《2020版全国通用高考数学一轮复习:第6课二次函数与幂函数》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020版全国通用高考数学一轮复习:第6课二次函数与幂函数(13页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、携手导与练成功永相伴!网站咨询电话: 0543-2190139 第 1 页共 13 页 瀚海导与练教育信息网天天精品时时更新精品资源 e 揽无余 第 6 课二次函数与幂函数 1幂函数 a幂函数的概念 (1)(2018安徽期末, 5 分) 函数() 95 241 1 mm fxmmx是幂函数,对任意的x1, x2(0 ,+) , 且 x1x2,满足 f (x1) f (x2) x1x2 0,若 a,bR,且 ab0,ab0, ab, f(a)f(b) f(b) ,即 f(a) f(b)0.故选 A. b幂函数的图像 (2)(2018安徽期末,5 分)在同一平面直角坐标系内,函数 yx a(a 0
2、) 和 yax1 a的图像可能是 ( ) 答案: B 解析:当 a0 时,函数 yx a 在第一象限单调递增,直线y ax 1 a经过第一、二、三象限,无选项符 合题意;当a0 时,函数 yx a 在第一象限单调递减,直线yax1 a 经过第二、三、四象限,选项B符合 题意故选B. c利用幂函数的图像与性质比较大小 (3)(2016全国, 5 分) 已知 a 4 3 2,b 2 3 3,c 1 3 25,则 ( ) 携手导与练成功永相伴!网站咨询电话: 0543-2190139 第 2 页共 13 页 瀚海导与练教育信息网天天精品时时更新精品资源 e 揽无余 AbacBabc CbcaDca2
3、3, 4 3 5 4 3 2 4 3 3, bac. 故选 A. (4)(2018四川模拟, 5 分) 幂函数 f(x)的图像经过点 (4 , 2) , 若 0ab1,则下列各式正确的是( ) Af(a)f(b)f 1 a f 1 b Bf 1 a f 1 b f(b)f(a) Cf(a)f(b)f 1 b f 1 a Df 1 a f(a)f 1 b f(b) 答案: C 解析:设幂函数的解析式为f(x)x ,由 f(x) 的图像经过点 (4 ,2) ,得 4 2,解得 1 2,即 f(x) 1 2 x. f(x) 1 2 x在(0, ) 上是增函数,且0ab1, 0ab1 b 1 a, f
4、(a)f(b)f 1 b f 1 a . d利用幂函数的图像与性质解不等式 (5)( 经典题, 5 分) 若 f(x) 21 32 xx,则满足 f(x)0的 x 的取值范围是_ 答案: (0 ,1) 解析: f(x) 21 32 xx0,即 2 3 x 1 2 x. 作出函数 2 3 yx 和 1 2 yx 的图像如图所示 由图像可知,当0x1 时,函数 1 2 yx的图像在函数 2 3 yx 的图像的上方,当0x1 时, 2 3 x 1 2 x,即 f(x) 21 32 xx0, x 的取值范围为(0 , 1) 2二次函数 携手导与练成功永相伴!网站咨询电话: 0543-2190139 第
5、 3 页共 13 页 瀚海导与练教育信息网天天精品时时更新精品资源 e 揽无余 a二次函数图像的应用 (6)( 经典题, 5 分) 加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特 定条件下,可食用率p 与加工时间t( 单位:分钟 ) 满足函数关系p at 2bt c(a ,b,c 是常数 ) ,如图 6 6 记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( ) 图 66 A3.50 分钟 B 3.75 分钟 C4.00 分钟 D 4.25 分钟 答案: B 解析:由图像可知,点(3 , 0.7) , (4 , 0.8) , (5 , 0.5)
6、在函数p at 2 bt c 的图像上, 0.7 9a3bc, 0.8 16a4b c, 0.5 25a5b c, 解得 a 0.2 ,b1.5 ,c 2, p 0.2t 2 1.5t 2, b 2a3.75 ,最佳加 工时间为3.75 分钟 b二次函数单调性的应用 (7)( 经典题, 5 分) 如果函数f(x)1 2(m2)x 2(n 8)x 1(m0,n 0) 在区间 1 2,2 上单调递减, 那么 mn的最大值为 ( ) A16B 18 C25D. 81 2 答案: B 解析:当m 2时, f(x) (n 8)x 1 在区间 1 2,2 上单调递减,则 n80,即 n8, mn16. 当
7、 m 0 ,2) 时, f(x)的图像开口向下,要使f(x) 在区间 1 2, 2 上单调递减,需满足 n8 m 2 1 2,解得 m 2n18,即 n9 m 2. 又 m 0,则 mn m 9 m 2 1 2m 29m.g(m)1 2m 29m在0 ,2) 上为增函数, m 0 ,2)时, g(m)g(2) 16,故 mn2 ;当 n0 时, mn 0. 综上, mn的最大值为18. 故选 B. c二次函数的最值问题 (8)(2018北京模拟, 5 分) 已知函数f(x)x 22x 4m(m0)在区间 m,2m上的最大值为 4,则 m的值 为_ 答案: 1 解析: 函数 f(x) x 22x
8、4m(m0)的对称轴为直线 x1,图像开口向上, 所以自变量离对称轴越远, 函数值越大 当|2m1| |m 1| ,即 m 2 3时,函数 f(x) 在m,2m上的最大值为f(2m) 4m 24m 4m 4,解得 m 1; 当|2m1|m 1| ,即 0m0恒成立, 则实数 m的取值范围是 _ 答案:, 35 4 1 2, 解析:二次函数f(x)2x 22mx1 的图像开口向上,对称轴为 x m 2,若对于任意 xm,m 1 , 都有 f(x)0恒成立,则 当 m 2m ,即 m 0 时,f(x) 在区间 m, m 1 上单调递增, 只需 f(m)0 即可, 即 f(m) 4m 210, 解得
9、 m 1 2; 当 m m 2m 1,即 2 3m0,此时不 等式无解; 当 m 1 m 2,即 m 2 3时, f(x) 在区间 m,m 1 上单调递减,只需f(m 1)0 即可,即f(m 1) 2(m1) 2 2m(m 1) 10,解得 m 3 5 4 . 综上, m的取值范围是, 35 4 1 2, . 携手导与练成功永相伴!网站咨询电话: 0543-2190139 第 5 页共 13 页 瀚海导与练教育信息网天天精品时时更新精品资源 e 揽无余 随堂普查练6 1(2018 陕西期中, 5 分) 已知实数m ,n1 ,2,3, 4 ,若 m n,则函数( )| n m f xmn x为幂
10、函 数且为偶函数的概率为( ) A. 1 2 B. 1 4 C. 1 6D. 2 3 答案: B 解析:函数( ) | n m f xmn x为幂函数且为偶函数, 则|mn| 1,且 n 为偶数, (m,n) 的可能情况有 (1 ,2) ,(3 , 2) ,(3 ,4) 又实数 m ,n1,2,3,4, (m,n)的所有可能情况有(1 ,2) ,(1,3) ,(1 ,4),(2 ,1) ,(2 ,3) , (2 ,4) ,(3, 1) ,(3,2) ,(3 ,4) ,(4 ,1) , (4 ,2) ,(4,3) ,共 12 种情况 函数( )| n m f xmn x为幂函数且为偶函数的概率为
11、 3 12 1 4. 故选 B. 2(2015 山东, 5 分) 设 a0.6 0.6 ,b0.6 1.5 ,c1.5 0.6 ,则 a,b, c 的大小关系是( ) AabcBacb CbacDbcb0.6 1.5 . yx 0.6 在 (0, ) 上为增函数, a0.6 0.6 c1.5 0.6 , bac. 故选 C. 3(2018 山西期中, 5分) 如图 610 是幂函数yx n 在第一象限内的图像,已知n 取1 2,2, 2, 1 2 四个数,则与曲线C1,C2,C3,C4对应的 n 依次为 ( ) 图 610 A2,1 2, 1 2, 2B 2, 1 2, 1 2,2 携手导与练
12、成功永相伴!网站咨询电话: 0543-2190139 第 6 页共 13 页 瀚海导与练教育信息网天天精品时时更新精品资源 e 揽无余 C 1 2, 2,2, 1 2D2, 1 2, 2, 1 2 答案: A 解析:根据幂函数的图像与性质,在直线x1 右侧,幂函数的指数由下向上逐渐增大,与曲线C1, C2,C3,C4对应的 n 依次为 2, 1 2, 1 2, 2. 4 (2018 青海期中, 5 分) 已知幂函数 1 2 ( )f xx, 若 f(a 1)0,在 (0 , ) 上单调递减, 若 f(a 1)0, 102a0, a1102a, 解得 3a5, a 的取值范围是 (3 ,5) 5
13、( 经典题, 5 分) 设函数f(x)1 x, g(x) ax 2bx(a ,bR, a0) 若 yf(x) 的图像与yg(x) 的图像有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1) ,B(x2,y2),则下列判断正确的是( ) A当 a0 时, x1x20 B当 a0, y1y20 时, x1x20, y1y20 时, x1x20, y1y20 答案: B 解析: 函数 f(x) 1 x ,g(x) ax 2bx(a ,bR,a0)的图像有且仅有两个公共点 A( 1 x , 1 y ) ,B(2x, 2 y) 等价于方程 1 x ax 2bx(a ,bR,a0) 有两个不同的根 1 x, 2 x,
14、即方程ax 3bx21 0 有两个不同 非零实根 1 x ,2 x ,因而可设ax 3 bx21a(x 1 x ) 2(x 2 x ) a(x 3 22 1 x x 2 1 x x 2 2 x x2 12 x x x 2 21 x x ) ax 3(2 1 x 2 x )x 2(2 1 x 2 12 x x )x 2 21 x x , 所以 ba( 2 1 x 2 x) , 2 1 x2 12 x x0, a 2 21 x x 1, 所以 1 x2 2 x0,a 2 x0. 当 a0 时, x20,所以 1 x 2 x 2 x0, 1 x0; 当 a0 时, 2 x0, 1 x 0, 携手导与
15、练成功永相伴!网站咨询电话: 0543-2190139 第 7 页共 13 页 瀚海导与练教育信息网天天精品时时更新精品资源 e 揽无余 所以 1 y 2y 12 11 xx 12 12 xx x x 0, 2a 2a 1 2, 解得 00,函数 f(x) x 22axa, x0, x 2 2ax2a,x0. 若关于 x 的方程 f(x) ax 恰有 2 个互异的实数解,则a 的取值范围是_ 答案: (4 ,8) 解析:令g(x) f(x)ax, 携手导与练成功永相伴!网站咨询电话: 0543-2190139 第 8 页共 13 页 瀚海导与练教育信息网天天精品时时更新精品资源 e 揽无余 则
16、 g(x) x 2ax a,x0, x 2ax2a,x0. f(x)ax 有两个互异的实数解等价于g(x) 0 有两个互异的实数根 因为 a0,所以方程x 2ax a0 不存在非负根, 方程 x 2ax2a0 不存在非正根, 所以 g(x) 0 有两个互异实数根等价于这两个方程在R上一共有两个不同的实数解 设两个方程的判别式分别为1,2, 则 1a 24aa(a 4) , 2a 28aa(a 8) , 显然 12, 所以要使得g(x) 0 有两个不同的实数根, 则只能 10, 20, a80, 所以 4a8, 所以 a的取值范围是(4 ,8) 9( 经典题, 5 分) 已知 f(x) m(x2m)(x m 3)