最佳一致逼近多项式课件

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1、1,3.3 最佳一致逼近多项式,3.3.1 基本概念及其理论,设,在 中求多项式,这就是最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题.,使其误差,2,显然 ，,记为 ，,定义7,为 与 在 上的偏差.,若记集合的下确界为,则称之为 在 上的最小偏差.,设,称,其下界为0.,的全体组成一个集合，,（3.1）,（3.2）,3,定义8,（3.3）,则称 是 在 上的最佳一致逼近多项式,定理4,则总存在 ，,这个定理是最佳逼近多项式的存在性定理.,假定,若存在,使得,简称最佳逼近多项式.,若,使,或最小偏差逼近多项式，,4,定义9,若在 上有,就称 是 的偏差点.,若,称 为“正”偏差点.,若,称 为“负”偏差点.

2、,由于函数 在 上连续，,在一个点,所以说 的偏差点总是存在的.,设,因此，至少存,使,5,要证明的是,“负”的偏差点，,这样的点组称为切比雪夫交错点组.,证明,假定在 上有 个点使（3.4）成立，,定理5,即有 个点 ，,在 上至少有 个轮流为“正”、,是 的最佳逼近多项式,的充分必要条件是,使,是 在 上的最佳逼近多项式,只证充分性.,（3.4）,6,用反证法，,若存在 ，,由于,故 也在 个点上轮流取“+”、“-”号.,由连续函数性质，,它在 内有 个零点，但因,是不超过 次的多项式，,不能超过 .,使,所以它的零点个数,一致，,7,这说明假设不对，,故 就是所求最佳逼近多项式.,必要性

3、证明略.,推论1,若 ，,充分性得证.,多项式.,8,证明,且点 是 的切比雪夫交错点组，,定理6,与零的偏差最小，,其偏差为,由于,9,由定理5可知，,即 是与零的偏差最小的多项式.,区间 上 在 中最佳逼近多项式,为,定理得证.,10,由定理6可知，,时，,多项式 与零偏差最小，,求 在 上的最佳2次逼,解,由题意，所求最佳逼近多项式 应满足,当,故,例3,近多项式.,11,就是 在 上的最佳2次逼近多项式.,12,3.3.2 最佳一次逼近多项式,定理5给出了 的特性，这里讨论具体求法.,先讨论 的情形.,假定,且 在 内不变号，,求最佳一次逼近多项式 .,根据定理5可知,至少有3个点,我

4、们要,使,13,即 .,由于 在 上不变号，,故 单调，,在 内只有一个零点，记为 ，,另外两个偏差点必是区间端点，,即 且,由此得到,于是,满足,14,解出,代入（3.5）得,（3.5）,（3.6）,这就得到最佳一次逼近多项式 ，其几何意义如图3-3.,（3.7）,15,直线 与弦MN平行，且通过MQ的中点D，,图3-3,其方程为,16,由（3.6）可算出,例4,求 在 上的最佳一次逼近多项式.,解,又 ,由（3.7），得,故,解得,17,即,（3.8）,误差限为,于是得 的最佳一次逼近多项式为,18,在（3.8）中若令,则可得一个求根式的公式,19,3.4 最佳平方逼近,20,3.4.1

5、最佳平方逼近及其计算,对 及 中的一个子集,若存在 ，使,（4.1）,则称 是 在子集 中的最佳平方逼近 函数.,21,由（4.1）可知该问题等价于求多元函数,（4.2）,的最小值.,是关于 的二次函数，,即,利用多元函数求极值的必要条件,22,于是有,（4.3）,这个关于 的线性方程组，称为法方程.,由于 线性无关，故,于是方程组（4.3）有唯一解,从而得到,23,即对任何,下面证明 满足（4.1），,（4.4）,为此只要考虑,有,24,由于 的系数 是方程（4.3）的解，,从而上式第二个积分为0，,故（4.4）成立.,这就证明了 是 在 中的最佳平方逼近函数.,故,于是,25,若令,若取,

6、中求 次最佳平方逼近多项式,（4.5）,则平方误差为,则要在,26,此时,若用 表示 对应的矩阵，,（4.6）,称为希尔伯特(Hilbert)矩阵.,即,27,记,（4.7）,的解 即为所求.,则,28,例5,设,求 上的一次最佳平方,解,得方程组,逼近多项式.,利用（4.7），得,29,解之,故,平方误差,最大误差,30,3.4.2 用正交函数族作最佳平方逼近,设,若 是满足条件(2.2)的正交函数族，,而,故法方程（4.3）的系数矩阵,则,31,为非奇异对角阵，,（4.8）,于是 在 中的最佳平方逼近函数为,（4.9）,且方程（4.3）的解为,32,由（4.5）可得均方误差为,（4.10）

7、,由此可得贝塞尔(Bessel)不等式,（4.11）,33,若 ，,按正交函数族 展开，,（4.12）,称这个级数为 的广义傅里叶(Foureir)级数，,讨论特殊情况，设 是正交多 项式， 可由 正交化得到，则有下面的收敛定理.,得级数,系数,按（4.8）计算，,系数,称为广义傅里叶系数.,它是傅里叶级数的直接推广.,34,定理7,设,考虑函数,（4.13）,的最佳平方逼近多项式，,是由（4.9）给出的,其中,是正交多项式族，,则有,展开，,由(4.8)，(4.9)可得,按勒让德多项式,35,根据均方误差公式(4.10)，平方误差为,（4.15）,由定理7可得,其中,（4.14）,36,如果

8、 满足光滑性条件,还有 一致收敛于 的结论.,公式(2.6)给出了首项系数为1的勒让德多项式 ，,定理8,则对任意 和,当 充分大时有,设,由(4.13)给出，,它具有以下性质.,37,证明,设 是任意一个最高次项系数为1的 次,定理9,勒让德多项式 在 上与零的平方误差最小.,在所有最高次项系数为1的 次多项式中，,多项式，,它可表示为,38,于是,当且仅当 时等号才成立，,即当,时平方误差最小.,39,例6,求 在 上的三次最佳平方逼近多项式.,解,先计算,40,由傅里叶系数计算公式(4.14) 得,代入(4.13) 得三次最佳平方逼近多项式,41,最大误差,如果 求 上的最佳平方逼近多项

9、式，,均方误差,做变换,42,于是,在 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式,从而得到区间 上的最佳平方逼近多项式,43,直接通过解法方程得到 中的最佳平方逼近多项式是一致 的.,由于勒让德多项式 是在区间 上由,只是当 较大时法方程出现病态，计算误差较大，不能 使用，而用勒让德展开不用解线性方程组，不存在病态问题， 因此通常都用这种方法求最佳平方逼近多项式.,正交化得到的，因此利用函数的勒让德展,开部分和得到最佳平方逼近多项式与由,44,3.5 曲线拟合的最小二乘法,3.5.1 最小二乘法及其计算,在函数的最佳平方逼近中 如果 只在一组离散点集 上给定，这就是科 学实验中经常见到的实验数据

10、 的 曲线拟合.,45,记误差,则 的各分量分别为 个数据点上的误差.,问题为利用 求出一个函数,与所给数据 拟合.,46,设 是 上线性无关函数族，,在 中找一函数 ，,使误差平方和,（5.1）,这里,（5.2）,47,这个问题称为最小二乘逼近，几何上称为曲线拟合的 最小二乘法.,用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定 的形式.,确定 的形式问题不仅是数学问题, 还与问题的 实际背景有关.,通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图,确定 的形式, 然后通过实际计算选出较好的结果.,48,为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中 考虑加权平方和,（5.3）,这里 是 上的权函数，它表示

11、不同点 处的数据比重不同.,就是 次多项式.,若 是 次多项式，,的一般表达式为（5.2）表示的线性形式.,49,这样，最小二乘问题就转化为求多元函数,（5.4）,的极小点 问题.,用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是在形如(5.2)的,中求一函数 ，,由求多元函数极值的必要条件，有,使（5.3）取得最小.,50,若记,（5.5）,上式可改写为,（5.6）,这方程称为法方程，,可写成矩阵形式,51,其中,（5.7）,而 在 上线性无关不能推出,要使法方程(5.6)有唯一解，就要求矩阵 非奇异，,矩阵 非奇异，必须加上另外的条件.,52,哈尔条件，则法方程(5.6) 的系数矩阵(5.7) 非奇异，

12、,显然 在任意 个点上满足哈尔条件.,如果 在 上满足,函数 的最小二乘解为,定义10,设 的任意线,则称 在点集,性组合在点集 上至多只有 个,不同的零点，,上满足哈尔(Haar)条件.,方程(5.6)存在唯一的解,从而得到,于是,53,这样得到的 ，,对任何形如(5.2)的 ，,都有,故 确是所求最小二乘解.,54,一般可取 ，但这样做当 时，,通常对 的简单情形都可通过求法方程（5.6）得到,给定 的离散数据 ，,有时根据给定数据图形，其拟合函数 表面上,例如， ，,求解法方程（5.6）将出现系数矩阵 为病态的问题，,不是（5.2）的形式，但通过变换仍可化为线性模型.,若两边取对数得,5

13、5,例7,这样就变成了形如（5.2）的线性模型 .,此时，若令,则,已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线.,56,解,从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线，,将所给数据在坐标纸上标出，见图3-4.,图3-4,57,令,这里,故,58,解得,由（5.6）得方程组,于是所求拟合曲线为,59,关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序,其中输入参数 为要拟合的数据， 为拟合多项式的次数，,输出参数 为拟合多项式的系数.,利用下面的程序，可在Matlab中完成上例的多项式拟合.,60,x=1 1 2 3 3 3 4 5; f=4 4 4.5 6 6 6 8 8.5; aa=poly

14、(x,f,1); y=polyval(aa,x); plot(x,f,r+,x,y,k) xlabel(x); ylabel(y); gtext(y=s1(x)）,61,结果如下：,62,例8,设数据 由表3-1给出，,用最小二乘法确定 及 .,解,表中第4行为,通过描点可以看出数学模型为,它不是线性形式.,用给定数据描图可确定拟合曲线方程为,两边取对数得,63,若令,先将 转化为,为确定 ，,根据最小二乘法，取,则得,数据表见表3-1.,得,64,故有法方程,解得,于是得最小二乘拟合曲线为,65,利用下面的程序，可在Matlab中完成曲线拟合.,x=1.00 1.25 1.50 1.75 2.00; y=5.10 5.79 6.53 7.45 8.46; y1=log(y); aa=poly(x,y1,1); a=aa(1); b=exp(aa(2); y2=b*exp(a*x); plot(x,y,r+,x,y2,k) xlabel(x); ylabel(y); gtext(y=a*exp(bx);,66,结果如下：,