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1、第六章 向量代数与空间解析几何习 题 631、已知，求线段的垂直平分面的方程.解：设是所求平面上任一点，据题意有化简得所求方程.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、 一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，则 亦即 从而所求的轨迹方程为.3、 求下列各球面的方程：（1）圆心，半径为； （2）圆心在原点，且经过点；（3）一条直径的两端点是；（4）通过原点与解：（1）所求的球面方程为：（2）由已知，半径，所以球面方程为（3）由已知，球面的球心坐标，球的半径，所以
2、球面方程为：（4）设所求的球面方程为：因该球面经过点，所以 解之得所求的球面方程为.4、将坐标面上的抛物线绕旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程解：(旋转抛物面) .5、将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程解： 绕轴旋转得 绕轴旋转得.6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）；（2）；（3） ；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中
3、分别表示什么图形？（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；（2）在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；（3）在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）；（2）（3）；（4）解：（1）平面上椭圆绕轴旋转而成；或者 平面上椭圆绕轴旋转而成（2）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者 平面上的双曲线绕轴旋转而成（3）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者 平面上的双曲线绕轴旋转而成（4）平面上的直线绕轴旋转而成或者 平面上
4、的直线绕轴旋转而成.9、 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）与三个坐标平面所围成；（2）及三坐标平面所围成；（3）及在第一卦限所围成；（4）所围.解：（1）平面与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；（2）抛物柱面与平面及三坐标平面所围成；（3）坐标面、及平面、和圆柱面在第一卦限所围成；（4）开口向上的旋转抛物面与开口向下的抛物面所围.作图略.习 题 641、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）；（2）；（3）解：（1）是平面与相交所得的一条直线；（2）上半球面与平面的交线为圆弧；（3）圆柱面与的交线.图形略.2、分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程.解：消去坐标得，为母线平行于轴
5、的柱面；消去坐标得：，为母线平行于轴的柱面.3、求在平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：； .4、试求平面与椭球面相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程化简为：，可知其为平面上的椭圆，半轴分别为，顶点分别为.5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程（1）；（2）解：（1）原曲线方程即：，化为；（2）.6、求螺旋线 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：；.7、指出下列方程所表示的曲线（1） （2）；（3）； （4）； （5）.解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.8、 求曲线在面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲
6、线.解：原曲线即：，是位于平面上的抛物线，在面上的投影曲线为9、 求曲线 在坐标面上的投影.解：（1）消去变量后得在面上的投影为它是中心在原点，半径为的圆周.（2）因为曲线在平面上，所以在面上的投影为线段.（3）同理在面上的投影也为线段.10、 求抛物面与平面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解： 交线方程为，（1）消去得投影（2）消去得投影，（3）消去得投影.习 题 651、写出过点且以为法向量的平面方程.解：平面的点法式方程为.2、求过三点的平面方程.解：设所求平面方程为,将的坐标代入方程，可得，故所求平面方程为.3、求过点且与平面平行的平面方程.解：依题意可取所求平面的法向量为,从而
7、其方程为 即 .4、求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解：平面通过x轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x轴, 即A=0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D=0. 因此可设这平面的方程为By+Cz=0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有-3B-C=0, 或C=-3B . 将其代入所设方程并除以B (B0), 便得所求的平面方程为y-3z=0.5、求过点，且垂直于平面和的平面方程.解： 取法向量所求平面方程为化简得: 6、6 设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程.解： 设所求解 设平面为由平面过点知平由平面过原点知， ，所求平面方程为7、写出下列平面方程
8、：（1）平面；（2）过轴的平面；（3）平行于的平面；（4）在，轴上的截距相等的平面.解：（1）,（2）（为不等于零的常数）,、（3） (为常数), （4） .习 题 661、求下列各直线的方程：（1）通过点和点的直线；（2） 过点且与直线平行的直线.（3）通过点且与三轴分别成的直线；（4）一直线过点，且和轴垂直相交，求其方程.（5）通过点且与两直线和垂直的直线；（6）通过点且与平面垂直的直线.解：（1）所求的直线方程为：即：，亦即.（2）依题意，可取的方向向量为，则直线的方程为.（3）所求直线的方向向量为：，故直线方程为：.（4）因为直线和轴垂直相交, 所以交点为取所求直线方程（5）所求直线的
9、方向向量为：，所以，直线方程为：.（6）所求直线的方向向量为：，所以直线方程为： .2、求直线的点向式方程与参数方程.解 在直线上任取一点,取 解.所求点的坐标为,取直线的方向向量,所以直线的点向式方程为： 令则所求参数方程: 3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）与；（2）与.解：（1）将所给的直线方程化为标准式为： 二直线平行.又点与点（7，2，0）在二直线上，向量平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：，从而平面方程为：，即 .（2）因为，所以两直线不平行，又因为，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为，二
10、直线所决定的平面的方程为：.设两直线的夹角为，则.4、判别下列直线与平面的相关位置：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与.解（1），而，所以，直线与平面平行.（2）,所以，直线与平面相交，且因为，直线与平面垂直.（3）直线的方向向量为：，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点，显然点在也在平面上（因为），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为，直线与平面相交但不垂直.复习题A一 、判断正误:1、 若且，则； ( )解析 =0时，不能判定或例如，有，但2、 若且，则； ( )解析 此结论不一定成立例如，则，但3 、若，则或； ( )解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零4、 (
11、)解析 这是叉积运算规律中的反交换律二、选择题:1 、 当与满足（ D ）时，有； (为常数)； ； 解析 只有当与方向相同时，才有(A)中，夹角不为0，(B)，(C)中，方向可以相同，也可以相反2、下列平面方程中，方程( C )过轴；(A) ； (B) ； (C) ； (D) 解析 平面方程若过轴，则，故选C3 、在空间直角坐标系中，方程所表示的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面解析 对于曲面，垂直于轴的平面截曲面是椭圆，垂直于轴或轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面4、空间曲线在面上的投影
12、方程为( C )； (A)； (B)； (C) ；(D)解析 曲线与平面平行，在面上的投影方程为5 、直线与平面的位置关系是( B )(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为； (D) 夹角为解析 直线的方向向量=2，1，-1，平面的法向量=1，-1，1，=2-1-1=0，所以，直线与平面平行三、填空题:1、若，则 ， 0 ；解 =，=02、与平面垂直的单位向量为 ；解 平面的法向量 =1，-1，2与平面垂直，其单位向量为=，所以，与平面垂直的单位向量为3、过点和且平行于轴的平面方程为 ；解 已知平面平行于轴，则平面方程可设为 ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有 得
13、，即 4、过原点且垂直于平面的直线为；解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 =0，2，-1平行，取直线方向向量=0，2，-1，由于直线过原点，所以直线方程为 5、曲线在平面上的投影曲线方程为 解: 投影柱面为 ，故 为空间曲线在平面上的投影曲线方程四、解答题:1、 已知，计算(a) ； (b) ； (c) ；解: (a) =.(b) ，所以(c) ，所以2、已知向量的始点为，终点为，试求：(1)向量的坐标表示； (2)向量的模；(3)向量的方向余弦； (4)与向量方向一致的单位向量解: (1) ；(2)；(3) 在三个坐标轴上的方向余弦分别为；(4)3、设向量，求与和都垂直的单位向量.解： 令，故与、都垂直的单位向量为.4、向量垂直于向量和，且与的数量积为，求向量解： 垂直于与，故平行于，存在数使 因，故， .5、求满足下列条件的平面方程： (1)过三点，和；(2)过轴且与平面的夹角为解 (1)解1： 用三点式所求平面的方程为，即解2： 用点法式，由题设知，所求平面的法向量为，又因为平面过点，所以所求平面方程为，即解3： 用下面的方法求出所求平面的法向量，再根据点法式公式写出平面方程也可因为，所以解得，于是所求平面方程为，即 （2）因所求平面过轴，故该平面的法向量垂直于轴，在轴上的投影，又平面
