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1、高等代数 习题课 正交矩阵的性质 讲课：杨忠鹏 制作：林志兴 杨忠鹏 2003.06.05,习题课 正交矩阵的性质,一、正交矩阵的定义及简单性质,二、有限维欧氏空间里的正交矩阵,三、正交矩阵的特征根,一、正交矩阵的定义及简单性质,问题 正交矩阵之和？,1 定义 ， 若 称 A 为正交矩阵,2 运算性质 正交矩阵之积为正交阵,正交矩阵的转置为正交阵,正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵,数乘正交矩阵？, A为正交矩阵, A为正交矩阵, A为正交矩阵,3 正交矩阵的判定,的关系如何？, 元素 与其余子式 ，代数余子式, 当某 时，, 的上界？,问题： 的上界？,二、有限维欧氏空间里的正交矩阵,空间 的一组
2、标准正交基。,A为正交矩 阵 A的行（列）向量组是 n 维行（列）向量,1 矩阵 ，则,2 n维欧氏空间 的一组标准正交基 ，,矩阵 满足,则 为标准正交基 A为正交矩阵,A是正交变换 A为正交矩阵,则,标准正交基，若,3A为n维欧氏空间 的线性变换， 是一组,A ，, A为第二类的，若 。, A为第一类的(旋转)，若 ；,4n维欧氏空间 的正交变换的分类,使,即,对角矩阵,向量，即A在 下的矩阵为实,存在标准正交基 是A的特征,A为对称变换,则,标准正交基，且 A ，,5 A为n维欧氏空间 的线性变换， 为一组,1 在不同的教材上曾出现下面的命题,三、正交矩阵的特征根,正交矩阵的特征根的模等
3、于1。,正交矩阵的实特征根为1或1；,正交变换的特征根为1或1；,可得,即,注意此时 由（1）和（2）,对（1）两边取共轭转置,（2）,（1）,的证明：设 为 维非零复向量， 为复数， 且,2正交矩阵A的特征根,共轭出现的。, 当 时，由（3）知A的非实的复特征根是成对,这里 为矩阵A的所有特征根,iii),ii),i),（3）, 特征多项式,正交矩阵 的特征根,这里 ， 为非负整数,且,非实特征根,负特征根 （4）,正特征根,ii) 可设,非实特征根为成对共轭 与 出现， 且,实特征根为1或1,i) 分类,3正交矩阵A的行列式,， 是1作为A的特征根的重数 （5）,即, 在（4）之下, 或1
4、（简单证明，由定义给出）,4正交矩阵 的三类特征根,特征根为1或1。, n为奇数时， 与 的奇偶性相反，且至少有1个, n为偶数时， 与 的奇偶性相同,5n 维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况, 若A有特征根，则特征根1的重数与n的奇偶性相同。,相同。,A必以1为特征根且重数为奇数，特征根1的重数与n的奇偶性, A为第二类的 即,若A有特征根，则特征根1的重数为偶数，特征根1的重数,与n 的奇偶性相同, A为第一类的即,才是A的特征根，约定当 不是特征根时，其重数为0：,注意此时A与在标正基下的正交矩阵A的对应关系，A的实特征根, 设A是3 3正交阵且 证明A的特征多项式为,这里,，, 证明第二类正交变换一定以1作为它的一个特征值。,特征值。, 证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个,6问题, 与 进一步的结论？,iii) ， ，,ii),i), 考虑A的所有特征值的可能性,
