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1、不等式不等式是高考必考的热点内容，考查的广度和深度是其他章节无法比拟的，任何一份高考试卷中，涉及到不等式内容的考点所占比例超过70%。一方面，考查不等式的性质、解法、证明以及实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个部分都存在着密切的联系。因此，对于不等式的学习，应达到多层面，多角度熟练掌握的程度。第一节 基本不等式1.若a,bR,则a2+b22ab，等号成立的条件：a=b；证明：当a,bR时，(a-b)20,展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件。2.基本不等式的变形（包括2个方面）若a,b0的实数，则a+b2ab, 等号成立的条件：a=b；若a,bR,ab0则ba+ab2, 等号成立的条件
2、：a=b；若xR,x0则x+1x2, 等号成立的条件：x=1；(上述3个不等式，考虑如何证明？)注：上述的a,b不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达式或函数的解析式。若a,bR,则a2+b2(a+b)222ab;等号成立的条件：a=b （注意：不等式的右边是(a+b)2）例题1.已知x,y0,+,且4x+3y=1，求x+y的最小值及xy的最小值。解：x+y=x+y4x+3y=7+4yx+3xy7+24yx3xy=7+43，x+y的最小值为：7+43；求(xy)min有两种方法，其一是配式，1xy=1124x3y112(4x+3y2)2=148，(xy)max=48；另一种方法是，由4x+3y=
3、1xy=4y+3x23x4y=43xy,x,y0,+xy43，(xy)min=48。例题2. 已知a1-b2+b1-a2=1,求证：a2+b2=1。证明：由基本不等式得：a1-b2a2+(1-b2)22=a2+1-b22这里等号成立的条件是，a=1-b2； 同理，b1-a2b2+1-a22这里等号成立的条件是，b=1-a2，a1-b2+b1-a21 (*)而条件是a1-b2+b1-a2=1,即对于不等式(*)等号成立，即b=1-a2且a=1-b2即a2+b2=1。注：本题把等号成立的条件，作为求证的目标，比较新颖。例题3.已知x,yR,满足x+y=1,求(x+1x)2+(y+1y)2的最小值。
4、解：(x+1x)2+(y+1y)2=x2+y2+x2+y2x2y2+4=x2+y21+1x2y2+4,这里x2+y2(x+y)22=12, xy(x+y)24=141x2y216(x+1x)2+(y+1y)2121+16+4=252.注：解答本题的关键是，如何运用好x+y=1，两次使用了基本不等式，但不矛盾。例题4. 求y=x+3-x的最大值。解：函数的定义域为x0,3,可以用其它的方法来解，比如用两边平方转化成二次函数求极值等。但由于x与3-x的两式平方和为常数3，故应用基本不等式的变形公式简单些。(x+3-x)22(x)2+(3-x)2=6x+3-x6，当且仅当x=3-xx=320,3时成
5、立，故ymax=6。例题5. 已知ab0,则a2+16b(a-b)的最小值为（ ）。解：a2+16b(a-b)a2+16(b+a-b2)2=a2+64a216,当且仅当a=22,b=2等号成立，a2+16b(a-b)的最小值为16.注：这里要求2元表达式的a2+16b(a-b)的最值，不能直接整体应用基本不等式（即不能直接整体消去a、b）而且也没有给出条件等式（即不可能代入消元）,因此，对局部b(a-b)用基本不等式的变形公式进行处理。例题6.若二次函数fx=ax2-4x+c的值域为0,+),则ca2+4+ac2+4的最小值为（ ）。解：由题意得a0,=16-4ac=0,即ac=4,c0, 则
6、ca2+4+ac2+4=ca2+ac+ac2+ac=a2+c2ac(a+c)(a+c)22ac(a+c)=a+c2ac1ac=12，当且仅当a=c=2时，等号成立，所以ca2+4+ac2+4的最小值为12。注：本题也可用消元法，由=16-4ac=0消去a或c，比较麻烦。例题7.已知a,b,c0,且a2+2ab+2ac+4bc=9,则a+b+c的最小值为 3 。例题8.已知a,b,c0,且a+b+c=1，则3a+1+3b+1+3c+1的最大值为（ ）。解：(3a+1+3b+1+3c+1)2=6+23a+13b+1+23b+13c+1+23c+13a+1 6+23a+1+3b+1+3c+1=18,
7、当且仅当a=b=c=13等号成立，所求的最大值为18。例题9.已知函数fx=( xa-1)2+( bx-1)2的定义域是a,b,其中a,bR+且ab，(1)求fx的最小值；(2)若x11,s,x2s,4其中1s0,l1与函数y=log2x的图象从左至右相交于A,B,l2与函数y=log2x的图象从左至右相交于C,D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，ba的最小值为（ ）。解：在同一坐标系中作出y=m, y=82m+1m0,y=log2x图象，令log2x=m,得xA=2-m,xB=2m;令log2x=82m+1得xC=2-82m+1,xD=282m+1,a=xA-xC
8、=2-m-2-82m+1b=xD-xB=282m+1-2m,故ba=282m+1+m由82m+1+m=122m+1+162m+1-1272,当且仅当2m+1=162m+1，即m=32取等号，故(ba)min=72。注：本题经过巧妙的”伪装”,将基本不等式融入到函数中，将文字语言转化为符号语言，实现基本不等式模型的构建，对学生的运算能力和思维水平提出了很高要求，具有较好的区分度。例题11. 若平面向量a,b满足2a-b3，则ab的最小值是（ ）。解：由2a-b3，两边平方，得4a2+b29+4ab，由基本不等式得：4a2+b24ab(当且仅当2a=b等号成立)。设为a,b夹角为(0,),则当2时
9、，abab(当且仅当=0，等号成立)，因此9+4ab4a2+b24ab4ab(这里只能取-号)，即ab-98。注：本题将基本不等式与向量相结合，通过将向量的模平方，借助基本不等式和斜率数量积的性质，建立关于ab的不等式。此题视角独特，构思精心。例题12. 函数fx=acosax+(a0)图像上两相邻的最低点与最高点之间的最小值是（ ）。解：如图，设函数y=fx图像上两相邻点中最高点为A,最低点为B且过A点平行与x轴的直线与过B点垂直于x轴的直线相交于C,则AC=T2=a,BC=2a,故AB2=(2a)2+(a)24(当且仅当a=2a,即a=22等号成立)，即AB2，故AB的最小值是：2。注：本
10、题将基本不等式渗透到三角函数中，关键是运用三角函数的周期、振幅，合理表示出相邻的最低点与最高点的距离。此题情景新颖，自然贴切，这种不拘题型约束的命题方式是高考的一大亮点。例题13. 设an是等比数列，公比q=2，Sn为an的前n项和，记Tn=17Sn-S2nan+1。记Tn0为数列Tn的最大项，则n0=( ).解：由题意，Tn=17a11-qn1-q-a1(1-q2n)1-qa1qn=q2n-17qn+161-qqn,令t=qn0,则Tn=t2-17t+161-2t=12-1-t+16t+1792-1当且仅当t=16t，即t=4等号成立。故Tn0=92-1=9(2+1)，此时n0=4。注：本题
11、将基本不等式嵌入数列解题中，运用数列的基本量及性质将条件转化为关于n的代数式，通过换元后转化为基本不等式模型。例题14. 一个四面体的一条长为x，其余所有棱长均为1，则此四面体体积V的最大值是（ ）。解：由题意得：Vx=112x3-x2,x0,3,则Vx=112x2(3-x2)3-x2+x22=18(当且仅当3-x2=x2，即x=62等号成立)，故V的最大值是18。注：本题把基本不等式与立体几何的相关知识进行交汇，如果学生对空间图形有较深刻的认识，可以准确建立V(x)的函数关系式以后求解，使问题的综合性进一步加强，充分体现出数学试题的多变性。例题15. 平面直角坐标系xoy中，已知点A(0，1
12、),B点在直线y=-3上，M点满足MBMB，MAAB=MBBA,点M的轨迹为切线C,(1) 求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在得P处的切线，求O点到l的距离的最小值。解：(1)y=14x2-2过程略2设点Px0,y0为曲线C上一点，y=12x,所以l的斜率为12x0,故l的方程为y-y0=12x0x-x0,即x0x-2y+2y0-x02=0.则O点到l的距离d=2y0-x02x02+4,又y0=14x02-2,d=2y0-x02x02+4=12(x02+4+4x02+4)2(当且仅当x0=0等号成立)，O点到l的距离的最小值为2.第二节 “对勾”函数的图象、性质及应用“对勾”函数y=x
13、+1x与基本不等式有着密切的联系，其图像如右图，y=x与x=0是函数图像的两条渐近线;当x0时,y=x+1x2,当且仅当x=1等号成立此结论可由基本不等式推导，即点A是函数y=x+1x在x0时的极小值点同时.也是函数增减区间的分点其坐标为1,2; 当x0时，y=x+1x-2,当且仅当x=-1等号成立，即点B是函数y=x+1x在x0)图像上的动点，若点P,A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为（ ）。解：点A(a,a)是直线y=x上的动点，点P,A之间的最短距离为22，即以A为圆心，半径22的动圆与函数y=1x(x0)图像相切时求a的值。依题意可画出草图， 点A在直线上运动时，凭直觉认为，动圆都会与函数y=1x(x0)的图像相切于点C(1,1)，因此不难求出a的两个值为-1或3；而这个答案是错的。事实上，当a0时，两图像的切点位置是与动圆半径大小有关的(如图)，只有半径较小时，才可能相切于C。y=1x(x0)(x-a)2+(y-a)2=(22)2(x-a)2+(1x-a)2=(2
