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1、高考复习归纳训练高考复习精推资源题型归纳高效训练2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题4.6 解三角形应用举例目录一、题型全归纳1题型一 测量距离问题1题型二 测量高度问题2题型三 测量角度问题3题型四 数学建模应用举例问题5二、高效训练突破6一、题型全归纳题型一 测量距离问题【题型要点】测量距离问题的解法选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解【易错提醒】解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量【例1】(2020福建宁德5月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球
2、给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则图中海洋蓝洞的口径为 【答案】80【解析】由已知得，在ACD中，ACD15，ADC150，所以DAC15，由正弦定理得AC40()在BCD中，BDC15，BCD135，所以DBC30，由正弦定理，得BC160sin 1540()在ABC中，由余弦定理，得AB21 600(84)1 600(84)21 600()()1 600161 60041 6002032 000，解得AB80.故图中海洋蓝洞的
3、口径为80.题型二 测量高度问题【题型要点】求解高度问题应注意的3个问题(1)要理解仰角、俯角的定义；(2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；(3)注意山或塔垂直底面或海平面，把空间问题转化为平面问题【例1】(2020吉林长春质量监测四)海岛算经是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高
4、的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为(注：1步6尺，1里180丈1 800尺300步)()A1 255步B1 250步C1 230步 D1 200步【答案】A【解析】因为AHBC，所以BCFHAF，所以.因为AHDE，所以DEGHAG，所以.又BCDE，所以，即，所以HB30 750步，又，所以AH1 255(步)故选A.题型三 测量角度问题【题型要点】1仰角和俯
5、角在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，在水平视线下方的角叫俯角(如图)2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似4.解决角度问题的三个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理
6、综合使用的优点【例3】一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行(22)n mile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15的方向航行4 n mile到达海岛C.(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求CAB的大小【答案】见解析【解析】(1)由题意，在ABC中，ABC1807515120，AB22，BC4，根据余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC(22)242(22)424，所以AC2.(2)根据正弦定理得，sinBAC，所以CAB45.题型四 数学建模应用举例问题【题型要点】1.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题
7、的过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题2.解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等【例1】(2020福州市质量检测)某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点(如图)，它们相距5(3)海里，现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45，B点北偏西60，这
8、时，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时(1)求B点到D点的距离BD；(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间【答案】见解析【解析】(1)由题意知AB5(3)海里，DBA906030，DAB904545，所以ADB180(4530)105，在DAB中，由正弦定理得，所以DB10(海里)(2)在DBC中，DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 20021020900，所以CD30(海里)，则需要的时间t1(小时)即：救援船到达D点需要1小时二
9、、高效训练突破一、选择题1(2020广西桂林阳朔三校调研)1一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30，距离为12海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60方向，则此时灯塔C位于游轮的()A正西方向 B南偏西75方向C南偏西60方向 D南偏西45方向【答案】C.【解析】：如图：在ABD中，B45，由正弦定理有，AD24.在ACD中，由余弦定理得CD2AC2AD22ACADcos 30，因为AC12，AD24，所以CD12，由正弦定理得，sinCDA，故CDA60或者CDA120.因为ADAC，故CDA为锐角，所以CDA60.2在
10、相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为()A. kmB. kmC. km D2 km【答案】A.【解析】：如图，在ABC中，由已知可得ACB45，所以，所以AC2(km)3一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为()A15 km B30 kmC45 km D60 km【答案】B【解析】：如图所示，依题意有AB15460，DAC60，CBM15，所以MAB30，AMB45.在AMB中，由正弦定理，得，解得BM30，故选B.4如图，
11、测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于()A5 B15C5 D15【答案】D.【解析】：在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB1515.5.一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30角前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75角，则河的宽度为()A50(1) m B100(1) mC50 m D100 m【答案】A【解析】：如图所示，在ABC中，BAC30，ACB75
12、3045，AB200 m，由正弦定理，得BC100(m)，所以河的宽度为BCsin 7510050(1)(m)6.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B与D互补，则AC的长为()A7 km B8 kmC9 km D6 km【答案】A.【解析】：在ABC及ACD中，由余弦定理得8252285cos(D)AC23252235cos D，解得cos D，所以AC7.7一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向
13、是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里【答案】A.【解析】：如图所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)8如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1) m B180(1) mC120(1) m D30(1) m【答案】C.【解析】：因为tan 15tan(6045)2，所以BC60tan 6060tan 15120(1)(m)9.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为()A50 米 B50 米C50 米 D50 米【答案】B【解析】：设该扇形的半径为r米，如图，连接CO.由题意，得CD150 米，OD100 米，CDO60，在CDO中，CD2OD22CDODcos 60OC
