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1、28.1 锐角三角函数 (第2课时 余弦和正切),用数学视觉观察世界 用数学思维思考世界,教学目标 1通过探究使学生知道同正弦一样,当直角三角形中的锐角的固定时,它的邻边与斜边.对边与邻边的比也是一个固定值,在此基础上引出余弦、正切的概念。 2理解余弦、正切的概念并能根据余弦、正切的概念正确进行计算。 3.结合正弦的概念得出余弦、正切的概念,培养学生的类比推理能力。 4.引导学生体验数学活动中充满着探索与发现,学会用数学的思维方式思考 、发现总结、验证,并学会应用。 重难点关键 1重点: 正确认识理解余弦、正切的概念,会根据边长求出余弦值、正切值。 2难点与关键: 引导学生类比正弦的概念,正确
2、理解余弦、正切的概念。 教学过程,1、sinA是在直角三角形中定义的,A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形)。 2、sinA是A的函数,是一个比值(数值)。 3、sinA随着锐角A的度数的增大而增大,0 sinA 1 4、sinA的大小只与A的大小有关,而与直角三角形的边长无关。 5、当锐角A确定时,A的对边与斜边的比( sinA)就随之确定。,如图:在Rt ABC中,C90,,sin 30=,sin 45=,当A=30时,,正弦,当A=45时,,如图,在RtABC中,C90,当锐角A确定时,A的对边与斜边的比就随之确定,此时,其他边之间的比是否也确定了呢?为什么?,类似于正弦的情况,我们可
3、以通过任意画RtABC和RtABC,使CC90,AA,,情 境 探 究,得RtABCRt ABC ,可得,因此,类似于正弦的情况,当直角三角形的一个锐角的大小确定时,其任意两边的比值都是惟一确定。,探究,我们把A的邻边与斜边的比叫做A的余弦, 记作cosA,即,把A的对边与邻边的比叫做A的正切, 记作tanA,即,探究,如图:在Rt ABC中,C90,,正弦,余弦,正切,锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。,类似可得B的锐角三角函数,与sinA类似 , 1、 cosA 、 tanA是在直角三角形中定义的,A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形)。 2、 cosA 、 tanA是一个
4、比值(数值)。 3、 cosA 、 tanA的大小只与A的大小有关,而与直角三角形的边长无关。,思考:我们知道 sinA随着锐角A的度数的增大而增大,0 sinA 1,那么 cosA 、 tanA是否有类似特点?,cosA随着锐角A的度数的增大而减小, 0 cosA 1,tanA随着锐角A的度数的增大而增大, tanA0,锐角A的正切值可以等于1吗?可以大于1吗?,例2 如图,在RtABC中,C90, AB10, BC6,求sinA 、 cosA、 tanA 、 tanB的值,解:由勾股定理得,例 题 示 范,10,变题:如图,在RtABC中,C90,BC6,sinA ,求cosA、tanB的
5、值,解:,又,思考:,变题: 如图,在RtABC中,C90,cosA ,求sinA、tanA的值,解:,设AC=15k,则AB=17k,所以,思考:,1、下图中ACB=90,CDAB,垂足为D。指出A和B的对边、邻边。,试一试:,BC,AD,BD,AC,BC,BD,AB,2、如图,在RtABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值( ) A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定,C,3. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值,4. 在RtABC中,如果各边长都扩大2倍,那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化?,5. 如图,在RtABC中
6、,C90,AC8,tanA , 求:sinA、cosB的值,3. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值,练习讲解,解:由勾股定理,4. 在RtABC中,如果各边长都扩大2倍,那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化?,解:设各边长分别为a、b、c,A的三个三角函数分别为,则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c,练习讲解,5. 如图,在RtABC中,C90,AC8,tanA , 求:sinA、cosB的值,解:,练习讲解,例3: 如图,在RtABC中,C90,例 题 示 范,1.求证:sinA=cosB,sinB=cosA,2.求证:,3.求证:,1.证明:,sinA=c
7、osB,同理,sinB=cosA,2.证明:,3.证明:,sin2A+ cos2A=1,sin2A表示( sinA ),即sinA sinA,归纳,1、同角三角函数关系:,若A+ B=90,则,sin2A+ cos2A=1,2、互余角三角函数关系:,sinA=cosB,sinB=cosA,sin2A表示( sinA ), 即sinA sinA,7、如图,已知AB是半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若,练习,那么 ( ),B,变题: 如图,已知AB是半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若AB=10,CD=6,求 .,6、已知sinA=23,求cosA, tanA,8. 如图,在ABC中,A
8、D是BC边上的高,tanB=cosDAC, (1)求证:AC=BD; (2)若 ,BC=12,求AD的长。,9. 如图,在ABC中, C=90度,若 ADC=45度,BD=2DC,求tanB及sinBAD.,在RtABC中,及时总结经验,要养成积累方法和经验的良好习惯!,0sin A 1,0cos A 1,tan A 0,,定义中应该注意的几个问题:,1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的,A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形)。,2、sinA、 cosA、tanA是一个比值(数值)。,3、sinA、 cosA 、tanA的大小只与A的大小有关,而与直角三角形的边长无关。,小
9、结,如图,RtABC中, C=90度,,sin2A+ cos2A=1,课后作业,作业:课本P68习题 28.1 第1题 练习:1、课本P65练习1、2; 2、 课本P68习题 28.1第2、9题 3、新课程课堂同步练习册 对应练习,三角函数符号最早的使用,小资料,sine(正弦)一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦。他是十五世纪西欧数学界的领导 人物,他于1464年完成的著作论各种三角形,1533年开始发行,这是一 本纯三角学的书,使三角学脱离天文学,独立成为一门数学分科。,Cosine(余弦)及cotangent(余切)为英国人根日尔首先使用,最早在1620年伦敦出版的他所著的炮兵测量学中出现。,Cosecant(余割)一词为Secant(正割)及tangent(正切)为丹麦数学家托马斯劳克首创,最早见于 他的圆几何学一书中。 锐梯卡斯所创。最早见于他1596年出版的宫廷乐章一书。,1626年,阿尔贝特格洛德最早推出简写的三角符号:“sin” ,“tan” ,“sec”. 1675年,英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号:“cos”,“cot”,“csc”。便直到1748年,经过数学家欧拉的引用后,才逐渐通用起来。,中考语录,中考是一场跳高比赛,取胜关键在于你起跳时对大地用力多少!,结束寄语,业精于勤而荒于嬉,