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1、初中函数知识,函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像) 平面直角坐标系 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+） 第二象限：（-，+） 第三象限：（-，-） 第四象限：（+，-） 3、坐标轴上点的坐标特征： x 轴上的点，y 为零；y 轴上的点，x 为零；原点的坐标为（0 , 0）。 4、点的对称特征：已知点 P(m,n), 关于 x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于 y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标
2、都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 平行于 x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于 y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点 P（x,y）的几何意义： 点 P（x,y）到 x 轴的距离为 |y|，点 P（x,y）到 y 轴的距离为 |x|。 点 P（x,y）到坐标原点的距离为x 2 y 2 8、两点之间的距离： X 轴上两点为 A (x1 ,0) 、B (x2 ,0) |AB| | x2 x1 |,Y 轴上两点为 C (0, y1 )
3、、D (0, y2 ) |CD| | y2, y1 |,已知 A (x1 , y1 ) 、B (x2 , y2 ) AB|=,(x x )2 ( y y )2 2121,1,初中函数知识,9、中点坐标公式：已知 A (x1 , y1 ) 、B (x2 , y2 ) M 为 AB 的中点,则：M=(,2,21,x x,2,2,21,y y,),10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中， 将点（x,y）向右平移 a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a，y）； 将点（x,y）向左平移 a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）； 将点（x,y）向上平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，yb
4、）； 将点（x,y）向下平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，yb）。 函数的基本知识： 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的 值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。 *判断 A 是否为 B 的函数，只要看 B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定的值与之对应 3、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等
5、于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 4、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标， 那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 5.函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 6、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描 出表格中数值对应的各点）； 第
6、三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 7、函数的表示方法:列表法、解析式法、图象法,初中函数知识,一次函数图象和性质,b,【知识梳理】 一、一次函数的基础知识 1、定义：一般地，形如y=kxb(k,b 是常数，k0)，那么y 叫做 x 的一次函数 当 b=0 时，y=kxb 即y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式： y=kx+b (k0) 说明： k 不为零x 指数为 1 b 取任意实数 2、解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k 0) 3、图像：一次函数 y=kx+b 的图象是经过（0，b）和（-，0）两点
7、的一条直线，我们称它为直 k 线 y=kx+b,4、增减性（单调性）： k0，y 随 x 的增大而增大（单调增）；k0，y 随x 而增大而减小（单调减）,b,5、必过点：（0，b）和（-，0）：理由如下：y=kx+b 中， k 当 x=o,时，y=？ 所以，该函数经过（ ， ）点 当 y=o,时，x=？所以，该函数经过（ ， ）点 b,所以，一次函数 y kx b 的图象是必经过（ ，0）和（0，b）两点的一条直线.，,k 注：两点确定一条直线。画图时，可通过这两点来确定直线。 6、一次函数图像的画法：两点法 、计算必过点（0，b）和（- b ，0）、描点、连线（从左到右光滑的直线） k 7、
8、增减性： k0，y 随x 的增大而增大；k0，y 随x 增大而减小. 8、倾斜度(只与 k 相关)：|k|越大，图象越接近于 y 轴；|k|越小，图象越接近于 x 轴.,9、与 y 轴交点 当 b0 时直线与y 轴交于原点上方（即 y 轴的正半轴）； 当 b0 时，直线与y 轴交于原点的下方。（即 y 轴的负半轴） 10、图像的上下平移（只与 b 相关）：直线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx 平移|b|个单位长度得到. 上加下减 例如：y=2x+3, 将直线 向 平移 个单位；y=5x-6,将直线 的图象向 平移 个单位,3,初中函数知识,y kx b 11、一次函数的图象与性质,1
9、2、两 直线之,间的位置关系（平行或相交）：,）若直线l1：y k1 x b1,l2 ：y k2 x b2,平行： 当k1 k2 时，l1 / /l2 ； y k1 b1,y k 2 b2,相交：将两直线方程联立成一个方程组，解得结果，即为交点。,13、二元一次方程组与一次函数的关系：两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。 反比例函数图象和性质 【知识梳理】 一、反比例函数的基础知识 1、定义：一般地，形如 y k （ k 为常数， k o ）的函数称为反比例函数。 x,y k 还可以写成 y kx 1,x 2、解析式： y k （ k 为常数，） x,4,初中函数知识,注：反比例
10、函数解析式的特征： 等号左边是函数 y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k ）， 分母中含有自变量 x ，且指数为 1.比例系数k 0 自变量 x 的取值为一切非零实数。（反比例函数有意义的条件：分母0） 函数 y 的取值是一切非零实数。 3、增减性（单调性）： k0，y 随 x 的增大而减小（单调减）；k0，y 随x 增大而增大（单调增） 4、反比例函数的图象：双曲线 图像的画法：描点法 列表（应以 O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线） (1)是中心对称图形，对称中心是原点 对称性： (2)是轴对
11、称图形，对称轴是直线y x和y x,k,（3）反比例函数 y （ k 为常数， k 0 ）中自变量 x 0 ，函数值 y 0 ，所以双曲线是不,x 经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。,k 0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内y随x的增大而减小, k 0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内y随x的增大而增大 （4）比例系数k 的几何含义（右图）：反比例函数 y k (k0)中比例系数 k 的 x k,几何意义，即过双曲线y(k0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分,x 别为A、B，则所得矩形OAPB 的面积(阴影面积)为
12、 k .,k,（由 y变形可得：k=xy因为面积为正数，所以k 取绝对值。）,x 5、反比例函数性质如下表：,5,初中函数知识,二次函数图象和性质 【知识梳理】 一、二次函数的基础知识： 定义：一般地，形如 y ax2 bx c （ a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而b ，c 可以为零 二次函数的定义域（x 的取值范围）：全体实数，R 解析式（表达式）：一般式： y ax2 bx c （ a 0 ， a ，b ，c 是常数）： 说明： 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2 a ，
13、b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项,22,4a,b4ac b2,b 4ac b2, 其顶点坐标为（-，） 2a4a,对于二次函数y ax bx c，经过配方变形为顶点式：y=a(x+) 2a 补充：二次函数解析式的表示方法（三种）,一般式： y ax2 bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； 顶点式： y a(x h)2 k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；抛物线的顶点 P（h，k）,22,2a4a2a4a,b4ac b2b 4ac b2,对于二次函数y ax bx c，经过配方变形顶点式：y=a(x+) , 其顶点坐标为（
14、-，）,两根式（交点式）： y a(x x1)(x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 仅限于与 x 轴有两个交点 A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线，即0,2a2a,b b2 4acb b2 4ac,其中 x1 , x2 (即一元二次方程求根公式),注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系:,b4ac b2b b2 4acb b2 4ac,6,h=-k=x , x 2a4a12a22a,注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与 x 轴有交点，即b2 4ac 0 时，抛物线的解析
15、式才可以用交点式表示二次函数解析式 的这三种形式可以互化. 二次函数 y a x h2 k 与 y ax2 bx c 的比较,初中函数知识,从解析式上看， y a x h2 k 与 y ax2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前,4a,者，即 y a x 2a ,b 24ac b2b,4ac b2,，其中h ，k 2a4a,3、二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 已知抛物线顶点或对称轴或
16、最大（小）值，一般选用顶点式； 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 4、二次函数 y ax2 bx c 图象的画法 五点绘图法： 利用配方法将二次函数 y ax2 bx c 化为顶点式 y a(x h)2 k ，确定其开口方向、对称轴及 顶点坐标;,然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0，c 、 以及0，c 关于对称轴对称的点2h ，c 、与 x 轴的交点 x1 ，0 ， x2 ，0 （若与 x 轴没有交点， 则取两组关于对称轴对称的点）.,画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点. 3、二次函数的图像：抛物线,2a,（1）对称性：抛物线是轴对称图形。对称轴：直线x=- b ,对称轴与抛物线唯一的交点为抛,
