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1、备战中考初中数学导练学案50 讲 第 30 讲点直线与圆的位置关系 【疑难点拨】 1. 直线与圆位置关系的判断直线和圆的位置关系：设O 的半径为 r ，圆心 O到直线 l 的距离为 d，则直线 l 和O 相交 ? d r ；直线 l 和O 相切 ? dr ；直线 l 和O 相离 ? d r. 2. 证明直线和圆相切的常见方法 证明直线和圆相切，一般有两种情况： (1) 已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线 (2) 直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长 等于半径 . 3.圆的切线判定的运用注意事项: (1) 解决本类题目可以是将
2、最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论； (2) 解答此题的关键是两个基本图形的公共部分( 即点 D， E和直径 AB)的运用；在涉及切线问题 时，常连结过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线如果已知直线过圆上 某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆 心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径 【基础篇】 一、选择题： 1.（2018 年四川省内江市）已知O1的半径为3cm ， O2的半径为2cm ，圆心距O1O2=4cm ，则 O1与 O2的位置关系是（） A外高 B外切 C相交 D内切 2. （ 2018山东
3、泰安 3 分）如图，BM与O 相切于点B， 若MBA=140 ， 则ACB的度数为 （） A40 B50 C60 D70 3. （ 2018江苏常州 2 分）如图， AB是 O的直径， MN 是 O的切线， 切点为 N，如果 MNB=52 ， 则 NOA的度数为（） A76 B56 C54 D52 4. （2018重庆市B卷） （4.00 分）如图，ABC中， A=30 ，点O是边 AB上一点，以点O为圆 心，以 OB为半径作圆，O恰好与 AC相切于点D，连接 BD若 BD平分 ABC ，AD=2，则线段CD 的长是（） A2 BCD 5. （2018重庆市B卷） （4.00 分）如图，ABC
4、中， A=30 ，点O是边 AB上一点，以点O为圆 心，以 OB为半径作圆，O恰好与 AC相切于点D，连接 BD若 BD平分 ABC ，AD=2，则线段CD 的长是（） A2 BCD 二、填空题： 6. （2018浙江省台州5 分）如图， AB是O 的直径， C 是O 上的点，过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点D若 A=32 ，则 D=度 7.（2018山东威海 3 分）如图，在扇形CAB中， CD AB ，垂足为D， E是 ACD的内切圆，连 接 AE ， BE ，则 AEB的度数为 8. （2017 浙江衢州） 如图，在直角坐标系中，A的圆心 A的坐标为（1，0） ，半径为1，点 P
5、为 直线 y=x+3 上的动点，过点P作 A的切线，切点为Q ，则切线长PQ的最小值是 三、解答与计算题： 9.（2018山东潍坊 8 分）如图， BD为 ABC外接圆 O的直径，且 BAE= C （1）求证： AE与 O相切于点A； （2）若 AE BC，BC=2，AC=2，求 AD的长 10. （2018湖北省武汉 8 分）如图， PA是 O的切线， A是切点， AC是直径， AB是弦，连接PB 、 PC ，PC交 AB于点 E，且 PA=PB （1）求证： PB是 O的切线； （2）若 APC=3 BPC ，求的值 【能力篇】 一、选择题： 11. （2018 台湾分）如图，I 点为 A
6、BC的内心， D点在 BC上，且 ID BC ，若B=44 ， C=56 ， 则 AID 的度数为何？（） A174 B176 C178 D180 12. （2018四川宜宾 3 分）在 ABC中，若 O为 BC边的中点， 则必有： AB 2+AC2=2AO2+2BO2 成立 依 据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4 ，EF=3 ，点 P 在以 DE为直径的半圆 上运动，则PF 2+PG2 的最小值为（） ABC34 D10 13.（2018山东泰安 3 分）如图，M的半径为2，圆心 M的坐标为（ 3，4） ，点 P是M上的任 意一点， PA PB ，且PA 、PB与
7、 x 轴分别交于A、B 两点，若点A、点 B关于原点O对称，则AB的最 小值为（） A3 B4 C6 D8 二、填空题： 14.（2018 年江苏省南京市 ?2 分）如图，在矩形ABCD 中， AB=5 ，BC=4 ，以 CD为直径作 O 将矩形 ABCD绕点 C 旋转，使所得矩形ABCD的边AB与 O相切，切点为E，边 CD 与 O相交 于点 F，则 CF的长为 15.（2018 年江苏省泰州市 ?3 分）如图， ABC中， ACB=90 ， sinA=，AC=12 ，将 ABC绕点 C顺时针旋转90得到 ABC ，P 为线段 AB 上的动点，以点P为圆心， PA 长为半径作P，当 P与 A
8、BC的边相切时，P的半径为 三、解答与计算题： 16.（2018?江苏盐城? 10 分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、. 将 沿翻折后得到. （1）试说明点在上； （2）在线段的延长线上取一点，使. 求证：为的切线； （3） 在（2）的条件下， 分别延长线段、相交于点，若，求线段 的长 . 17.（2018?山东滨州? 12 分）如图， AB为 O的直径，点C在 O上， AD CD于点 D，且 AC平分 DAB ，求证： （1）直线 DC是 O的切线； （2）AC 2=2AD?AO 18.（2018?山东菏泽? 10 分）如图， ABC内接于 O，AB=AC ，BAC=36 ，过点A
9、作 AD BC ，与 ABC的平分线交于点D，BD与 AC交于点 E，与 O交于点 F （1）求 DAF的度数； （2）求证： AE 2=EF?ED ； （3）求证： AD是 O的切线 【探究篇】 19. （2018?四川凉州 ?8 分）如图， 在平面直角坐标系中，点O1的坐标为 （ 4，0） ，以点 O1为圆心， 8 为半径的圆与x 轴交于 A，B两点，过 A作直线 l 与 x 轴负方向相交成60的角， 且交 y 轴于 C点， 以点 O2（ 13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D （1）求直线 l 的解析式； （2） 将O2以每秒 1 个单位的速度沿x 轴向左平移， 当O2第一次与O1外切时
10、，求O2平移的时间 20.（2018 年江苏省南京市）结果如此巧合! 下面是小颖对一道题目的解答 题目：如图， RtABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3 ，BD=4 ， 求 ABC的面积 解：设 ABC的内切圆分别与AC 、BC相切于点 E、F，CE的长为 x 根据切线长定理，得AE=AD=3 ，BF=BD=4 ，CF=CE=x 根据勾股定理，得（x+3） 2+（x+4）2=（3+4）2 整理，得x 2+7x=12 所以 SABC=AC?BC =（x+3）（ x+4） =（x 2+7x+12） =（ 12+12） =12 小颖发现12 恰好就是34，即 ABC的面积等于AD与 BD的积
11、这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索 已知： ABC的内切圆与AB相切于点D ， AD=m ，BD=n 可以一般化吗？ （1）若 C=90 ，求证：ABC的面积等于mn 倒过来思考呢？ （2）若 AC?BC=2mn，求证 C=90 改变一下条件 （3）若 C=60 ，用m 、n 表示 ABC的面积 第 30 讲点直线与圆的位置关系 【疑难点拨】 1. 直线与圆位置关系的判断直线和圆的位置关系：设O 的半径为 r ，圆心 O到直线 l 的距离为 d，则直线 l 和O 相交 ? d r ；直线 l 和O 相切 ? dr ；直线 l 和O 相离 ? d r. 2. 证明直线和圆相切的常见方法 证
12、明直线和圆相切，一般有两种情况： (1) 已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线 (2) 直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长 等于半径 . 3.圆的切线判定的运用注意事项: (1) 解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论； (2) 解答此题的关键是两个基本图形的公共部分( 即点 D， E和直径 AB)的运用；在涉及切线问题 时，常连结过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线如果已知直线过圆上 某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆
13、 心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径 【基础篇】 一、选择题： 1.（2018 年四川省内江市）已知O1的半径为3cm ， O2的半径为2cm ，圆心距O1O2=4cm ，则 O1与 O2的位置关系是（） A外高 B外切 C相交 D内切 【考点】 MJ ：圆与圆的位置关系 【分析】 由 O1的半径为 3cm，O2的半径为2cm ，圆心距 O1O2为 4cm ，根据两圆位置关系与圆心距d， 两圆半径R ，r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系 【解答】解：O1的半径为3cm ， O2的半径为2cm ，圆心距 O1O2为 4cm， 又 2+3=5，32=1，1 45， O1与 O2的
14、位置关系是相交 故选： C 【点评】此题考查了圆与圆的位置关系注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r 的数量 关系间的联系是解此题的关键 2. （ 2018山东泰安 3 分）如图，BM与O 相切于点B， 若MBA=140 ， 则ACB的度数为 （） A40 B50 C60 D70 【分析】连接OA 、 OB ，由切线的性质知 OBM=90 ，从而得 ABO= BAO=50 ，由内角和定理知 AOB=80 ，根据圆周角定理可得答案 【解答】解：如图，连接OA 、OB ， BM是O 的切线， OBM=90 ， MBA=140 ， ABO=50 ， OA=OB， ABO= BAO=50 ，
15、AOB=80 ， ACB=AOB=40 ， 故选： A 【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半 径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 3. （ 2018江苏常州 2 分）如图， AB是 O的直径， MN 是 O的切线， 切点为 N，如果 MNB=52 ， 则 NOA的度数为（） A76 B56 C54 D52 【分析】先利用切线的性质得ONM=90，则可计算出 ONB=38 ，再利用等腰三角形的性质得到 B=ONB=38 ，然后根据圆周角定理得NOA的度数 【解答】解：MN是 O的切线， ON NM ， ON
16、M=90， ONB=90 MNB=90 52=38， ON=OB ， B=ONB=38 ， NOA=2 B=76 故选：A 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了圆周角定理 4. （2018重庆市B卷） （4.00 分）如图，ABC中， A=30 ，点O是边 AB上一点，以点O为圆 心，以 OB为半径作圆，O恰好与 AC相切于点D，连接 BD若 BD平分 ABC ，AD=2，则线段CD 的长是（） A2 BCD 【分析】连接OD ，得 RtOAD ，由 A=30 ， AD=2，可求出 OD.AO的长；由 BD平分 ABC ，OB=OD 可得 OD 与 BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论 【解答】解：连接OD OD是 O的半径， AC是 O的切线，点D是切点， OD AC 在 Rt AOD 中， A=30 ， AD=2， OD=OB=2 ，AO=4 ， ODB= OBD ，又 BD平分 ABC ， OBD= CBD ODB= CBD OD CB， 即 CD=
