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1、教育资源 教育资源 2.2分析法 1.了解分析法的思维过程、特点.(重点) 2.会用分析法证明数学问题 .(难点) 基础 初探 教材整理分析法 阅读教材 P9P11，完成下列问题 . 1.分析法的定义 从求证的结论出发， 一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到 归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分 析法. 2.分析法证明的思维过程 用 Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q?P1 P1?P2 P2?P3 得到一个明显成立的条件 3.综合法和分析法的综合应用 在解决问题时， 我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构 特
2、点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中 间结论 P.若由 P 可以推出 Q成立，即可证明结论成立 . 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)分析法就是从结论推向已知.() (2)分析法的推理过程要比综合法优越.() (3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明.() 【解析】(1)错误 .分析法又叫逆推证法 ，但不是从结论推向已知 ，而是寻 找使结论成立的充分条件的过程. (2)错误.分析法和综合法各有优缺点. (3)正确.一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明 题都可使用分析法证明 . 教育资源 教育资源 【答案】(1)(2)(3) 质疑
3、 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型 应用分析法证明不等式 已知 ab0，求证： （ab） 2 8a ab 2 ab（ab） 2 8b . 【精彩点拨】本题用综合法不易解决 ，由于变形后均为平方式 ，因此要先 将式子两边同时开方 ，再找出使式子成立的充分条件. 【自主解答】要证 （ab） 2 8a ab 2 ab （ab） 2 8b ， 只需证 （ab） 2 8a （ab） 2 2 b0， 同时除以 （ab） 2 2 ，得（ ab） 2 4a 1 （ab） 2 4b ， 同时开方 ，得 ab 2
4、 a 1 ab 2 b ， 只需证ab2b， 即证ba，即证 bb0，原不等式成立， 教育资源 教育资源 即 （ab） 2 8a ab 2 ab0，求证：a 21 a 2 2a 1 a2. 【导学号： 94210013】 【证明】要证a2 1 a 22a 1 a2， 只需证a 21 a 22a1 a 2， 即证a2 1 a 22 2 a1 a 2 2， 即 a 21 a 24 a 21 a 24a2 1 a 22 2 a1 a 4， 只需证 2a 21 a 22 a1 a . 只需证 4 a 21 a 2 2 a 221 a 2 ， 即 a 21 a 22. 上述不等式显然成立 ，故原不等式成
5、立 . 用分析法证明其他问题 求证： 以过抛物线 y22px(p0)焦点的弦为直径的圆必与直线x p 2 相切. 【精彩点拨】 教育资源 教育资源 【自主解答】如图所示 ，过点 A，B 分别作 AA ，BB垂直 准线于点 A，B ，取 AB 的中点 M，作 MM垂直准线于点 M.要 证明以 AB 为直径的圆与准线相切 ，只需证 |MM|1 2|AB|.由抛物 线的定义有 |AA|AF|，|BB |BF|，所以|AB|AA|BB|， 因此只需证 |MM| 1 2(|AA| |BB|). 根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线 y 22px 焦点的 弦为直径的圆必与直线x p 2相切
6、. 1.分析法是逆向思维 ，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明 过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法 . 2.分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发 ，倒着分析 ， 由未知想需知 ，由需知逐渐地靠近已知 ，即已知条件、已经学过的定义、定理、 公理、公式、法则等 . 再练一题 2.已知 1tan 2tan 1，求证： cos sin 3(cos sin ). 【导学号： 94210014】 【证明】要证 cos sin 3(cos sin )， 只需证 cos sin cos sin 3，只需证 1tan 1tan 3， 只需证 1tan 3(1tan
7、)，只需证 tan 1 2. 1tan 2tan 1， 1tan 2tan ，即 2tan 1. tan 1 2显然成立 ，结论得证. 教育资源 教育资源 探究共研型 综合法与分析法的综合应用 探究 1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 【提示】综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是 严密的逻辑推理 ，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的 “猜 想”. 探究 2综合法与分析法有什么区别？ 【提示】综合法是从已知条件出发 ， 逐步寻找的是必要条件 ， 即由因导果； 分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件 ，即执果索因 . 在某两个正数 x，y
8、之间，若插入一个数a，则能使 x，a，y 成等差 数列；若插入两个数b，c，则能使 x，b，c，y 成等比数列，求证： (a1) 2(b 1)(c1). 【精彩点拨】可用分析法找途径 ，用综合法由条件顺次推理 ，易于使条件 与结论联系起来 . 【自主解答】由已知条件得 2axy， b 2cx， c 2by， 消去 x，y 得 2ab 2 c c 2 b， 且 a0，b0，c0. 要证(a1) 2(b1)(c1)， 只 需 证a 1（b1）（c1） ，因（b1）（c1） （b1）（ c1） 2 ， 只需证 a1 b1c1 2 ， 教育资源 教育资源 即证 2abc. 由于 2ab 2 c c 2
9、 b ， 故只需证 b 2 c c 2 b bc， 只需证 b 3c3(bc)(b2c2bc)(bc)bc， 即证 b 2c2bcbc，即证(bc)20. 因为上式显然成立 ，所以(a1) 2(b1)(c1). 综合法推理清晰 ，易于书写 ，分析法从结论入手 ，易于寻找解题思路 ，在实 际证明命题时 ，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法 ，其结构特 点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去 转化条件 ，得到中间结论 P；若由 P 可推出 Q，即可得证 . 再练一题 3.已知 ABC 的三个内角 A， B， C 成等差数列，求证： 1 ab 1 bc
10、3 abc. 【证明】要证 1 ab 1 bc 3 abc ， 即证 abc ab abc bc 3， 即证 c ab a bc1， 只需证 c(bc)a(ab)(ab)(bc)， 只需证 c 2a2acb2. A，B，C 成等差数列 ， 2BAC， 又 ABC180 ， B60 . 教育资源 教育资源 c 2a2b22accos B， c 2a2b2ac， c 2a2acb2， 1 ab 1 bc 3 abc成立. 构建 体系 1. 要证明2723，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是() A.综合法B.分析法 C.比较法D.归纳法 【解析】由分析法和综合法定义可知选B. 【答案】B 2.
11、已知 a0，b0，且 ab2，则() A.a1 2 B.ab 1 2 C.a 2b22 D.a 2b23 【解析】ab22 ab， ab1. a 2b242ab， a2b22. 【答案】C 3.3a 3 b0 B.ab0 且 ab C.ab0 且 abD.ab(ba)0 【解析】 3 a 3 b 3 ab? ( 3 a 3 b) 3( 3 ab) 3 ? ab3 3 a 2b 33ab 2ab?3 ab 23 a 2b ? ab2a2b? ab(ba)0，b0，c0，若 abc1，则 1 a 1 b 1 c的最小值为 _. 【导学号： 94210015】 【解析】因为 abc1，且 a0，b0
12、，c0， 所以 1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c 3b a a b c b b c a c c a 32 b a a b2 c a a c2 c b b c 369. 当且仅当 abc 时等号成立 . 【答案】9 5.已知 a，b，cR 且不全相等，求证： a 2b2c2abbcca. 【证明】法一：(分析法 ) 要证 a 2b2c2abbcca， 只需证 2(a 2b2c2)2(abbcca)， 只需证 (a 2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca)0， 只需证 (ab) 2(bc)2(ca)20， 因为 a，b，c R， 所以(ab) 20，(bc)20，(ca)20. 又因为 a，b，c 不全相等 ， 教育资源 教育资源 所以(ab) 2(bc)2(ca)20 成立. 所以原不等式 a 2b2c2abbcca 成立. 法二： (综合法 ) 因为 a，b，c R， 所以(ab) 20，(bc)20，(ca)20. 又因为 a，b，c 不全相等 ， 所以(ab) 2(bc)2(ca)20， 所以(a 2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca)0， 所以 2(a 2b2c2)2(abbcca)， 所以 a 2b2c2abbcca. 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
