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1、专题 11.4 随机事件的概率 1. （河北省石家庄二中2019 届期末）下列说法正确的是() A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为 3 5，则比赛 5 场，甲胜3 场 B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前 9 个病人没有治愈，则第10 个病人一定治愈 C.随机试验的频率与概率相等 D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 【答案】 D 【解析】由概率的意义知D 正确 . 2. （辽宁省大连一中2019 届期中）有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机 地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向.事件 “ 甲向南 ” 与事件 “ 乙向南 ” 是()
2、A.互斥但非对立事件B.对立事件 C.相互独立事件D.以上都不对 【答案】 A 【解析】由于每人一个方向，事件“ 甲向南 ” 与事件 “ 乙向南 ” 不能同时发生，但能同时不发生，故是 互斥事件，但不是对立事件. 3. （湖南省郴州二中2019 届期末）设事件A，B，已知 P(A) 1 5，P(B) 1 3，P(AB) 8 15，则 A， B 之间的关系一定为() A.两个任意事件B.互斥事件 C.非互斥事件D.对立事件 【答案】 B 【解析】因为P(A)P(B) 1 5 1 3 8 15P(AB)，所以 A，B 之间的关系一定为互斥事件 . 4. （江苏省无锡一中2019 届期中）某产品分甲
3、、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常 生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和 3%，则抽检一件是正品(甲级 )的概率为 () A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08 【答案】 C 【解析】记 “ 抽检的产品是甲级品” 为事件 A，是 “ 乙级品 ” 为事件 B，是 “ 丙级品 ” 为事件 C，这三个 事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)1P(B)P(C)15%3%92%0.92. 5. （河南省鹤壁一中2019 届期末）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2 粒都是黑子的概率 是 1 7，都是白子的概率是 12 35.则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概
4、率是() A. 1 7 B.12 35 C.17 35 D.1 【答案】 C 【解析】设 “ 从中取出2 粒都是黑子 ” 为事件 A，“ 从中取出2 粒都是白子 ” 为事件 B，“ 任意取出2 粒恰 好是同一色 ” 为事件 C，则 C AB，且事件A 与 B 互斥 . 由于 P(A) 1 7，P(B) 12 35. 所以 P(C) P(A)P(B)1 7 12 35 17 35. 6. （山西省大同一中2019 届期中）若随机事件A， B 互斥， A，B 发生的概率均不等于0，且 P(A)2 a，P(B) 4a5，则实数a 的取值范围是 () A. 5 4，2 B. 5 4， 3 2 C. 5
5、 4， 3 2 D. 5 4， 4 3 【答案】 D 【解析】由题意可得 0PA1， 0PB1， PA PB 1， 即 02a 1， 04a51， 3a31 ， 解得 5 4a 4 3. 7. （齐齐哈尔一中2019 届期末）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品 ，事件 B 抽到二等品 ，事件 C抽到三等品 ，且已知 P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件 “ 抽到的产品不 是一等品 ” 的概率为 _. 【答案】 0.35 【解析】事件A抽到一等品 ，且 P(A) 0.65， 事件 “ 抽到的产品不是一等品” 的概率为 p1P(A)10.650.35. 8.(北京东
6、城区2019 届调研 )经统计，在银行一个营业窗口每天上午9 点钟排队等候的人数及相应概率 如下表： 排队人数0 1 2 3 4 5 概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午9 点钟时，至少有2 人排队的概率是_. 【答案】 0.74 【解析】由表格知，至少有2 人排队的概率p0.30.30.10.040.74. 9. （湖北省黄石一中2019 届期末）黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表： 血型ABABO 该血型的人数所占的比例28%29%8%35% 已知同种血型的人可以互相输血，O 型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输 给 AB 型血的
7、人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是 B 型血，若他因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？ 【解析】 (1)任找一人，其血型为A，B，AB ，O 型血分别记为事件A， B ， C ，D，它们是互斥 的.由已知，有P(A)0.28， P(B)0.29，P(C)0.08，P(D)0.35. 因为 B，O 型血可以输给B 型血的人，故 “ 任找一个人，其血可以输给小明” 为事件 B D，根据 概率加法公式，得P(BD) P(B)P(D)0.290.350.64. (2)由于 A，AB 型血不能输给B 型血的人，故 “
8、 任找一个人，其血不能输给小明” 为事件 AC，且 P(A C )P(A) P(C)0.280.080.36. 10. （浙江省宁波一中2019 届期中）某险种的基本保费为a(单位：元 )，继续购买该险种的投保人 称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数0 1 2 3 4 5 保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数1 2 3 4 5 频数60 50 30 30 20 10 (1)记 A 为事件： “ 一续保人本年度的保费不高于基本保费” ， 0 求 P(A)
9、的估计值； (2)记 B 为事件： “ 一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%” ，求 P(B)的估 计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值. 【解析】 (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2 的频 率为 6050 200 0.55，故 P(A)的估计值为0.55. (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于1 且小于 4，由所给数据知，一年内出险次数大于1 且小 于 4 的频率为 30 30 200 0.3， 故 P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得 保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2
10、a 频率0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的 200 名续保人的平均保费为0.85a 0.30 a 0.251.25a 0.151.5a 0.151.75a 0.10 2a 0.05 1.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. 11. （吉林省吉林一中2019 届模拟）掷一个骰子的试验，事件A 表示 “ 出现小于5 的偶数点 ” ，事件 B 表示 “ 出现小于5 的点数 ” ，若 B 表示 B 的对立事件，则一次试验中，事件AB 发生的概率为() A. 1 3 B.1 2 C.2 3 D. 5 6 【答案】 C 【解析】掷一个骰子的
11、试验有6 种可能结果 . 依题意 P(A) 2 6 1 3，P(B) 4 6 2 3， P(B )1P(B)1 2 3 1 3. B 表示 “ 出现 5 点或 6 点” 的事件， 因此事件A与 B 互斥， 从而 P(AB )P(A)P(B ) 1 3 1 3 2 3. 12. （安徽省芜湖一中2019 届模拟）如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5 次综合测评中的成绩， 其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是() A. 2 5 B. 7 10 C.4 5 D. 9 10 【答案】 C 【解析】设被污损的数字为x，则 x 甲 1 5(8889909192)90， x 乙 1
12、5(8383879990 x)， 若x 甲x 乙，则 x 8. 若x 甲x 乙，则 x 可以为 0，1，2， 3，4，5，6， 7， 故 p 8 10 4 5. 13. （福建省莆田一中2019 届模拟）我国古代数学名著数书九章有“ 米谷粒分 ” 题：粮仓开仓收粮， 有人送来米1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为() A.134 石B.169 石 C.338 石D.1 365 石 【答案】 B 【解析】这批米内夹谷约为 28 254 1 534 169 石，故选B . 14. （广东省深圳一中2019 届模拟）现有10 个数，它们能构成一
13、个以1 为首项， 3 为公比的等比数 列，若从这10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 的概率是 () A. 3 5 B.1 2 C. 3 10 D.1 5 【答案】 A 【解析】由题意得an(3)n 1，易知前 10 项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8 的项为第一项 和偶数项，共6 项，即 6 个数，所以所求概率P 6 10 3 5. 15. （江西省赣州一中2019 届模拟）若A，B 互为对立事件，其概率分别为P(A)4 x，P(B) 1 y，则 x y 的最小值为 _. 【答案】 9 【解析】由题意，x0，y0， 4 x 1 y 1.则 xy(xy) 4 x 1 y 5 4y x x
14、 y 5 2 4y x x y 9，当且 仅当 x 2y 时等号成立，故xy 的最小值为9. 16. （山东省青岛二中2019 届模拟）某城市2018 年的空气质量状况如表所示： 污染指数T 3060100110130140 概率 p 1 10 1 6 1 3 7 30 2 15 1 30 其中污染指数T50时，空气质量为优；50T100 时，空气质量为良，100T150时，空气质量为轻 微污染，则该城市2018 年空气质量达到良或优的概率为_. 【答案】 3 5 【解析】由题意可知2018 年空气质量达到良或优的概率为p 1 10 1 6 1 3 3 5. 17. （广东省惠州一中2019
15、届模拟）一只袋子中装有7 个红玻璃球，3 个绿玻璃球，从中无放回地任 意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为 7 15，取得两个绿玻璃球的概率为 1 15，则取得两个 同色玻璃球的概率为_；至少取得一个红玻璃球的概率为_. 【答案】 8 15 14 15 【解析】由于“ 取得两个红玻璃球” 与“ 取得两个绿玻璃球” 是互斥事件，取得两个同色玻璃球，只需两 互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色玻璃球的概率为P 7 15 1 15 8 15.由于事件 A“ 至少取得一个红 玻璃球 ” 与事件B“ 取得两个绿玻璃球” 是对立事件，则至少取得一个红玻璃球的概率为P(A)1 P(B)1
16、1 15 14 15. 18. （陕西省宝鸡一中2019 届模拟） 某人在如图所示的直角边长为4 米的三角形地块的每个格点(指纵、 横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年 收获量 Y(单位： kg)与它的 “ 相近 ” 作物株数X 之间的关系如表所示： X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“ 相近 ” 是指它们之间的直线距离不超过1 米. (1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量； Y 51484542 频数4 (2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg 的概率 . 【解析】 (1)所种作物的总株数为1234515， 其中 “ 相近 ” 作物株数为1 的作物有2 株，“ 相 近” 作物株数为2 的作物有 4 株
