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1、华杯赛计数专题：几何计数基础知识：1.几何计数，从类型上看，可分为数线段、数三角形、数正方形、数长方形、数平行四边形等几类.2.几何计数的基本方法和思想：分类枚举与对应.3.分类的标准：按大小，按包含的图形等.4.常见对应方法：线段对应到端点，三角形对应到端点或边，长方形对应到对边等.5.特殊方法：去点法与去线法，本质是分类.方法铺垫：1） 加法原理，乘法原理；2） 容斥原理；3） 排列数，组合数；4） 对应法.例题：例1.如图，数一数图中有多少条线段？【答案】28（条）【解答】分类：1个单位长的线段有7条；2个单位长的线段有6条；3个单位长的线段有5条；7个单位长的线段有1条；故共有线段76
2、51=28（条）.例2.数一数，图中共有多少个三角形？【答案】13（个）【解答】分类：含有1块的三角形有4个；含有2块的三角形有5个；含有3块的三角形有2个；含有4块的三角形有1个；含有6块的三角形有1个；故共有三角形45211=13（个）.例3.如图，数一数，图中有多少个三角形？【答案】48（个）.【解答】分类：包含1个小三角形的三角形有13579=25个；包含4个小三角形的三角形有12343=13个；包含9个小三角形的三角形有123=6个包含16个小三角形的三角形有12=3个；包含25个小三角形的三角形有1个；故共有三角形2513631=48（个）.例4.数一数，图中共有多少个三角形？【答
3、案】35（个）【解答】分类：含有1块的三角形有10个；含有2块的三角形有10个；含有3块的三角形有10个；含有5块的三角形有5个；故共有三角形1010105=35（个）. 例5.图中有多少个正方形？【答案】30（个）【解答】包含1个正方形的正方形有44=16个；包含4个正方形的正方形有33=9个；包含9个正方形的正方形有22=4个；包含16个正方形的正方形有1个；故共有三角形16941=30（个）.例6.如图，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？【答案】70（条）; 60个【解答】线段：横线，共有4条；竖线：5，故共有线段4030=70条；矩形：竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有
4、，根据乘法原理，共有矩形10矩形原60个.例7.如图，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形.请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）从中可以数出包含红点的长方形有多少个？【答案】450（个）；144个【解答】（1）竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有，根据乘法原理，共有矩形4510=450个.（2）竖线中选出两条，共有6竖线中选出条，横线中选出两条，共有23=6条，根据乘法原理，共有矩形246=144个.例8.如图，数一数，图中共有多少个长方形？【答案】135个【解答】横向看：共有矩形个，竖向看：共有矩形个，这样重复计算了个，所以共有矩形906318=135个.例
5、9.如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵.用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【答案】200（个）【解答】共有三角形个.例10.下图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成, 则正方形的个数为多少？（17届华杯赛笔试初赛小高组第6题）【答案】83（个）【解答】包含1小个正方形的正方形有24688642=40个；包含4小个正方形的正方形有1357531=25个；包含9小个正方形的正方形有2442=12个；包含16小个正方形的正方形有131=5个；共有正方形40251251=83个. 例11. 求图中一共有多少条线段？求图中一共有多少个矩形？【答案】70条线段，60个矩形【解答】每
6、一条线段由同一行或同一列的两个顶点确定，因此共有条线段.每个矩形由长和宽上的各一条线段对应形成，如下图： 因此共有个矩形.例12. 数一数，图中有多少个三角形？【答案】78个【解答】只包含1个基本图形的有36个（朝上的21个，朝下的15个）；包含4个基本图形的有21个（朝上的15个，朝下的6个）；包含9个基本图形的有11个（朝上的10个，朝下的1个）；包含16个基本图形的有6个；包含25个基本图形的有3个；包含36个基本图形的有1个.所以共有362111631=78个. 例13. 下图是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么：1）从中可以数出多少个矩形？2）从中可以数出
7、多少个正方形？3）从中可以数出包含黑点的矩形有多少个？【答案】1）450个；2）80个；3）144个【解答】1）图中共有个矩形；2）包含1个基本图形的正方形共有49=36个；包含4个基本图形的正方形共有38=24个；包含9个基本图形的正方形共有27=14个；包含16个基本图形的正方形共有16=6个.则共有3624146=80个.3）黑点左下方的顶点共有18个，黑点右上方的顶点共有8个，所以包含黑点的矩形共有188=144个. 例14. 图中一共包含多少个矩形？【答案】135个【解答】第（1）部分和第（3）部分合并起来是一个35的大矩形（如下图所示），其中一共包含矩形 个；第（2）部分和第（3）
8、部分合并起来是一个62的大矩形（如下图所示），其中一共包含矩形个；第（3）部分中的矩形被重复计算了，其中共有矩形个.所以图中一共包含矩形906318=135个. 例15. 图中的木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵. 那么用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【答案】200个【解答】从12枚钉子中选择3枚钉子的组合总数是.而图中共有3条直线上各有4个点（如下图实线所示），另外还有8条直线上各有3个点（如下图虚线所示）.因此用橡皮筋一共可以套出个不同的三角形. 例16. 求图中所有矩形的面积和以及周长的总和.【答案】周长总和：1364；面积总和：1800【解答】矩形的10种长的总长是3+
9、4+2+6+7+6+8+9+12+15=72。.矩形的6种宽的总长是142567=25.所以图中所有矩形的面积和是2572=1800，周长的总和是 例17. 如图，在图中的33正方形格子中，格线的交点称为格点.例如，A，B，C这3个点都是格点.那么，以格点为顶点，且覆盖了阴影部分小方格的三角形有_个.【答案】16个【解答】解法1：如图，和最左边的这个图所示的格点三角形大小形状完全相同的格点三角形一共有4个；和中间的这个图所示的格点三角形大小形状完全相同的格点三角形一共有4个；和最右边的这个图所示的格点三角形大小形状完全相同的格点三角形一共有8个.所以一共有448=16个符合条件的格点三角形.解法2：如图，能覆盖住阴影部分小方格的三角形必然有一条边形如线段AB，而这样的线段一共有4条，选定其中一条以后，以线段AB为例，这种三角形的第3个顶点还有4种选择，即C、D、E、F.所以根据乘法原理，这样的三角形一共有44=16个. 例18. 如果凸n边形的任三条对角线在形内没有公共点，那么请求出对角线在形内的交点个数.【答案】【解答】凸n边形中每4个顶点确定对角线在形内的一个公共点，故共有个交点. 8
