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1、第七章 初等模型如果研究的问题或对象的机理比较简单，通常用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，基本上就可以用初等数学的方法构造和求解模型。本章通过椅子放稳、学生会代表名额分配、汽车的安全刹车距离、生猪体重的估计、核军备竞赛、使用新材料与新方法的房屋节能效果等问题，介绍用初等数学构造和求解模型的方法与技巧。需要说明的是，一个数学模型的好差在于其应用效果，不在于其使用了多么高深的数学方法与技巧。也就是说，一个问题可用初等数学构造和求解模型，也可用高等数学构造和求解模型，如果应用效果差不多，那么前者是好的。7.1 椅子能在不平的地面上放稳吗一、问题的提出这个问题来自日常生活中一件普通的事实
2、：把椅子往不平的地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。请用数学模型证明为什么能放稳。二、问题分析此问题与数学有关吗？由常识我们知道，椅子是不能在台阶上放稳的。同样地，如果地面某处凹凸太厉害，以至于凹凸的幅度超过椅腿的长度，椅子也不能放稳。所以椅子能在地面上放稳是指在相对平坦的连续地面上放稳。通常椅子有四条一样长的腿，四脚共圆；椅脚一般加工成较小的“面”， 椅子在地面上放稳是四脚同时着地，而椅脚着地只要椅脚面上有一点与地面上一点接触就可以了。移动椅子有三种方法：旋转；平移；平移加旋转。其中旋转要设1个变量；平移要2个；平移加旋转要3个。为了简
3、单起见采用旋转法。如何旋转？由于四脚共圆，绕这个圆心旋转。三、假设 1、四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚共圆； 2、地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面； 3、地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。四、建立模型 以椅子移动前四脚所在的平面建立平面直角坐标系（见图7.1.1），使得四脚A、B、C、D共圆的圆心与坐标原点重合。用表示旋转，则四脚与地面的距离随的变化而变化，即四脚与地面的距离都是关于的一元函数，分别用、表示旋转后脚A、脚B、脚C、脚D与地面的距离。由假设2可知，、均为的连续函数。这时问题转化为：求，使。这是一个数学问题，如何解决？很容易让我们想到用连续函数的基本性
4、质解决，但面对4个函数不好直接证明，只能寻求转化。把4个函数变成2个函数，可以通过两对角线分别组合；对边分别组合；也可以一脚成一个函数，另三脚组合成一个函数。因此一般模型这样建立：对于四脚与地面距离有4个函数，旋转前不着地的几脚与地面距离之和记为， 其它脚与地面距离之和记为。显然 , 是连续函数；对任意q，且，。证明：存在，使。图7.1.1 椅子四脚坐标图五、模型求解将椅子旋转，使。令，由, 的连续性知连续，而且和。 如果，那么，即椅子旋转后四脚同时着地。如果，那么。据连续函数的基本性质, 必存在, 使使, 即使。因为, 所以，即椅子从初始位置旋转后四脚同时着地。六、评注 如果四脚呈正方形，通
5、过两对角线分别组合构造 , ；将椅子旋转而证明。如果四脚呈矩形，通过两对边分别组合构造 , ；将椅子旋转而证明。7.2 学生会代表名额分配一、问题的提出某高校一学院有3个系共1000名学生，其中甲系有500名，乙系300名，丙系200名。若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10，6，4个席位。丙系30名学生提出转系，经批准各有15名学生分别转到甲系和乙系。按学生人数的比例分配，三系分别应占有10.3，6.3，3.4个席位。但席位数只能是自然数！于是有比例加惯例的分配法：将取得整数的19席以10，6，3分配完毕后，三系同意剩下的一席分给比例中
6、小数最大的丙系，于是三系分别占有10，6，4席。因为有20席的代表会议在表决提案时可能出现10：10的局面，会议决定下一届增加1席。他们按照比例加惯例的分配法重新分配席位，三系分别占有11，7，3席。显然这个对丙系太不公平了，总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。上述例子说明我们要找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配方法。二、问题分析我们先讨论A，B两方公平席位的情况。设两方人数分别 为和，占有席位分别是和，则两方每个席位代表的人数分别为和，而且我们知道显然仅当时席位的分配才是公平的，但是因为人数和席位都是整数，所以通常是和并不相等，这时的席位分配不公平，并且数值较大的一方吃亏，或
7、者说对这方不公平。三、建立公平分配席位的指标不妨假设，则不公平程度可用数值描述不公平，它衡量是不公平的绝对程度，常常无法区分两种程度明显不同的不公平情况。为了改进上述绝对标准，自然想到用相对标准，即把定义为对A的相对不公平度。同样可定义为对B的相对不公平度。建立了衡量不公平程度的数量指标后，制定席位分配的方案的原则是使它们尽可能小。四、公平分配席位的方法 假设A，B两方已占有和席，利用相对不公平度和讨论，当总席位增加一席时，应该分配给A还是B。 不失一般性可设，当再分配一席时，关于的不等式可能有以下3种情况： （1），这说明即使A方增加一席，仍然对A不公平，所以这一席显然应该分给A方。 （2）
8、，说明当A方增加一席时将变得对B不公平，这时我们可计算出对B的相对不公平度为 （3），即当B方增加一席时对A不公平，这时我们可以计算出对A的相对不公平度为 由于公平席位的原则是使得相对不公平度尽量地小，如果，即，那么这1席分给A方；如果，即，那么这1席分给B方。记，则增加的1席应分给值较大的一方。此方法可以推广到有方分配席位的情况：设第方人数为，已占有个席位，。当总席位增加1席时，计算，应将这一席分给Q值最大的一方。如果算到两个或两个以上的Q值同时达到最大值时该怎么办呢？这时只能用抽签的方法解决了。五、问题的解决回到某高校一学院学生代表会议21个席位的分配问题，前19个席位应是10，6，3的分
9、配方案，接下来的工作就是用Q值法分配第20、21席了。对于第20席，由、知这一席应该分给甲系。对于第21席，由、知这一席应该分给丙系。注：用Q值法从第1个席位一直算到第21个席位后，分配结果仍是甲、乙、丙三系的席位分别为11，6，4。这样，21个席位的分配结果是三系分别占有11，6，4席，丙系保住了险些丧失的一席。六、评注 Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 方人数分别为, 记总人数为, 待分配的总席位为。设理想情况下方分配的席位分别为, (自然应有，并且)，记，则席位分配的理想化准则（1），；（2），。“比例加惯例”满足原则（1）而不满足原则（2）；Q值法满足原则（2），不满足原则（1）
10、。那么到底有没有一种方法能同时满足两个原则呢？令人遗憾的是，没有找到能同时满足这两个法则的分配方法。七、问题 设席位数分别为，计算各方一名代表代表的人数，从每一方一名代表代表的人数尽可能接近来分配代表席位。请用这种方法(DHondt)对本节开始的某高校一学院学生代表会议的席位进行分配，并说明这种方法满足原则（2）而不满足原则（1）。如果你学习了概率论，能否从数学期望和方差的角度提出一种分配方法？7. 3 汽车的安全刹车距离一、问题的提出 美国某些汽车司机培训课程中的驾驶规则：在正常驾驶条件下, 车速每增加10英里/小时，后车与前车的距离应增加一个车身长度。我们称为“车身规则”。 实现这个规则的
11、简便方法是“2秒法则” ：后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。 需要解决的问题：“2秒法则”与“车身规则”是否一样；通过建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。二、问题分析常识：刹车距离与车速有关。“10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺( 9米)”大于“车身的平均长度15英尺(4.6米)”。由此可见，“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同。刹车距离由反应距离和制动距离构成。而反应距离受司机的反应时间及汽车速度影响。每个司机的大脑反应状况不同，不同汽车的制动系统灵活性有差异，为了确定反应距离，需要在汽车制动系统灵活的条件下假定司机的反应
12、时间为常数（可以通过若干司机反应时间的平均值表示）。制动距离由汽车制动器作用力、车重、车速、道路、气候等确定，最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。由于各汽车的车重、车速不尽相同，汽车行驶的道路以及气候也有差异，为了确定制动距离，需要假定道路、气候对制动距离没有影响。三、假设1、刹车距离等于反应距离与制动距离之和；2、道路、气候对制动距离没有影响，汽车制动系统灵活，汽车最大制动力与汽车质量成正比（比例系数为正常数），使汽车作匀减速运动；3、司机的反应时间为常数，反应距离与汽车速度成正比。四、建立模型用表示刹车前的汽车速度（大小）。由假设3，有 （7.3.1）刹车时使用最大制动力，作功等
13、于汽车动能的改变，即 （7.3.2）由假设2有 （7.3.3）把式（7.3.3）代入式（7.3.2），并记，有 （7.3.4）结合式（7.3.1）与式（7.3.4），有 （7.3.5） 式（7.3.5）即是所建立的模型，反映了刹车距离与汽车速度的关系。五、参数的估计反应时间的经验估计值为0.75秒，利用交通部门提供的一组实际数据（表7.3.1前三列，第三列括号内的数字为最大实际刹车距离）拟合。表7.3.1实际数据与拟合后的计算数据车速(英里/小时) (英尺/秒)实际刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.8
14、4058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3 使用最小二乘法,编写Mathematica程序： b= 29.32,42-29.3*0.75 ,442,73.5-44*0.75 , 58.72,116-58.7*0.75 ,73.32,173-73.3*0.75 ,882,248-88*0.75 , 102.72,343-102.7*0.75 ,117.32,464-117.3*0.75 ; fp=ListPlotb, PlotStyle-PointSize0.2, RGBColor0,1,0 ft=Fitb,1,x,x gp=Plotft,x,20,120,PlotStyle
