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1、高考数学最后冲刺必读题解析（21）20（本小题满分12分） 已知等比数列中，分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且公比 （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足是数列的前n项和，求证：当20解：（1）由已知得 从而得 解得（舍去）4分 所以6分 （2）由于 因此所证不等式等价于：当n=5时，因为左边=32，右边=30，所以不等式成立；假设时不等式成立，即两边同乘以2得这说明当n=k+1时也不等式成立。由知，当成立。因此，当成立。12分21（本小题满分12分） 已知函数是的导函数。 （1）当a=2时，对于任意的的最小值； （2）若存在，使求a的取值范围。21解：（1）由题意知令当x在-
2、1，1上变化时，随x的变化情况如下表：x-1（-1，0）0（0，1）1-7-0+1-1-4-3的最小值为的对称轴为且抛物线开口向下 的最小值为的最小值为-11。6分 （2）若上单调递减，又若当从而上单调递增，在上单调递减，根据题意，综上，a的取值范围是12分22（本小题满分14分） 已知椭圆的离心率为其左、右焦点分别为，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）。 （1）求椭圆C的方程； （2）过点且斜率为k的动直线交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由。22解：（1）设则由由得即所以c=12分又因为3分因
3、此所求椭圆的方程为：4分 （2）动直线的方程为：由得设则6分假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则由假设得对于任意的恒成立，即解得m=1。因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）10分这时，点M到AB的距离设则得所以当且仅当时，上式等号成立。因此，面积的最大值是14分20（本小题满分12分） 已知各项均为正数的数列的前n项和满足 （1）求数列的通项公式； （2）设数列为数列的前n项和，求证： 20（1）当n=1时，有解得1分当时，有两式相减得3分由题设故数列是首项为2，公差为3的等差数列5分 （2）由6分而8分令则而是单调递减数列10分所以，从而成
4、立12分21（本题满分12分）已知函数 （1）若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）当a0时，试讨论这两个函数图象的交点个数21（1）若使存在单调递减区间，则上有解1分而当问题转化为上有解，故a大于函数上的最小值3分又上的最小值为-1，所以a14分 （2）令函数的交点个数即为函数的零点的个数5分令解得随着x的变化，的变化情况如下表：-0+单调递减极（最）小值2+lna单调递增7分当恒大于0，函数无零点8分当由上表，函数有且仅有一个零点9分显然内单调递减，所以内有且仅有一个零点10分当由指数函数与幂函数增长速度的快慢，知存在使得从而因而又内单调递增，上的图象是连续不断的曲线，所以内有且
5、仅有一个零点11分因此，有且仅有两个零点综上，的图象无交点；当的图象有且仅有一个交点；的图像有且仅有两个交点12分22（本题满分14分）抛物线D以双曲线的焦点为焦点 （1）求抛物线D的标准方程； （2）过直线上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标； （3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|QN|=|QM|PN|22解：（1）由题意，所以，抛物线D的标准方程为3分 （2）设由抛物线D在点A处的切线方程为4分而A点处的切线过点即同理，可见，点A，B在直线上令所以，直线AB过定点Q（1，1）6分 （3）设直线PQ的方程为由得由韦达定理，9分而12分将代入方程（*）的左边，得（*）的左边=0因而有|PM|QN|=|QM|PN|14分- 9 -用心 爱心 专心
