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1、第十三讲周期性问题 之前已经见过“找规律”这个题目，学习了如何发现图形、数表和数列的变 化规律。这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。什么是周期性变化规 律呢？比如， 一年有春夏秋冬四季， 百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的 夏季过后就是秋天， 果实累累的秋季过后就是冬天， 白雪皑皑的冬季过后又到了 春天。年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化 ，这就是周期性变化规律。 再比如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，是按照 0，1，2 三个数重复 出现的，这也是周期性变化问题。 下面，我们通过一些例题作进一步讲解。 一、例题与方法指导 例 1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照
2、5 盏红灯、再接 4 盏蓝灯、再接 3 盏黄灯，然后又是5 盏红灯、 4 盏蓝灯、 3 盏黄灯、这样排下去。问： （1）第 100 盏灯是什么颜色？ （2）前 150 盏彩灯中有多少盏蓝灯？ 思路导航： 这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4 蓝、3 黄，每 12盏灯一个周期循 环出现。 （1）1001284，所以第 100 盏灯是第 9 个周期的第 4 盏灯，是红灯。 （2）15012=126，前 150 盏灯共有 12 个周期零 6 盏灯，12个周期中 有蓝灯 41248（盏） ，最后的 6 盏灯中有 1 盏蓝灯，所以共有蓝灯481=49 （盏） 。 例 2 有一 串数，任何相邻的四个数之
3、和都等于25。已知第 1 个数是 3，第 6 个数是 6， 第 11 个数是 7。 问： 这串数中第 24 个数是几？前 77 个数的和是多少？ 思路导航： 因为第 1，2，3，4 个数的和等于第 2，3，4，5 个数的和，所以第1 个数与 第 5 个数相同。进一步可推知，第1，5，9，13，个数都相同。 同理，第 2，6，10，14，个数都相同，第3，7，11，15，个数都相同， 第 4，8，12，16个数都相同。 也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以，第 2 个数 等于第 6 个数，是 6；第 3 个数等于第 11 个数，是 7。前三个数依次是 3，6，7， 第四个数是
4、 25-（3+6+7）=9。 这串数按照 3，6，7，9 的顺序循环出现。 第 24 个数与第 4 个数相同， 是 9。 由 77491 知，前 77 个数是 19个周期零 1 个数，其和为 2519+3=478 。 例 3 下面这串数的规律是： 从第 3 个数起，每个数都是它前面两个数之和的 个位数。问：这串数中第88个数是几？ 628088640448 来源 :Z*xx*k.Com 思 路导航： 这串数看起来没有什么规律， 但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个 相邻数字相同， 那么根据这串数的构成规律， 这两个相邻数字后面的数字必然与 前面那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周
5、期性变化。 我们试着将 这串数再多写出几位： 当写出第 21，22 位（竖线右面的两位）时就会发现，它们与第1，2 位数相 同，所以这串数按每20 个数一个周期循环出现。由8820=48 知，第 88 个数与第 8 个数相同，所以第88 个数是 4。 从例 3 看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。 例 4 在下面的一串数中， 从第五个数起， 每个数都是它前面四个数之和的个 位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？ 来源 :Z_xx_k.Com 135761939237134 思路导航： 无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法。按照例3 的方法找到一周
6、期，因为这个周期很长，所以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现， 这串数的前四个数都是奇数， 按照“每个数都是它前面四个数之和的个位数字”， 如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数依次写出来，得到 奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇 可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的，永远不会出 现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000” 。 二、例题与方法指导 1. A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1 个球。第 1 个小朋友找到 放球最少的盒子， 然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第 2 个小朋友也 找到放球最少的盒子， 然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子当
7、100 位小朋友放完后， A，B，C ，D四个盒子中各放有几个球？ 分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C ，D四个盒子中的球数如 下表： 可以看出，第 6 人放过后与第 2 人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从 第 2 人放过后，每经过4 人，四个盒子中球的情况重复出现一次。 来源 : 学科网 （100-1）4243， 所以第 100 次后的情况与第 4 次（314）后的情况相同， A，B，C，D盒 中依次有 4，6，3，5 个球。 2. 有一串很长的珠子，它是按照5 颗红珠、 3 颗白珠、 4 颗黄珠、 2 颗绿珠 的顺序重复排列的。 问：第 100颗珠子是什么颜色？前200
8、颗珠子中有多少颗红 珠？ 来源 : 学科网 3. 将 1，2，3，4，除以 3的余数依次排列起来，得到一个数列。求这个 数列前 100 个数的和。 4. 有一串数，前两个数是9 和 7，从第三个数起，每个数是它前面两个数 乘积的个位数。这串数中第100 个数是几？前 100 个数之和是多少？ 三、拓展提升 1. 有一列数，第一个数是 6，以后每一个数都是它前面一个数与7 的和的个 位数。这列数中第88 个数是几？ 2.小明按 13 报数，小红按 14 报数。两人以同样的速度同时开始报数， 当两人都报了 100 个数时，有多少次两人报的数相同？ 来源: 学科网 ZXXK 3.，B，C，D四个盒子中依次放有9，6，3，0 个小球。第 1 个小朋友找到 放球最多的盒子， 从中拿出 3 个球放到其它盒子中各1个球；第 2 个小朋友也找 到放球最多的盒子， 也从中拿出 3 个球放到其它盒子中各1 个球当 100 个小 朋友放完后， A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？
