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1、2010年各地高考几何题整理1. 本小题满分13分)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EFAB,EFFB,AB =2EF,BFC=90,BFFC,H为BC的中点()求证:FH平面EDB;()求证:AC平面EDB;()求二面角BDEC的大小(本小题满分13分) 本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明,考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. 综合法()证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG,GH, 又H为BC的中点, 四边形EFHG为平行四边形,EG/FH,而EG平面EDB,FH/平面EDB.
2、 ()证:由四边形ABCD为正方形,有ABBC,又EF/AB,EFBC.而EFFB,EF平面BFC,EFFH,ABFH.又BF=FC,H为BC的中点,FHBC.FH平面ABCD,FHAC,又FH/BC,ACEG.又ACBD,EGBD=G,AG平面EDB.即二面角BDEC为60.2. (本小题共14分) 如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=,CE=EF=1.()求证:AF平面BDE;()求证:CF平面BDE;()求二面角A-BE-D的大小。 (共14分)证明:()设AC与BD交于点G.因为EFAG,且EF=1,AG=AC=1 所以四边形AGEF为平行
3、四边形 所以AFEG 因为EG平面BDE,AF平面BDE, 所以AF平面BDE()因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且 所以 如图,以C为原点,建立空间直角坐标系 则 所以 所以所以所以3. (本小题满分12分)如图,直三棱柱中,为的中点,为上的一点,()证明:为异面直线与的公垂线;()设异面直线与的夹角为45,求二面角的大小解法一:()连接,记与的交点为F.因为面为正方形,故,且.又,所以,又D为的中点,故,.作,G为垂足,由知,G为AB中点.又由底面面,得面.连接DG,则,故,由三垂线定理,得.所以DE为异面直线与CD的公垂线. ()因为,故为异面直线与CD的夹角,.设
4、,则.作,H为垂足.因为底面面,故面,又作,K为垂足,连接,由三垂线定理,得,因此为二面角的平面角.,()因为等于异面直线与CD的夹角,故,即,解得,故.又,所以.设平面的法向量为,则,即且.令,则,故.设平面的法向量为,则,即.令,则,故.所以.由于等于二面角的平面角,所以二面角的大小为.4. (本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB/DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC .()证明:SE=2EB;()求二面角A-DE-C的大小 .(19) 解法一: ()连接BD,取DC的中点G,连
5、接BG, 由此知 即为直角三角形,故. 又,所以,.作,() 由知.故为等腰三角形.取中点F,连接,则.连接,则.所以,是二面角的平面角.连接AG,AG=,所以,二面角的大小为120.解法二: 以D为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系,由,得 ,故 .令,则.5. (本小题满分13分)如图,圆柱内有一个三棱柱,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB是圆O直径.()证明:平面平面;()设AB=,在圆柱内随机选取一点,记该点取自于三棱柱内的概率为.(i)当点C在圆周上运动时,求的最大值;(ii)记平面与平面所成的角为,当取最大值时,求的值.本小题主要考查直线与直线、直线与平面
6、、平面与平面的位置关系,以及几何体的体积、几何概型等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力;考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想满分13分解法一:()平面ABC,AB是圆O的直径,又而,所以平面()(i)设圆柱的底面半径为r,则故三棱柱 的体积又,当且仅当时等号成立从而,而圆柱的体积,故,当且仅当,即时等号成立所以,的最大值等于(ii)由(i)可知,取最大值时,于是,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图),则,是平面的一个法向量解法二:()同解法一()(i)设圆柱的底面半径为,则,故三棱柱的体积设,则,由于,当且仅当即时等号成立故而圆柱的体积故,当且仅当即时等号
7、成立所以,的最大值等于 ()同解法一解法三:()同解法一()()设圆柱的底面半径为,则,故圆柱的体积 因为,所以当取得最大值时,取得最大值. 又因为点在圆周上运动,所以当时,的面积最大,进而,三棱柱的体积最大,且其最大值为 故的最大值为 ()同解法一6. (本小题满分12分) 如圈,己知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,ABCD,BD垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点. ()证明:PEBC()若=60,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.解:以H为原点,HA,HB,HP分别为轴,线段HA的长为单位长,建立空间直角坐标系如图,则.()设,则.可得.因为,所以.()由已知条件可得,故,.
8、7. (本小题满分12分) 如图, 在四面体ABOC中,OCOA, OCOB,AOB=120,且OA=OB=OC=1.() 设P为AC的中点.证明:在AB上存在一点Q,使PQOA,并计算=的值;() 求二面角O-AC-B的平面角的余弦值. (II)连结PN,PO.由OCOA,OCOB知,OC平面OAB,又平面OAB,OCON,又由ONOA知:ON平面AOC,OP是NP在平面AOC内的射影,在等腰中,P为AC的中点,根据三垂线定理,知:ACNP.为二面角OACB的平面角,在等腰中,OC=OA=1,在 (II)记平面ABC的法向量为,则由且,得故可取又平面OAC的法向量为二面角OACB的平面角是锐
9、角,记为8. (本小题满分12分)如图5所示,在正方体中,E是棱的中点.()求直线BE的平面所成的角的正弦值;()在棱上是否存在一点F,使平面?证明你的结论. (本小题满分12分)解法1:设正方体的棱长为1.如图所示,以为单位正交基底建立空间直角坐标系.()依题意,得,所以.在正方体中,因为,所以是平面的一个法向量,设直线BE和平面所成的角为,则.即直线BE和平面所成的角的正弦值为.设F是棱上的点,则.又,所以.而,于是为的中点,这说明在棱上存在点F(的中点),使.解法2:()如图(a)所示,取的中点M,连结EM,BM.因为E是的中点,四边形为正方形,所以EMAD.即直线BE和平面所成的角的正
10、弦值为.()在棱上存在点F,使.事实上,如图(b)所示,分别取和CD的中点F,G,连结.因,且,所以四边形是平行四边形,因此.又E,G分别为,CD的中点,所以,从而.这说明,B,G,E共面,所以.因四边形与皆为正方形,F,G分别为和CD的中点,所以,且,因此四边形是平行四边形,所以.而,故.9. (14分)如图,四棱锥中,平面,(1) 求证:(2) 求点到平面的距离本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。解:(1)因为PD平面ABCD,BC平面ABCD,所以PDBC。由BCD=,得BCDC,又PDDC=D,PD平面
11、PCD,DC平面PCD,所以BC平面PCD因为PC平面PCD,故PCBC(2)连结AC.设点A到平面PBC的距离为h因为ABDC,BCD=,所以ABC=从而由AB=2,BC=1,得的面积。由PD平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积 因为PD平面ABCD,DC平面ABCD,所以PDDC。10. (本小题满分12分)如图,与都是边长为2的正三角形,平面平面,平面BCD,(1)求点A到平面MBC的距离;(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值(本小题满分12分)解法一:(1)取CD中点O,连OB,OM,则又平面MCD平面BCD,则MO平面BCD,所以MO/AB,MO/平面ABCM
12、,O到平面ABC的距离相等作OHBC于H,连MH,则MHBC求得,设点A到平面MBC的距离为,由得即,解得(2)延长AM、BO相交于E,连CE、DE,CE是平面ACM与平面BCD的交线由(1)知,O是BE的中点,则四边形BCED是棱形作于F,连AF,则就是二面角的平面角,设为因为,所以,解法二:取CD中点O,连OB,OM,则又平面平面BCD,则平面BCD取O为原点,直线OC、BO、OM为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系如图,则各点坐标分别为11. 如圈,己知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,ABCD,BD垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点. ()证明:PEBC()若=60,求直线PA与平
13、面PEH所成角的正弦值.解:以H为原点,HA,HB,HP分别为轴,线段HA的长为单位长,建立空间直角坐标系如图,则.()设,则.可得.因为,所以.()由已知条件可得,故,.12. 已知三棱锥PABC中,PA平面ABC,ABAC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.()证明:CMSN;()求SN与平面CMN所成角的大小.证明:设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为轴正向建立空间直角坐标系如图则4分 ()因为,所以6分 (),设为平面CMN的一个法向量,则令,得9分因为,所以SN与平面CMN所成角为4512分13. 本小题满分12分)如图,在五棱锥PABCDE中,PA平面ABCDE,ABCD,ACED,AEBC, ABC=45,AB=2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形()求证:平面PCD平面PAC;()求直线PB