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1、2010年各地高考几何题整理1. 本小题满分13分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，AB =2EF，BFC=90，BFFC，H为BC的中点（）求证：FH平面EDB；（）求证：AC平面EDB；（）求二面角BDEC的大小（本小题满分13分） 本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. 综合法（）证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG，GH， 又H为BC的中点， 四边形EFHG为平行四边形，EG/FH，而EG平面EDB，FH/平面EDB.
2、 （）证：由四边形ABCD为正方形，有ABBC，又EF/AB，EFBC.而EFFB，EF平面BFC，EFFH，ABFH.又BF=FC，H为BC的中点，FHBC.FH平面ABCD，FHAC，又FH/BC，ACEG.又ACBD，EGBD=G，AG平面EDB.即二面角BDEC为60.2. （本小题共14分） 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。 （共14分）证明：（）设AC与BD交于点G.因为EFAG,且EF=1，AG=AC=1 所以四边形AGEF为平行
3、四边形 所以AFEG 因为EG平面BDE,AF平面BDE, 所以AF平面BDE（）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且 所以 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系 则 所以 所以所以所以3. （本小题满分12分）如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为45，求二面角的大小解法一：（）连接，记与的交点为F.因为面为正方形，故，且.又，所以，又D为的中点，故，.作，G为垂足，由知，G为AB中点.又由底面面，得面.连接DG，则，故，由三垂线定理，得.所以DE为异面直线与CD的公垂线. （）因为，故为异面直线与CD的夹角，.设
4、，则.作，H为垂足.因为底面面，故面，又作，K为垂足，连接，由三垂线定理，得，因此为二面角的平面角.，（）因为等于异面直线与CD的夹角，故，即，解得，故.又，所以.设平面的法向量为，则，即且.令，则，故.设平面的法向量为，则，即.令，则，故.所以.由于等于二面角的平面角，所以二面角的大小为.4. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .（）证明：SE=2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 .(19) 解法一： ()连接BD,取DC的中点G，连
5、接BG, 由此知 即为直角三角形，故. 又,所以，.作，() 由知.故为等腰三角形.取中点F,连接,则.连接，则.所以，是二面角的平面角.连接AG,AG=,所以，二面角的大小为120.解法二： 以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，由,得 ，故 .令，则.5. （本小题满分13分）如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径.（）证明：平面平面；（）设AB=，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为.（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值.本小题主要考查直线与直线、直线与平面
6、、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想满分13分解法一：（）平面ABC，AB是圆O的直径，又而，所以平面（）（i）设圆柱的底面半径为r，则故三棱柱 的体积又，当且仅当时等号成立从而，而圆柱的体积，故，当且仅当，即时等号成立所以，的最大值等于（ii）由（i）可知，取最大值时，于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则，是平面的一个法向量解法二：（）同解法一（）（i）设圆柱的底面半径为，则，故三棱柱的体积设，则，由于，当且仅当即时等号成立故而圆柱的体积故，当且仅当即时等号
7、成立所以，的最大值等于 （）同解法一解法三：（）同解法一（）（）设圆柱的底面半径为，则，故圆柱的体积 因为，所以当取得最大值时，取得最大值. 又因为点在圆周上运动，所以当时，的面积最大，进而，三棱柱的体积最大，且其最大值为 故的最大值为 （）同解法一6. (本小题满分12分) 如圈，己知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,BD垂足为H,PH是四棱锥的高，E为AD中点. （)证明：PEBC（）若=60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.解：以H为原点，HA，HB，HP分别为轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则.（）设，则.可得.因为，所以.（）由已知条件可得，故，.
8、7. (本小题满分12分) 如图, 在四面体ABOC中，OCOA, OCOB,AOB=120，且OA=OB=OC=1.() 设P为AC的中点.证明：在AB上存在一点Q,使PQOA,并计算=的值；() 求二面角O-AC-B的平面角的余弦值. （II）连结PN，PO.由OCOA，OCOB知，OC平面OAB，又平面OAB，OCON，又由ONOA知：ON平面AOC，OP是NP在平面AOC内的射影，在等腰中，P为AC的中点，根据三垂线定理，知：ACNP.为二面角OACB的平面角，在等腰中，OC=OA=1，在 （II）记平面ABC的法向量为，则由且，得故可取又平面OAC的法向量为二面角OACB的平面角是锐
9、角，记为8. （本小题满分12分）如图5所示，在正方体中，E是棱的中点.（）求直线BE的平面所成的角的正弦值；（）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论. （本小题满分12分）解法1：设正方体的棱长为1.如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系.（）依题意，得，所以.在正方体中，因为,所以是平面的一个法向量，设直线BE和平面所成的角为，则.即直线BE和平面所成的角的正弦值为.设F是棱上的点，则.又，所以.而，于是为的中点，这说明在棱上存在点F(的中点)，使.解法2：（）如图（a）所示，取的中点M，连结EM,BM.因为E是的中点，四边形为正方形，所以EMAD.即直线BE和平面所成的角的正
10、弦值为.（）在棱上存在点F，使.事实上，如图（b）所示，分别取和CD的中点F，G，连结.因,且,所以四边形是平行四边形，因此.又E,G分别为，CD的中点，所以，从而.这说明，B，G，E共面，所以.因四边形与皆为正方形，F，G分别为和CD的中点，所以，且，因此四边形是平行四边形，所以.而，故.9. （14分）如图，四棱锥中，平面，(1) 求证：(2) 求点到平面的距离本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。解：（1）因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC。由BCD=，得BCDC，又PDDC=D，PD平面
11、PCD，DC平面PCD，所以BC平面PCD因为PC平面PCD，故PCBC（2）连结AC.设点A到平面PBC的距离为h因为ABDC，BCD=，所以ABC=从而由AB=2，BC=1，得的面积。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积 因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC。10. （本小题满分12分）如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面BCD，（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值（本小题满分12分）解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD，所以MO/AB，MO/平面ABCM
12、，O到平面ABC的距离相等作OHBC于H，连MH，则MHBC求得，设点A到平面MBC的距离为，由得即，解得（2）延长AM、BO相交于E，连CE、DE，CE是平面ACM与平面BCD的交线由（1）知，O是BE的中点，则四边形BCED是棱形作于F，连AF，则就是二面角的平面角，设为因为，所以,解法二：取CD中点O，连OB，OM，则又平面平面BCD，则平面BCD取O为原点，直线OC、BO、OM为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系如图，则各点坐标分别为11. 如圈，己知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,BD垂足为H,PH是四棱锥的高，E为AD中点. （)证明：PEBC（）若=60，求直线PA与平
13、面PEH所成角的正弦值.解：以H为原点，HA，HB，HP分别为轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则.（）设，则.可得.因为，所以.（）由已知条件可得，故，.12. 已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为轴正向建立空间直角坐标系如图则4分 （）因为，所以6分 （），设为平面CMN的一个法向量，则令，得9分因为，所以SN与平面CMN所成角为4512分13. 本小题满分12分）如图，在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC， ABC=45，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形（）求证：平面PCD平面PAC；（）求直线PB
