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1、唐山一中2011年高考模拟试卷（四）数 学(理科) 说明：1.本试卷分第卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，第卷1至2页，第卷3至6页。全卷150分，考试时间120分钟。2. 将卷答案用2B铅笔涂在答题卡上，卷用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上。 第卷 （共60分）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1设复数等于ABCD2已知,命题函数是的增函数,命题 的值域为,且是假命题,是真命题,则实数的范围是ABC.D3“”是“直线与直线互相垂直”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件4. 函数的图像大致是 A B C D5.函数的反函数是（ ）A B
2、C 6. 已知是双曲线上的动点，分别是双曲线的左、右焦点，是的平分线上的一点，且，为坐标原点，则 A1 B C D7. 设的展开式中含的一次项为则A B C D 8已知非零向量满足，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为A B C D 9直线与圆交于A、B，为坐标原点，若，则的值A B C D10某运输公司有个车队，每个车队的车多于辆，先从这个车队中抽取辆，且每个车队至少抽一辆组成运输队，则不同的抽法有A. 种 B. 种 C. 种 D. 种11. 如图，将45直角三角板和30直角三角板拼在一起，其中45直角三角板的斜边与30直角三角板的30角所对的直角边重合若，则x ，y等于 A BC D12已知
3、抛物线过点的直线与抛物线C交于M，N两点，且，过点M，N向直线作垂线，垂足分别为，的面积分别为记为与，A=2：1B=5：2C=4：1D=7：1第卷注意事项：1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。3. 本卷共10小题，共90分。二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中横线上）13. 若函数为奇函数，则_. 14在中，角的对边分别为，若，且，的值为_.15. 有红、蓝、黄三种颜色的球各7个，每种颜色的7个球分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任取3个标号不同的球，这3种颜色互不相同且所标数字互不相邻的概率为 _.16. 给出下
4、列四个命题： 若三棱锥P-ABC的三侧棱两两垂直，三条侧棱长分别为1，3，则此三棱锥的外接球的体积为； 与空间四边形四个顶点距离都相等的平面有且只有7个； 对确定的两条异面直线，过两条异面直线外空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行； 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有且只有三条；其中正确的命题序号为 （请把所有正确命题的序号都填上）。三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17. （本小题满分10分）在海岛上有一座海拔1km的山峰，山顶设有一个观察站
5、.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东、俯角为的处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西、俯角为的处.(1) 求船的航行速度；(2) 求船从到行驶过程中与观察站的最短距离.18（本小题满分12分）如图：直角梯形中，分别为边和上的点，且，将四边形沿折起成如图2的位置，使（）求证：平面；（）求三棱锥的体积；（）求面与面所成锐二面角的余弦值.19（本小题满分12分）如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，依次类推现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动记小弹子落入第层第个
6、竖直通道（从左至右）的概率为（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）（）求的值，并猜想的表达式（不必证明）（）设小弹子落入第6层第个竖直通道得到分数为，其中，试求的分布列及数学期望20（本小题满分12分）已知函数.()若，求曲线在处切线的斜率；()求的单调区间；（）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.21. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，线段AB与y轴交于点，直线AB的斜率为k，且满足（1）证明：对任意的实数，一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C，并求出抛物线C的方程；（2）对（1）中的抛物线C，若直线与其交于M、N两点，求MON的取值范围22.
7、（本小题满分12分） 古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：(1) 写出a1，a2，a3，并求出an；(2) 记，求和（）；（其中表示所有的积的和）(3) 证明：【参考答案】1D 2C 3A 4A 5 D. 6.C 7.A 8.B 9D 10A 11B 12C13-15； 14； 1
8、5. ； 16. 17.解：设船速为km/h，则km.在中，与俯角相等为30，.同理，中，. (4分)在中，154560，由余弦定理得，km/h，船的航行速度为km/h. (6分)(方法一) 作于点，当船行驶到点时，最小，从而最小.此时，. (10分).船在行驶过程中与观察站的最短距离为km. (12分) (方法二) 由知在中，由正弦定理，. (8分)作于点，当船行驶到点时，最小，从而最小.此时，. (10分).船在行驶过程中与观察站的最短距离为km. (12分)18（本小题满分12分）（1）证明： 面面 ，又面，所以平面 （）解：因为平面 所以的体积=的体积=的体积取的中点，连接 ，平面又平
9、面，面，所以三棱锥的体积 （）解：方法1 以中点为原点，为轴建立空间直角坐标系，则、,所以的中点坐标为,因为，所以，易知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为 由 令则，所以面与面所成锐二面角的余弦值为。 方法2 延长EA到,连接,所以在梯形中，有,取中点N可得,由是等边三角形可得, 因为,所以,为所求角. ,19、解：（1），2分 4分 6分（2）3219分12分 (III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程 有实根” 为事件N，则， .20.解：()由已知， 2分.故曲线在处切线的斜率为. 4分(). 5分当时，由于，故，所以，的单调递增区间为. 6分当时，由，得.在区间上，
10、在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 7分（）由已知，转化为. 8分 9分由()知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.) 10分当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值， 11分所以，解得. 12分21解：（1）由已知设又设抛物线由得 设，则由弦长公式得 而，所以，即抛物线方程为6分（2）设，由而 则，7分不妨设，由于，则令，则ON到OM的角为，且满足令，则，且 函数与在上皆为增函数 则， 又时， 12分22、(1) 事实上，要将个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面个圆盘转移到B柱上，需要次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将柱上的个圆盘转移到C柱上，需要次转移，所以有则，所以 2分(2) 则 4分（3）令，则当时 又，所以对一切有：另方面恒成立，所以对一切有综上所述有： 12分 - 10 -用心 爱心 专心
