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1、教育资源 教育资源 3平均值不等式 第 1 课时平均值不等式 1了解两个 (三个)正数的算术平均值与几何平均值(易错、易误点 ) 2掌握平均值不等式性质定理，能用性质定理证明简单的不等式(重点、 难点) 基础 初探 教材整理平均值不等式 阅读教材 P10P12“思考交流 ”以上部分，完成下列问题 1 定理 1： 对任意实数 a， b，有 a 2b22ab(当且仅当 ab 时取“”号 ) 2定理 2：对任意两个正数 a，b，有ab 2 ab(当且仅当 ab 时取“” 号) 语言叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值 3定理 3：对任意三个正数a，b，c，有 a 3b3c33abc(当
2、且仅当 ab c 时取“”号 ) 4定理 4：对任意三个正数a，b，c，有 abc 3 3 abc(当且仅当 abc 时取“”号 ) 语言叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)x 1 x2.( ) (2)e x1 e x2.( ) (3)当 a，b，c 不全为正数时， abc 3 3 abc成立 () (4)b a c b a c3.( ) 【解析】(1)当 x0 时，x1 x2，当 x0，ex1 e x2，当且仅当 x0 时取等号 (3)如 a1，bc1 时， abc 3 1 3，但 3 abc1.这时有 abc 3 0且 a1)；任意
3、 x 0， 2 ，tan x 1 tan x2；任意 xR，sin x 1 sin x2. 其中真命题有 () AB CD 【精彩点拨】关键看是否满足平均值不等式 【自主解答】在，中，lg xR，sin x1,1，不能确定 lg x0 与 sin x0， 教育资源 教育资源 因此，是假命题 在中，a x0，ax1 a x2 a x 1 a x2，当且仅当 x0 时取等号，故 是 真命题 在中，当 x 0， 2 时，tan x0，有 tan x 1 tan x2，且 x 4时取等号， 故是真命题 【答案】C 本题主要涉及平均值不等式成立的条件及取等号的条件.在定理 1 和定理 2 中，“ ab”
4、是等号成立的充要条件.但两个定理有区别又有联系：1 ab 2 ab 是 a2b22ab 的特例，但二者适用范围不同，前者要求a，b 均为正数， 后者只要求 a，bR； 2 a，b 大于 0 是 ab 2 ab 的充分不必要条件； a，b 为实数是 a 2b22ab 的充要条件 . 再练一题 1设 a，b 为实数，且 ab0，下列不等式中一定成立的个数是() 【导学号： 94910010】 b a a b2；ab2 ab； 1 a 2 1 b 2 2 ab； b 2 a a 2 b ab. A1 B2C3D4 【解析】ab0， a b b a2 a b b a2，成立； a，b0 时，不成立；
5、1 a 2 1 b 2 2 ab，成立； 当 a1，b2 时，不成立 因此， 成立 教育资源 教育资源 【答案】B 证明简单的不等 式 (1)已知 a，b，cR.求证： a 4b4c4a2b2b2c2c2a2； (2)设 a，b，c 都是正数，求证： bc a ac b ab c abc. 【精彩点拨】本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考 查推理论证能力 解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式 的和，再进行证明 【自主解答】(1)a4b42a2b2， 同理 a 4c42a2c2，b4c42b2c2， 将以上三个不等式相加得： a 4b4a4c4b4c42a2b2
6、2a2c22b2c2， 即 a 4b4c4a2b2a2c2b2c2. (2)当 a0，b0 时，ab2 ab， bc a ac b 2 bc a ac b 2c. 同理： bc a ab c 2 bc a ab c 2b， ac b ab c 2 ac b ab c 2a. 将以上三个不等式相加得： 2 bc a ac b ab c 2(abc)， bc a ac b ab c abc. 平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证 明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不 教育资源 教育资源 等式的切入点 .但应注意连续多次使用平均值不等式
7、定理的等号成立的条件是否 保持一致 . 再练一题 2设 a，b，c 为正数，求证： 1 a 2 1 b 2 1 c 2 (abc) 227. 【证明】a0，b0，c0， abc3 3 abc0，从而 (abc) 293 a 2b2c20， 又 1 a 2 1 b 2 1 c 23 3 1 a 2b2c20， 1 a 2 1 b 2 1 c 2 (abc) 2 3 3 1 a 2b2c2 9 3 a 2b2c227. 当且仅当 abc 时，等号成立 故原不等式成立 探究共研型 平均值不等式的变式及条 件不等式的证明 探究 1不等式 ab 2 ab，abc 3 3 abc成立的条件都是a，b，c
8、为正 数，在条件 ba0成立时， a，ab，ab 2 ， 2ab ab， a 2b2 2 ，b 之间有怎样的 大小关系？ 【提示】a 2ab ab ab ab 2 a 2b2 2 b. 探究 2若问题中一端出现“和式”，另一端出现“积式”时，这便是应用 不等式的“题眼”，那么若条件中有“和式为1”时，应如何思考？ 【提示】应用平均值不等式时， 一定要注意条件 a0，b0，c0.若有 “和 教育资源 教育资源 式为 1”时，常反过来应用 “1”的代换，即把 “1”化成“和”，再试着应用平 均值不等式 已知 a0，b0，c0，求证： (1)ab 2 a 2b2 2 ； (2)a 2b2 b2c2c
9、2a22(abc) 【精彩点拨】(1)式两端均是 “和”，不能直接利用平均值不等式，解决 的关键是对 a 2b2 2 的处理，先考虑平方关系，化难为易；(2)注意两边都是 “和”式，可利用 (1)题的结论 【自主解答】(1)a2b22ab， 2(a2b2)(ab)2， a 2b2 2 ab 2 4 . 又 a0，b0， ab 2 a 2b2 2 . (2)由(1)得a 2b2 2 2 (ab) 同理：b 2c2 2 2 (bc)，c 2a2 2 2 (ac) 三式相加得：a 2b2 b 2c2 c 2a2 2(abc) 当且仅当 abc 时，取 “”号 1第(2)问利用了第 (1)问的结论 a
10、b 2 a 2b2 2 ，记住这一结论可帮我们 找到解题思路，但此不等式要给予证明 2一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定 格于某种特殊形式，因此平均值不等式a2b22ab 的形式可以是 a22abb2， 教育资源 教育资源 也可以是 aba 2b2 2 ，还可以是 a b 2 a 2b(a0)，b 2 a 2ba 等解题时不仅要 会利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用 再练一题 3已知 a，b(0， )，且 ab1，求证： a 1 a 2 b1 b 2 25 2 . 【证明】因为 a，b(0，)，且 ab1， 所以 ab 2 ab，当且仅当 ab
11、 时，等号成立， 所以ab1 2? ab 1 4? 1 ab4， a 2b2(ab)22ab12ab121 4 1 2， 1 a 2 1 b 2 2 ab8. a1 a 2 b1 b 2 a 2b241 a 2 1 b 2 1 248 25 2 ， 所以 a1 a 2 b 1 b 2 25 2 . 构建 体系 1“a0 且 b0”是“ ab2 ab”成立的 () A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【答案】A 2 设 x， y，z为正数，且 xyz6，则 lg xlg ylg z的取值范围是 () A(， lg 6 B(，3lg 2 Clg 6，) D3lg 2
12、， ) 【解析】6xyz33xyz， xyz8， lg xlg ylg zlg (xyz)lg 83lg 2. 【答案】B 教育资源 教育资源 3设 ab0，把 ab 2 ，ab，a，b 按从大到小的顺序排列是_. 【导学号： 94910011】 【解析】ab0， aab 2 abb. 【答案】aab 2 abb 4不等式 b a a b2 成立的充要条件是 _ 【解析】由b a a b2，知 b a0，即 ab0. 又由题意知， b a a b，ab. 因此， b a a b2 的充要条件是 ab0 且 ab. 【答案】ab0 且 ab 5设 a，b，c 均为正数，且 abc1，求证： 1 a 1 b 1 c9. 【证明】 1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c 3 b a a b c a a c c b b c 32229. 教育资源 教育资源 当且仅当 abc1 3时取等号 所以 1 a 1 b 1 c9. 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
