 是主
10、切向刚度矩阵。 Ku 考虑了与单元形状与位置改变有关的刚度。 K 考虑了与单元应力状态有关的刚度；它结合了应力刚化效应。 Ka 考虑了与压力载荷取向改变有关的刚度，取向改变是由变形引起的。,3) 载荷步、子步 和平衡迭代,在ANSYS中，结构上施加的载荷由一系列定义的 载荷步 来描述。 给定载荷步中的载荷是逐步施加上去的。载荷的每个增量称之为子步。,载荷步，子步与平衡迭代,非线性求解可按下列三个层次组织： 载荷步 载荷步是顶层，求解选项，载荷与边界条件都施加于某个载荷步内。 子步 子步是载荷步中的载荷增量。子步用于逐步施加载荷。 平衡迭代步 平衡迭代步是ANSYS为得到给定子步（载荷增量）的收
11、敛解而采用的方法。,载荷步，子步与平衡迭代(续),“时间”,载荷,载荷步 2,载荷 1,子步,在每一增量载荷步中完成平衡迭代步。 载荷步一中有两个子步，载荷步二中有三个子步。 每个载荷步及子步都与 “ 时间 ”相关联。,两个载荷步的求解,在非线性求解中的 “ 时间 ”,每个载荷步与子步都与 “ 时间 ”相关联。 子步 也叫时间步。 在率相关分析（蠕变，粘塑性）与瞬态分析中，“ 时间 ”代表真实的时间。 对于率无关的静态分析，“ 时间 ” 表示加载次序。在静态分析中，“ 时间 ” 可设置为任何适当的值。 建模技巧: 在静态分析中，“ 时间 ”可设置为给定载荷的大小。这样将易于绘制载荷位移曲线。,
12、子步中的载荷增量大小 (DF) 由时间步的大小Dt决定。 时间步大小可由用户设定或由ANSYS自动预测与控制。 自动时间步 算法可在载荷步内为所有子步预测与控制时间步长的大小（载荷增量）。,DF,时间,载荷,F1,F2,Dt,t1,t2,）自动时间步,自动时间步算法是 非线性求解控制 中包含的多种算法的一种。（在以后的非线性求解控制中有进一步的讨论。） 基于前一步的求解历史与问题的本质，自动时间步算法或者增加或者减小子步的时间步大小。,自动时间步(续),5) 输出文件的信息,在非线性求解过程中，输出窗口显示许多关于收敛的信息。输出窗口包括： 力/力矩不平衡量 R FORCE CONVERGEN
13、CE VALUE 最大的自由度增量 u MAX DOF INC 力收敛判据 CRITERION 载荷步与子步数 LOAD STEP 1 SUBSTEP 14,输出文件的信息(续),输出窗口包括（续） ： 当前子步的迭代步数 EQUIL ITER 4 COMPLETED 累计迭代步数 CUM ITER = 27 时间值与时间步大小 TIME = 59.1250 TIME INC = 5.00000 自动时间步信息 AUTO STEP TIME: NEXT TIME INC = 5.0000 UNCHANGED,输出文件的信息(续),* LOAD STEP 1 SUBSTEP 14 COMPLET
14、ED. CUM ITER = 27 * TIME = 54.1250 TIME INC = 5.00000 * MAX PLASTIC STRAIN STEP = 0.1512 CRITERION = 0.2500 * AUTO STEP TIME: NEXT TIME INC = 5.0000 UNCHANGED FORCE CONVERGENCE VALUE = 349.2 CRITERION= 2.598 DISP CONVERGENCE VALUE = 0.1320 CRITERION= 0.9406 SOLUTION CONVERGED AFTER EQUILIBRIUM ITERA
15、TION 4 * LOAD STEP 1 SUBSTEP 15 COMPLETED. CUM ITER = 31 * TIME = 59.1250 TIME INC = 5.00000 * MAX PLASTIC STRAIN STEP = 0.2136 CRITERION = 0.2500 * AUTO STEP TIME: NEXT TIME INC = 5.0000 UNCHANGED,输出文件的信息(续),输出文件中的信息可用于求解调试。下列内容代表求解过程中的一些典型问题： 力/力矩不平衡量 求解收敛的如何？不平衡量是在增加、减少或振荡？ 自由度增量 自由度增量是变小、变大或振荡？
16、力收敛判据 在你的问题中这个值是太大还是太小？它如何能与力收敛值相匹配？,输出文件的信息(续),载荷步与子步数 求解现位于载荷历程的何处？当前载荷步使用了多少子步？ 迭代数 每一子步使用了多少次迭代？载荷增量是太大还是太小？ 时间参数 求解现位于载荷历程的哪一点？ 自动时间步信息 下一子步的时间步长是缩小还是增大？ 收敛历史是顺利还是困难？,图示收敛信息,在图形窗口显示的是图形化的收敛历史。显示了时间、迭代步数与不平衡量的信息。在求解过程中这一显示不断更新。,6) 非线性求解过程,下面列出了完成非线性分析所需的典型步骤： 1.指定分析类型 2.指定几何非线性打开或关闭 3.为载荷步指定“ 时间 ” 4.设定子步数 5.施加载荷与边界条件 6.指定输出控制与监视值 7.保存数据库 8.求解载荷
