《高中数学优质课件精选——人教版必修五：2.3 等差数列的前n项和 2.3.2 精讲优练课型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学优质课件精选——人教版必修五：2.3 等差数列的前n项和 2.3.2 精讲优练课型（78页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 等差数列习题课,【题型探究】 类型一 等差数列前n项和的性质 【典例】1.等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和 Tn，且 则 =(),2.已知等差数列an的前n项和为Sn，且 那么 的值为() 3.(2015唐山高二检测)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，则m=() A.3B.4C.5D.6,【解题探究】1.典例1中， 如何转化为 的形式？ 提示： 2.典例2中，S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12是否成等差数 列？ 提示：S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列.,3.典例3中，联系题目条件，可以考虑应用等差数列前
2、n项和的哪个性质？ 提示：应用数列 是等差数列.,【解析】1.选B.由题意得,2.选D.由 可设S4=t，S8=3t，t0， 所以S8-S4=3t-t=2t， 因为等差数列an的前n项和为Sn， 所以S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列， 所以S12-S8=3t，S16-S12=4t，所以S12=6t，S16=10t. 所以,3.选C.因为数列an为等差数列，且前n项和为Sn， 所以数列 也为等差数列. 所以 解得m5，经检验为原方程的解.,【延伸探究】若典例1条件不变，试计算 【解析】,【方法技巧】与等差数列前n项和Sn有关的性质 (1)数列Sn，S2n-Sn，S3n-S
3、2n，是公差为n2d的等差数列. (2)数列 为等差数列.,(3)等差数列an前n项和公式为 由等差数 列的性质可得： (4)若两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn， 则,【变式训练】1.(2015黄山高二检测)等差数列的通 项公式是an=1-2n，其前n项和为Sn，则数列 的前11 项和为() A.-45B.-50C.-55D.-66,【解析】选D.因为 所以 所以数列 是首项为-1，公差为-1的等差数列，其 前11项和为-（1+2+3+11）= =66 .,2.等差数列an的前n项和为Sn，S3=-6，S18-S15=18，则S18等于() A.36B.18C.72D.9 【解
4、题指南】根据S3，S6-S3，S9-S6，S18-S15成等差数列计算.,【解析】选A.由S3，S6-S3，S9-S6，S18-S15成等差数列，可知 S18=S3+S6-S3+S9-S6+S18-S15,【补偿训练】一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和. 【解析】方法一：设该等差数列的公差为d， 由于Sn= 所以,所以数列 是等差数列，其公差为 . 所以 所以 所以 所以S110=110.,方法二：数列S10，S20-S10，S30-S20，S100-S90，S110 -S100成等差数列，设其公差为D，前10项和10S10+ D=S100=10D=-2
5、2，所以S110-S100=S10+(11-1)D =100+10(-22)=-120. 所以S110=-120+S100=-110.,类型二 奇数项和、偶数项和问题 【典例】等差数列an的前12项和为354，前12项中奇数项与偶数项的和之比为2732，求这个数列的通项公式.,【解题探究】典例中前12项中奇数项能构成等差数列吗？偶数项呢？偶数项的和与奇数项的和的差有何特点？ 提示：前12项中奇数项、偶数项分别构成以a1，a2为首项，2d为公差的新的等差数列.S偶-S奇=6d.,【解析】方法一：设an的首项为a1，公差为d， S奇=6a1+ 2d=6a1+30d， S偶=6(a1+d)+ 2d=
6、6a1+36d， 所以an=2+(n-1)5=5n-3.,方法二：S偶-S奇=(a2+a4+a12)-(a1+a3+a11) =(a2-a1)+(a4-a3)+(a12-a11)=6d， 所以S偶-S奇=192-162=6d.所以d=5. 因为S12=12a1+ 5， 所以a1=2.所以an=5n-3.,方法三：设an的首项为a1，公差为d，则 所以 因为S12= =6(a6+a7)=354， 解得 所以d=5.所以an=a6+(n-6)5=27+5n-30=5n-3.,【延伸探究】 1.(变换条件)典例中，“354”改为“222”，“2732”改为“1720”，其他条件不变，结果又如何？,【
7、解析】S偶-S奇=(a2+a4+a12)-(a1+a3+a11) =(a2-a1)+(a4-a3)+(a12-a11)=6d， 所以S偶-S奇=120-102=6d.所以d=3. 因为222=12a1+ 3， 所以a1=2.所以an=3n-1.,2.(变换条件、改变问法)典例中项数改为2n+1(nN*)项，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数.,【解析】项数为2n+1(nN*)，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，中间项为an+1，则 所以 所以n=3，an+1=11. 所以数列的中间项为11，项数为7.,【方法技巧】奇数项和与偶数项和的性质 (1)若等差数列的项数为2n，则
8、S2n=n(an+ an+1)， S偶-S奇=nd，,(2)若等差数列的项数为2n+1，则 S2n+1=(2n+1)an+1， S偶-S奇=-an+1，,【补偿训练】在等差数列an中前m项(m为奇数且m1)和为77，其中偶数项和为33且a1-am=18，求这个数列的通项公式.,【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d，则数 列的前m项为a1，a1+d，a1+2d，a1+3d，a1+(m-1)d. 前m项(m为奇数)和为77，其中偶数项之和为33，所以 奇数项之和为44， S奇=a1+(a1+2d)+(a1+4d)+a1+(m-1)d,S偶=(a1+d)+(a1+3d)+(a1+5d)+a1
9、+(m-2)d 所以S奇- S偶=a1+ d=11， 因为a1-am=a1-a1+(m-1)d=18，所以(m-1)d=-18， 联立解得a1=20，所以am=2， 因为Sm= (a1+am)=77，所以m=7.,代入(m-1)d=-18，解得d=-3. 通项公式an=20-3(n-1)=23-3n.,【延伸探究】 1.(变换条件)本题中“77”改为“93 ”，“33”改 为“42 ”，“a1-am=18”改为“a1=1”，其他条件 不变，结果如何？,【解析】设m=2n+1， 由题意得S2n+1=(2n+1)an+1=93 ， S奇=S2n+1-S偶=93 -42 =51， S奇-S偶=an+
10、1=8 ， 所以 所以n=5.,又因为a1=1，a1+nd=8 ， 所以1+5d=8 ，解得d= ， 所以an=1+(n-1),2.(变换条件、改变问法)将本题中“奇数且m1”改为“偶数且m18”，“77”改为“162”“33”改为“72”，“a1-am=18”改为“各项为整数”，求首项a1.,【解析】设m=2n，则n9. S奇=a1+a3+a2n-1 =na1+ 2d=na1+n(n-1)d=162-72=90， S偶=a2+a4+a6+a2n =na2+ 2d=na1+n2d=72， 所以S偶-S奇=nd=-18，所以d=- ，,因为等差数列an各项均为整数， 所以d=- (n9)为整数，
11、 所以n=9，18， 当n=9时，d=-2， 所以9a1+92(-2)=72，a1=26， 当n=18时，d=-1， 所以18a1+182(-1)=72，a1=22.,类型三 数列求和 角度1：裂项相消法求和 【典例】(2015江苏高考)数列an满足a1=1，且 an+1-an=n+1(nN*)，则数列 的前10项和为_.,【解题探究】典例中，用什么方法求数列an的通项 公式？用什么方法计算数列 的前10项和？ 提示：利用累加法求出数列an的通项公式；利用裂 项相消法计算 的前10项和.,【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =n+(n-1)+(n-2
12、)+2+1= 所以 所以 的前10项和为 答案：,【延伸探究】若把典例中“an+1-an=n+1”改为 “an= ”，其他条件不变，结果又如何？ 【解析】因为 所以 的前10项和为,角度2：并项转化求和 【典例】数列an的通项an= 其前n项 和为Sn，则S30的值为_.,【解题探究】典例中的数列an的通项公式可转化为 何种形式？根据数列an中项的变化规律，用什么方 法求和？ 提示： 数列 中重复出现 ， ，1三项. 据此特点，可将各项重新搭配并项求和.,【解析】由题意得 ， 所以S30=- (12+22-232)+(42+52-622)+(282+292 -3022) =- (12-32)+
13、(42-62)+(282-302)+(22-32)+(52-62) +(292-302) =- -2(4+10+16+58)-(5+11+17+59),答案：470,角度3：求数列|an|的前n项和 【典例】已知数列an的通项公式an=2n+11. (1)如果an的前n项和为Sn，求Sn的最大值. (2)如果bn=|an| (nN*)，求数列bn的前n项和Tn.,【解题探究】典例中(1)如何求Sn的最大值？ (2)Tn与Sn有什么关系？ 提示：(1)利用二次函数求最值的方法求Sn的最大值. (2)当n5时，Tn=Sn； 当n6时，Tn=S5-(Sn-S5).,【解析】(1)因为Sn= (9+1
14、1-2n)=10n-n2 =-(n-5)2+25， 所以当n=5时，Sn最大，最大值为25.,(2)bn= 当n5时，Tn=Sn=10n-n2； 当n6时，Tn=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn =252-(10n-n2)=n2-10n+50， 所以,【方法技巧】 1.裂项相消法求数列的和 裂项相消法求数列的和，主要适用于数列的通项公式是分式.常见的裂项有： (1)若an是等差数列，则,2.并项转化法求数列的和 (1)适用形式： 适用于形如an=(-1)nf(n)的摆动数列. 项成周期变化的数列.,(2)求和方法： 形如an=(-1)nf(n)的数列用并项法把相邻项的一正一负两项并作一项，从
15、而使通项降次，得以转化为等差数列求解. 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求原数列的前n项和.,3.数列|an|的前n项和的四种类型及其求解策略 (1)等差数列an的各项都为非负数，这种情形中数列|an|就等于数列an，可以直接求解. (2)等差数列an中，a10，d0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列an分成两段处理.,(3)等差数列an中，a10，这种数列只有前边有限项为负数，从某项开始其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理. (4)等差数列an的各项均为负数，则|an|
16、的前n项和为an前n项和的相反数.,【变式训练】1.(2015四平高一检测)在等差数列an 中，a10，a10a110，若此数列的前10项和S10=36，前 18项和S18=12，则数列|an|的前18项和T18的值是() A.24B.48C.60D.84,【解析】选C.由a10，a10a110，a110， 所以T18=a1+a10-a11-a18 =S10-(S18-S10)=60.,2.计算：1-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2. 【解析】原式 =(1-22)+(32-42)+(2n1)2(2n)2 =(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(2n-1-2n)(2n-1+2n) =-3-7-(4n-1) = =-2n2-n.,3.在等差数列an中，a1=3，d=2，Sn是其前n项和， 求,【解析】因为Sn= 所以,【拓展类型】等差数列综合应用 【典例】1.已知等差数列an的前n项和为Sn(nN*)，且an
