《2021年高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题：4.5 正弦定理和余弦定理的应用（解析版）文文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题：4.5 正弦定理和余弦定理的应用（解析版）文文（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考复习归纳训练高考复习精推资源题型归纳高效训练2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题4.5 正弦定理和余弦定理的应用目录一、题型全归纳1题型一 利用正弦、余弦定理解三角形1题型二 判断三角形的形状3题型三 与三角形面积有关的问题5命题角度一计算三角形的面积5命题角度二已知三角形的面积解三角形6题型四 三角形面积或周长的最值(范围)问题7题型五 解三角形与三角函数的综合应用9二、高效训练突破11一、题型全归纳题型一 利用正弦、余弦定理解三角形【题型要点】(1)正、余弦定理的选用利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对
2、角，求其他边或角；利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断【例1】 (2020广西五市联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a1，b，A30，B为锐角，那么ABC为()A113 B123C132 D141【答案】B.【解析】：法一：由正弦定理，得sin B.因为B为锐角，所以B60，则C90，故ABC1
3、23，选B.法二：由a2b2c22bccos A，得c23c20，解得c1或c2.当c1时，ABC为等腰三角形，B120，与已知矛盾，当c2时，abc，则ABC，排除选项A，C，D，故选B.【例2】(2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin Absin B4csin C，cos A，则()A6B5C4 D3【答案】A【解析】选A.由题意及正弦定理得，b2a24c2，所以由余弦定理得，cos A，得6.故选A.【例3】(2020济南市学习质量评估)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ca2bcos A.求角B的大小；若a5，c3，边AC的中
4、点为D，求BD的长【答案】见解析【解析】(1)选A.由题意及正弦定理得，b2a24c2，所以由余弦定理得，cos A，得6.故选A.(2)由2ca2bcos A及正弦定理，得2sin Csin A2sin Bcos A，又sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以2sin Acos Bsin A0，因为sin A0，所以cos B，因为0B，所以B.由余弦定理得b2a2c22accosABC52325349，所以b7，所以AD.因为cosBAC，所以BD2AB2AD22ABADcosBAC923，所以BD.题型二 判断三角形的形状【题型要点】判定三角形形状的两种常用
5、途径【易错提醒】“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系【例1】(2020蓉城名校第一次联考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不确定【答案】A【解析】(1)法一：因为bcos Cccos Bbca，所以asin Aa即sin A1，故A，因此ABC是直角三角形法二：因为bcos Cccos Basin A，所以sin Bcos Csin Ccos Bsin2 A，即sin(BC)si
6、n2 A，所以sin Asin2 A，故sin A1，即A，因此ABC是直角三角形【例2】在ABC中，若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为 【答案】等腰或直角三角形【解析】因为cacos B(2ab)cos A，所以由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以sin(AB)sin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，故cos A(sin Bsin A)0，所以cos A0或sin Asin B，A或AB，故ABC为等腰或直角三角形题型三 与三角形面积有关的问题命题角度一计算三角形的面积【题型要点】1.ABC的面
7、积公式(1)SABCah(h表示边a上的高)(2)SABCabsin Cacsin Bbcsin A.(3)SABCr(abc)(r为内切圆半径). 2.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键【例1】(2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b6，a2c，B，则ABC的面积为 【答案】6【解析】(1)法一：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2
8、c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以ABC的面积Sacsin B42sin 6.法二：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面积S266.【例2】(2020福建五校第二次联考)在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2b2c2ab，且acsin B2sin C，则ABC的面积为 【答案】【解析】因为a2b2c2ab，所以由余弦定理得cos C，又0C，所以C.因为acsin B2sin C，所以结合正弦定理可得ab
9、c2c，所以ab2.故SABCabsin C2sin.命题角度二已知三角形的面积解三角形【题型要点】已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解【提示】正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用【例3】(2020湖南五市十校共同体联考改编)已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，(3ba)cos Cccos A，c是a，b的等比中项，且ABC的面积为3，则ab ，ab 【答案】9【解析】因为(3ba)cos Cccos A，所以利用正
10、弦定理可得3sin Bcos Csin Acos Csin Ccos Asin(AC)sinB又因为sin B0，所以cos C，则C为锐角，所以sin C.由ABC的面积为3，可得absin C3，所以ab9.由c是a，b的等比中项可得c2ab，由余弦定理可得c2a2b22abcos C，所以(ab)2ab33，所以ab.【例4】(2020长沙市统一模拟考试)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin(AB)csin.(1)求A；(2)若ABC的面积为，周长为8，求a.【答案】见解析【解析】：(1)由题设得asin Cccos，由正弦定理得sin Asin Csin Cco
11、s，所以sin Acos ，所以2sincoscos，所以sin，所以A60.(2)由题设得bcsin A，从而bc4.由余弦定理a2b2c22bccos A，得a2(bc)212.又abc8，所以a2(8a)212，解得a.题型四 三角形面积或周长的最值(范围)问题【题型要点】求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解【例1】(2020福州市质量检测)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b.(1)
12、求ABC外接圆的直径；(2)求ac的取值范围【答案】见解析【解析】：(1)因为角A，B，C成等差数列，所以2BAC，又因为ABC，所以B.根据正弦定理得，ABC的外接圆直径2R1.(2)法一：由B，知AC，可得0A.由(1)知ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得，1，所以acsin Asin Csin Asinsin.因为0A，所以A.所以sin1，从而sin，所以ac的取值范围是法二：由(1)知，B，b2a2c22accos B(ac)23ac(ac)23(ac)2(当且仅当ac时，取等号)，因为b，所以(ac)23，即ac，又三角形两边之和大于第三边，所以ac，所以ac的取值范围是题型五
13、 解三角形与三角函数的综合应用【题型要点】标注条件，合理建模解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题【例1】 (2020湖南省五市十校联考)已知向量m(cos x，sin x)，n(cos x，cos x)，xR，设函数f(x)mn.(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)设a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)2，bc2，ABC的面积为，求a的值【答案】见解析【解析】(1)由题意知，f(x)cos2xsin xcos xsin1.令2x，kZ，解得x，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)因为f(A)sin12，所以sin1.因为0A，所以2A，所以2A，即A.由ABC的面积Sbcsin A，得bc2，又bc2，所以a2b2c22bccos A(bc)22bc(1cos A)，解得a1.【例2】ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2a2ccos B.(1)求角C的大小；(2)求cos Asin的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值【答
