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1、 每周一讲高中系列 第七讲 1 阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆 一、一、适用题型适用题型 1、已知两个线段长度之比为定值； 2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等； 3、向量的定比分点公式结合角平分线； 4、线段的倍数转化； 二、二、基本理论基本理论 （一）（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式） 设三角形的三边长分别为cba,，中线长分别为 cba mmm,则： 2 222 2 222 2 222 2 2 1 2 2 1 2 2 1 c b a mcba mbca macb +=+ +=+ +=+ （二）（二）阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆 一般地，平面内到两个定点距离
2、之比为常数(1) 的点的轨迹是圆，此圆被叫做 “阿 波罗尼斯圆” () ()()()则，若设不妨设,1, 0, 0,0 ,0 ,yxPaBPAPaBaA= ()() 2 2 2 2 yaxyax+=+ 化简得： 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 =+ + ayax 轨迹为圆心aa 1 2 0 1 1 22 2 + ，半径为，的圆 （三）（三）阿波罗尼斯圆的性质阿波罗尼斯圆的性质 1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比内分AB和外分AB所得 的两个分点； 2、直线CM平分ACB，直线CN平分ACB的外角； 3、 BN AN BM AM = 4、CNCM 5、内在圆点内；在圆时
3、，点OAOB, 101； 6、若ADAC,是切线，则CD与AO的交点即为B； 7、若点B做圆O的不与CD重合的弦EF， 则AB平分EAF； 三、三、补充说明补充说明 1、关于性质关于性质 1 的证明的证明 定理：定理：BA,为两已知点，为两已知点，QP,分别为线段分别为线段AB的定比为的定比为()1的内、 外分点， 则以的内、 外分点， 则以PQ 为直径的圆为直径的圆O上任意点到上任意点到BA,两点的距离之比等于常数两点的距离之比等于常数。 证明：证明：不妨设1 每周一讲高中系列 第七讲 2 1 , 1 , 1 , 1 , = = + = + = = a BQ a AQ a BP a AP C
4、DPQOBaAB，则垂直的弦的与直径作圆过点设 由相交弦定理及勾股定理得： = = = = +=+= = BC ACa AC a BC aa aBCABAC a BQBPBC 则于是, 1 , 1 11 1 22 2 22 2 2 2222 2 2 2 从而CQP,同时在到BA,两点距离之比等于的曲线（即圆）上，而不共线的三点所确定 的圆是唯一的，因此圆O上任意点到BA,两点距离之比等于常数。 2、关于性质关于性质 6 的补充的补充 若已知圆O及圆O外一点A，则可作出与点A对应的点B，只要过点A作圆O两条切 线，切点分别为DC,，连结CD与AQ即交于点B。反之，可作出与点B对应的点A 四、四、
5、典型例题典型例题 例例 1 （教材例题）（教材例题） 已知一曲线是与两个定点(0,0)O、(3,0)A距离的比为 1 2 的点的轨迹， 求此曲线的方程，并画出曲线。 解：设点( , )M x y是曲线上任意一点，则 22 22 1 2 (3) xy xy + = + ，整理即得到该曲线的方程为： 22 (1)4xy+=。 例例 2 （2003 北京春季文）北京春季文）设)0)(0 ,(),0 ,(ccBcA为两定点，动点 P 到 A 点的距离与 到 B 点的距离的比为定值)0( aa，求 P 点的轨迹. 解：设动点 P 的坐标为（x，y） 由 a ycx ycx aa PB PA = + +
6、= 22 22 )( )( )0( | | ，得 . 化简得. 0)1 ()1 ()1 (2)1 ( 2222222 =+yaacxacxa 当0 1 )1 (2 ,1 22 2 2 2 =+ + +ycx a ac xa得时，整理得 2 2 22 2 2 ) 1 2 () 1 1 ( =+ + a ac yc a a x. 当 a=1 时，化简得 x=0. 所以当1a时，P 点的轨迹是以)0 , 1 1 ( 2 2 c a a + 为圆心，| 1 2 | 2 a ac 为半径的圆； 当 a=1 时，P 点的轨迹为 y 轴. 每周一讲高中系列 第七讲 3 例例 3 （2005 江苏高考数学）江
7、苏高考数学）如图，圆 1 O与圆 2 O的半径都是 1， 4 21 =OO，过动点 P 分别作圆 1 O.圆 2 O的切线 PM、PN（M.N 分别为切 点） ，使得PNPM2= 奎屯 王新敞 新疆试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程 奎屯 王新敞 新疆 解：以 1 O 2 O的中点 O 为原点， 1 O 2 O所在的直线为 x 轴，建立平面直 角坐标系，则 1 O（-2，0） ， 2 O（2，0） ， 由已知PN2PM =，得 22 2PNPM = 奎屯 王新敞 新疆 因为两圆的半径均为 1，所以 ) 1(21 2 2 2 1 =POPO 奎屯 王新敞 新疆 设),(yxP，则 1)
8、2(21)2( 2222 +=+yxyx， 即33)6( 22 =+yx， 所以所求轨迹方程为33)6( 22 =+yx 奎屯 王新敞 新疆（或 0312 22 =+xyx） 例例 4 （2006 四川高考理）四川高考理）已知两定点( 2,0)A 、(1,0)B，如果动点P满足2PAPB=，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ） （A）p （B）4p （C）8p （D）9p 解：B 例例 5 5 （20082008 江苏高考）江苏高考）BCACABABC2, 2=中，则 ABC S的最大值为_. 答案： 3 4 变形：变形：3:5:, 4=CBCAABABC中，则 ABC S的最大值为_.
9、 答案： 2 15 例例 6 6 设点DCBA,依次在同一直线上，2, 3, 6=CDBCAB，已知点P在直线AD外，满足 CPDBPCAPB=，试确定点P的几何位置。 解：先作线段AC关于 2:1 的阿氏圆 1 ，再作线段BD关于 3:2 的阿氏圆 2 ，两圆交点即为点P，同 时该点关于直线AD的对称点也为所求。 长为3，例例 7 （2011 年南通一模）年南通一模） 已知等腰三角形一腰上的中线 则该三角形面积的最大值为_. P O1 O2 M N P O1O2o M N y x 每周一讲高中系列 第七讲 4 每周一讲高中系列 第七讲 5 例例 8 （2013 江苏高考江苏高考）如图，在平面
10、直角坐标系xOy中，点) 3 , 0(A，直线42:= xyl设 圆C的半径为1，圆心在l上 （1）若圆心C也在直线1= xy上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使MOMA2=，求圆心C的横坐标a的取值范围 解： （1）联立： = = 42 1 xy xy ，得圆心为：C(3，2) 设切线为：3+= kxy， d1 1 |233| 2 = + + r k k ，得： 4 3 0=kork 故所求切线为：3 4 3 0+=xyory （2）设点 M(x，y)，由MOMA2=，知： 2222 2)3(yxyx+=+， 化简得：4) 1( 22 =+ yx， 即：点 M
11、的轨迹为以(0，1)为圆心，2 为半径的圆，可记为圆 D 又因为点M在圆C上，故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切 故：1|CD|3，其中 22 ) 32(+=aaCD 解之得：0a12 5 例例 9 圆 21, OO 圆不等且外离，现有一点P，它对于 1 O圆所张的视角与对于 2 O圆所张的视角 相等，试确定点P的几何位置 答案：做圆 21, OO 圆的内、外公切线，分别交连心线 21O O于点BA,，以线段AB为直径的圆 ，就是线段 21O O关于 21:r r的阿氏圆，该圆上任意一点都符合要求。 x y A l O 每周一讲高中系列 第七讲 6 例例 10 在x轴正半轴上是否存在两个定点
12、A、B，使得圆 22 4xy+=上任意一点到A、B两 点的距离之比为常数 1 2 ？如果存在，求出点A、B坐标；如果不存在，请说明理由。 解：假设在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B，使得圆 22 4xy+=上任意一点到A、B 两点的距离之比为常数 1 2 ，设( , )P x y、 1 ( ,0)A x、 2 (,0)B x，其中 21 0 xx。 即 22 1 22 2 ()1 2 () xxy xxy + = + 对满足 22 4xy+=的任何实数对( , )x y恒成立， 整理得： 2222 1221 2 (4)43()xxxxxxy+=+，将 22 4xy+=代入得： 22 1221
13、 2 (4)412xxxxx+=，这个式子对任意 2,2x 恒成立，所以一定有： 12 22 21 40 412 xx xx = = ，因为 21 0 xx，所以解得： 1 1x =、 2 4x =。 所以，在x轴正半轴上是否存在两个定点(1,0)A、(4,0)B，使得圆 22 4xy+=上任意一点到 A、B两点的距离之比为常数 1 2 。 例例 11 铁路线上线段100AB =km，工厂C到铁路的距离20CA=km。现要在A、B之间某 一点D处，向C修一条公路。已知每吨货物运输1km 的铁路费用与公路费用之比为3:5， 为了使原料从供应站B运到工厂C的费用最少，点D应选在何处？ 解：建立如图
14、所示直角坐标系， 先求到定点A、C的距离之比为 3 5 的动 点( , )P x y的轨迹方程， 即： 22 22 3 5 (20) xy xy + = + ， 整 理 即 得 动 点 ( , )P x y的轨迹方程： 22 44909000 xyy+=， 令0y =，得15x =（舍去正值）即得 点( 15,0)D 15,25DADC=。 下面证明此点D即为所求点： 自点B作CD延长线的垂线， 垂足为E， 在线段BA上任取点 1 D， 连接 1 CD， 再作 11 D EBE 于 1 E。 设每吨货物运输1km 的铁路费用为3 (0)k k ， 则每吨货物运输1km 的公路费用为5k， 如果
15、选址在 1 D处，那么总运输费用为 1111 35(35)ykBDkDCBDDC k=+=+， 而 11 BE DBEDCAD 1 11 255 153 BDCD E DAD = 111 35BDE D= 那么总费用 11111 (35)()5()55yBDDC kE DDCkCDDEkkCE=+=+=， D1 E1 E D y X C A B 每周一讲高中系列 第七讲 7 当且仅当点C、 1 D、 1 E共线时取等号 总上所述，点D即为所求点 例例 12 已知点()4 , 3P，点BA,分别为圆()()444 22 =+yx及直线0103= yx上一点， 则APAB2+的最小值为_. 答案：7 例例 13 ABC中，3=BC,AAD为的角平分线，且满足 ACABAD 3 1 3 2 += ，则 ABC S的最大值 为_. 答案：3
