复变-主要内容浏览式总复习

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1、,教材：杨，复变，科学出版社 参考:吴，复变，华工出版社,复变函数论,多媒体教学课件,覃永安主讲 31386336， 2009.9,主要内容浏览式总复习,第一章 复数与复变函数,第二章 解析函数,第三章 复变函数的积分,第四章 级数,第五章 留数,第六章 共形映射,第一章、复数与复变函数,1.1-1.2 复数,复数:,复数相等是指?虚数? 纯虚数?,复数的四则运算:,复平面:,复平面:,模：,非零复数的辐角：,复数的共轭：,复数的三角表示:,复数加、减法的几 何表示如下图：,基本不等式:,例1试用复数表示圆的方程:,例2,设 、 是两个复数，证明：,三角表示的乘法：,三角表示的乘法：,欧拉公式

2、；指数表示式；三种表示式的互化:关键是会用 表示幅角。,复数的乘幂：,复数的乘幂：,可以看到，k=0,1,2,n-1时，可得n个不同的值，即z有n个n次方根，其模相同，辐角相差一个常数，均匀分布于一个圆上。 这样，复数的乘幂可以推广到有理数的情形。,例5、求所有值：,解：由于,所以有,有四个根。,复球面与无穷大:,无穷远点:,对应于球极射影为N，我们引入一个新的非正常复数无穷远点，,称 为扩充复平面，记为 。,无穷远点:,关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：,它和有限复数的基本运算为：,这些运算无意义：,第一章、复数与复变函数 1.3 平面点集与区域,初步概念:,a的r邻域

3、U(a,r) ：,以a为圆心，r为半径的闭圆盘定义为：,a的r去心邻域,极限点、内点、边界点:,中有无穷个点，则称a为的E极限点；,则称a为E的内点；,中既有属于E的点，又有不属于E的点，则称a为的E边界点； 集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，记为,闭包、孤立点、开集、闭集:,称为D的闭包，记为,若对存在一个r0，使得,则称a为的E孤立点（是边界点但不是聚点）； 开集：所有点为内点的集合； 闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于它； 1、任何集合的闭包一定是闭集； 2、如果存在r0 ，使得，,则称E是有界集，否则称E是无界集；,无穷远点的邻域:,对一切r0,集合,称为无穷远点的一个r邻

4、域。 类似地，我们可以定义无穷远点为聚点、内点、边界点与孤立点， 的开集、闭集等概念。,区域、曲线:,复平面C上的集合D，如果满足： （1）、D是开集； （2）、D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的所有点完全属于D。 则称D是一个区域。,连通性:,性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。 区域D内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。,曲线:,设已给,连续曲线,简单连续曲线,简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。,若尔当定理:,若尔当定理：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。,光滑曲线:,光滑

5、曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区间a,b上连续，且有连续的导函数，在a,b上，其导函数恒不为零，则称此曲线为一条光滑曲线； 类似地，可以定义分段光滑曲线。,区域的连通性:,单连通区域;多连通区域。,例5、在扩充复平面上，集合,为单连通的无界区域，其边界为,而集合,为多连通的无界区域， 其边界为：,第一章 复数与复变函数 1.4-1.5 复变函数,复变函数的定义:,注3、复变函数等价于两个实变量的实值函数： 若记 z=x+iy， w=Ref(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)， 则f(z)等价于两个二元实变函数u(x,y)和v(x,y) 。,函数的几何意义:,函数f也

6、称为从E到C上的一个映射或映照。,函数的几何意义:,单射，双射，一一对应，反函数。,复变函数极限的定义,复变函数极限与实值函数极限,注解：,1、几何意义： 2、与重极限的关系： 3、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）,复变函数连续性的定义,复变函数连续性与实值函数连续性的关系,注1、实初等函数在其有定义的地方连续。,注解：,1、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）； 2、复合运算； 3、关于实变连续的函数的基本性质也可以推广过来：如一致连续性、闭区域上连续函数的基本性质（一致连续性、有界性、取到极大模和极小模等）。 4、同样我们也可以定义非正常极限。,例6,第二章 解析函数 2.1-

7、2.2 解析函数概念及充要条件,导数,解析,Cauchy-Riemann方程,解析的充要条件,2.3 初等函数 (1)指数函数与对数函数,指数函数的定义：,指数函数的基本性质,对数函数的定义：,对数函数的主值：,三种对数函数的联系与区别：,对数函数的基本性质,2.3 初等函数 (2)三角函数与反三角函数,三角函数的概念:,三角函数的基本性质:,则对任何复数z，Euler公式也成立：,cosz和sinz是单值函数； cosz偶，sinz奇;,所有三角公式也成立.,三角函数的基本性质:,cosz和sinz以 为周期,零点也与实的一样.,三角函数的基本性质:,不成立:,三角函数的基本性质:,在整个复

8、平面解析：,其它三角函数,反三角函数,掌握计算表达式的推导方法,2.3初等函数 （3） 幂函数 双曲、反双曲函数,幂函数的定义:,当a为正实数，且z=0时，还规定,幂函数的基本性质：,等于n次方根.,幂函数的基本性质：,幂函数的基本性质：,其中 应当理解为某个分支。,双曲函数,chz和shz以2pi为周期, chz偶, shz奇 (chz)=shz, (shz)=chz,反双曲函数计算公式的推导方法类似于反三角函数,第三章 复变函数的积分,3.1复积分的概念,复变函数积分的定义,准备:有向曲线，记号C ，C-.,简单闭曲线的正方向。,（逆时针,或指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时, 邻近P

9、点的曲线内部始终位于P点的左方),定义 设w=f(z)定义于有向曲线C上. 任取分点A=z0, z1, ., zk-1, zk , ., zn=B,任取点k,),1,.,3,(,),(,lim,d,),(,),(,.,max,),(,),)(,(,1,1,1,1,1,1,=,-,=,=,-,=,=,=,=,-,=,n,k,k,k,n,C,n,k,n,k,k,k,k,n,k,k,k,n,k,k,k,k,n,z,f,z,z,f,C,z,f,S,n,s,z,z,s,z,f,z,z,f,S,z,d,d,z,z,记作,的积分,沿曲线,则称其为,有唯一极限,如,趋于零,无限增加且,当,的长度,记,作和式,

10、容易看出, 当C是x轴上的区间axb, 而f(z)=u(x)时, 这个积分定义就是一元实函数定积分的定义.,积分存在的条件及计算积分的方法,设光滑曲线C由参数方程z=z(t)=x(t)+iy(t), atb给出,如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在C上处处连续, 则u(x,y)及v(x,y)均为C上连续函数.,设zk=xk+iyk, 因zk= zk-zk-1=xk+iyk-(xk-1+iyk-1)=(xk-xk-1)+i(yk-yk-1)=xk+yk,所以,由于u, v连续, 根据线积分的存在定理, 上式右端两个和式极限存在. 因此有,综上得到:,又由于上式右端可以写成,于是,我们得

11、到 iii)计算复积分的直接方法是: 把参数方程代入,注:如果C是由C1,C2, ., Cn等光滑曲线首尾连接而成, 则我们定义,左或右端,化为定积分.,例3.1 计算, 其中C为原点到点3+4i的直线段.,在C上, z=(3+4i)t, dz=(3+4i)dt. 于是,解直线的方程可写作x=3t, y=4t, 0t1,或z=3t+i4t, 0t1.,例3.2 计算,z0,r,q,z-z0=reiq,z,O,x,y, 其中C为以z0为中心, r为半径的正向圆周, n为整数,（重要例题!）,解 C的方程可写作z=z0+reiq, 0q2p, dz=ireiqdq,所以,(牢记此结果!),积分的性

12、质,(1)-(3)由线积分的相应性质得.,(4)由复积分的定义得到(?).,小结,以上讲了,复积分定义:分割,取点,求和,取极限.,直接计算法:把曲线参数方程代入化 为定积分.,存在性:连续函数必可积.,性质:反向变号,线性,模不等式.,一个重要例题:,3.2- 3.4 柯西定理 复合闭路定理 原函数与不定积分,沿某一条曲线,第三章 复变函数的积分,柯西定理,C,B,定理 设 f(z) 在单连通区域B内解析, C是B内一条闭曲线,则,柯西定理:设f(z) 在以简单闭曲线C为边界的有界单连通域D内解析,在 上连续, 则,变形过程中不能够经过f(z)不解析的点.,连续形原理,复合闭路定理:,D,C

13、,C1,C2,C3,特别,记得这个结果,典型例题,G为包含圆周|z|=1在内的简单闭曲线,x,y,O,1,G,C1,C2,定理: 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析,则积分 与连接起点及终点 . 的路径C无关.,对函数 我们有,定理: 如果f(z)在单连通域B内处处解析, 则函数F(z)必为B内的一个解析函数, 并且 F(z)=f(z).,“牛-莱公式”,目前已学的求积分的方法,1.把参数方程代入化为定积分;,2.用柯西定理;,3.用复合闭路定理;,4.用“牛-莱公式”;,.,注：“求积分的方法”这串珠子可把复变的许多重要知识点连在一起! 建议补充与总结。,第三章 复变函数的积分 复积分的

14、概念 柯西定理 复合闭路定理 原函数与不定积分,本章小结,柯西积分公式高阶导数公式解析函数与调和函数的关系,分割,取点,求和,取极限.,复积分概念:,柯西-古萨定理:,D,C,复合闭路定理:,D,C,闭路变形原理:,一个重要的结果:,z0,r,. z0,更一般:,积分的模不等式:,. z0,柯西积分公式:,z0,平均值公式:,. z0,D,C,高阶导数公式:,解析函数的无穷可微性（重要特性）,由复合闭路定理,典型例子:,更一般地,高阶导数公式的应用（补充知识,不要求掌握）,柯西不等式:,z0,C,刘维尔:复平面上解析且有界的复函数是常数.,代数基本定理:在复平面上n次多项式至少有一个零点.,实

15、部和虚部调和;调和是实部,也是虚部.,由实部或虚部求解析函数: 偏积分法,不定积分法,线积分法.,解析与调和,总之,本章介绍了复积分的概念和几个积分定理和公式,核心是掌握复积分的计算.已介绍的方法有:,提要,此外,还有用级数计算(ch4),用留数计算(ch5).,(1)将曲线的参数方程代入，化为定积分;,(2)求不定积分，用牛顿-莱布尼兹公式计算;(前提条件?),(3)用柯西积分公式以及高阶导数公式计算.,另外,要掌握已知解析函数的实部或虚部求解析函数的方法(偏积分法、不定积分法、线积分法)(掌握一种).,4.1 复数项级数,第四章 级数,复数序列,zn,极限,定理:序列zn收敛（于z0）的必要与充分条件是：序列an收敛（于a）以及序列bn收敛（于b）。(充要条件)(归结性),复数项级数就是,部分和序列：,如果序列 收敛，那么我们说级数 收敛；,定理:如果级数 收敛，那么,充要条件,归结性?,绝对收敛,相对收敛,定理: 级数 绝对收敛的充要条件是：,级数 以及 绝对收敛.,定理: 若级数绝对收敛，则它一定收敛。,柯西收敛原理（复数项级数）：级数,收敛必要与充分条件是：任给,可以找到一个正整数N，使得当nN，p=1,2,3,时,柯西收敛原理（复数序列）：序列,收敛必要与充分条件是：任给,可以找到一个正整数N，使得当m及nN，,定理: 如果复数项级数 及 绝对收敛,并且它们的和分