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1、第十一章 反常积分一、单选题（每题2分）1、广义积分=（ ）A、 B、 C、 D、发散2、广义积分=（ ）A、 B、 C、 D、发散3、广义积分=（ ）A、 B、 C、 D、发散4、下列广义积分收敛的是（ ）A、 B、 C、 D、5、下列广义积分发散的是（ ）A、 B、 C、 D、6、下列积分中（ ）是收敛的A、 B、 C、 D、7、下列广义积分发散的是（ ）A、 B、 C、 D、8、（ ）A、 B、 C、 D、9、已知，则（ ）A、 B、 C、 D、10、广义积分（ ）A、 B、 C、 D、11、下列积分中绝对收敛的是（ ）A、 B、 C、 D、12、已知广义积分，则下列答案中正确的是（ ）
2、A、因为在上是奇函数，所以B、=C、=D、发散13、设广义积分收敛，则（ ）A、 B、 C、 D、答案：BCDCB DAABD ADB二、判断题（每题2分）1、 当时，无穷积分条件收敛； （ ）2、当时，无穷积分绝对收敛； （ ）3、若无穷积分收敛，而函数在单调有界，则无穷积分收敛； （ ）4、若收敛，则； （ ）5、若在无界，则发散； （ ）6、若不存在，则发散； （ ）7、若单调， 收敛，则； （ ）8、若收敛，则收敛； （ ）9、若，收敛，则收敛； （ ）10、如果收敛，在上有界，则收敛；（ ）11、若收敛，则收敛； （ ）12、如果绝对收敛，则收敛；（ ）答案： 三、填空题（每题2分）
3、1、若无穷积分收敛，则 ；2、若无穷积分收敛，则时，无穷积分 ；3、设，函数，是其瑕点，且极限，若，则瑕积分 ；4、设，函数，且极限，若，则无穷积分 ；5、若收敛，则无穷积分 ；6、当时，无穷积分 ；7、当时，瑕积分 ；8、若收敛，且存在极限，则 ；9、 ； ；10、设，则常数 ；11、如果广义积分收敛，则 ；12、如果广义积分发散，则 ；答案：1、 2、收敛 3、发散 4、收敛 5、绝对收敛 6、绝对收敛 7、发散 8、 9、； 10、 11、 12、四、计算题（每题5分）1、解：= =2、解：设，则， 有=3、解：= =4、解：=5、解：= =6、解：因为所以 = =7、解：由 得 =8、
4、解：时，时， =故当时，= 时，发散；9、解：=由此求得 10、解：当时，当时， =则 五、证明题（每题5分）1、 证明 证：令，则 = 则有 2、 证明收敛，且 证：=又，而收敛，所以收敛收敛而3、 证明：若在上连续，且收敛，则对任何，有 证：由条件，都存在；再由连续可得4、设收敛，证明：（1）若极限存在，则 （2）若在上为单调函数，则证：（1）设。若，则由极限保号性，当时满足 于是有 而这与收敛相矛盾，故。（2）若在上单调而无界（设为递增而无上界），则，当时，使。类似于（1）的证明，推知，矛盾。所以在上单调而有界，则存在极限。依据已证得的命题（1），5、证明：若收敛，且在上一致连续，则必有
5、。证：由在上一致连续，则（设），当且时，总有， 又因收敛，故对上述，当时，有 现对任何，取 ，且使。此时有 便有 ，这就证得6、证明：若绝对收敛，存在，则必定绝对收敛又若把该为条件收敛，试举出反例说明不一定收敛。证：由可知当充分大时有 从而又有 再由 收敛，根据比较法则便证得收敛。例如对于条件收敛的=和得到 =由于 收敛。而显然是发散的，所以也是发散的无穷积分。7、证明当时，和是等价无穷小量。证：，又因 ，所以收敛，又收敛定义又知 这说明当时，它们是无穷小量；下面再来证明它们是等价无穷小量故结论成立。8、证明：若收敛，则也必收敛.证：由于 =，而收敛，在上单调有界，故由 判别法证得收敛.9、证明：若收敛，为单调函数，则 . 证：不妨设 单调减少。先证当时，。否则 点，使，而时，从而 得出 发散，与收敛矛盾，故为非负的单调函数.由收敛，则，使得当 时，恒有 但是 所以当时，即 或 .当单调增加时，只要考虑，同样可证得 .10、设 且单调减少，证明：与敛散性相同. 证：（1）若，由狄利克雷判别法收敛，于是由 =知 与敛散性相同.(2) 若,则 发散，从而与同时发散.
