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1、8.2空间几何体的表面积和体积 考纲解读 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 1.空间几何体的表 面积 通过对柱、锥、台体、球的研究,掌握柱、 锥、台体、球的表面积的求法 2017 课标全国,16; 2017 课标全国,15; 2016 课标全国,4; 2016 课标全国,10; 2015 课标,11 2.空间几何体的体 积 1.理解柱、锥、球、台体的体积概念 2.能运用公式求解球、柱体、锥体和台体 的体积,并且熟悉台体与柱体和锥体之间的 转换关系 来源:Zxxk.Com 2017 课标全国,9; 2017 天津,11; 2016 课标全国,19;来 源:Zxxk.Com来源:学科网 2
2、015 课标,6 选择题、 填空题来源:学|科|网 Z|X|X|K来源:学|科|网 Z|X|X|K 分析解读 高考对本节内容的考查形式有两种:一是直接求柱、锥、球、台的表面积或体积,考查化归思想的应用.二是已知某几何体的 表面积或体积求某些元素的量或元素之间的关系.考查形式以选择题和填空题为主,分值约为 5 分,主要以三视图为背景进行考查, 对学生的识图能力和空间想象能力要求较高,所以在备考复习时应加强训练. 五年高考 考点一空间几何体的表面积 1.(2016 课标全国,4,5 分)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为() A.12B.C.8D.4 32 3 答案A 2.
3、(2016 课标全国,10,5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 () A.18+36B.54+18 55 C.90 D.81 答案B 3.(2015 课标,10,5 分)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,AOB=90,C 为该球面上的动点.若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则 球 O 的表面积为() A.36B.64C.144 D.256 答案C 4.(2015 课标,11,5 分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图 如图所示.若该几何体的表面积为 16+20
4、,则 r=() A.1B.2C.4D.8 答案B 5.(2015 福建,9,5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于() A.8+2 B.11+2C.14+2D.15 222 答案B 6.(2017 课标全国,15,5 分)长方体的长,宽,高分别为 3,2,1,其顶点都在球 O 的球面上,则球 O 的表面积为. 答案14 7.(2013 课标全国,15,5 分)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AHHB=12,AB平面 ,H 为垂足, 截球 O 所得截面的面积为 ,则球 O 的表面积为. 答案 9 2 教师用书专用(813) 8.(2015 陕西,5,5 分)一个几何体
5、的三视图如图所示,则该几何体的表面积为() A.3B.4C.2+4 D.3+4 答案D 9.(2014 大纲全国,10,5 分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为() A.B.16C.9D. 81 4 27 4 答案A 10.(2013 重庆,8,5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为() A.180B.200 C.220D.240 答案D 11.(2014 山东,13,5 分)一个六棱锥的体积为 2,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为. 3 答案12 12.(2013 课标全国,15,5 分)已知
6、正四棱锥 O-ABCD 的体积为,底面边长为,则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面积 32 2 3 为. 答案24 13.(2013 陕西,12,5 分)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为. 答案3 考点二空间几何体的体积 1.(2017 课标全国,9,5 分)已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为() A.B.C.D. 3 4 2 4 答案B 2.(2015 课标,6,5 分)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高 五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆
7、为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的 高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有() A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 答案B 3.(2014 课标,7,5 分)正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2,侧棱长为,D 为 BC 中点,则三棱锥 A-B1DC1的体积为() 3 A.3B.C.1D. 3 2 3 2 答案C 4.(2017 江苏,6,5 分)如图,在圆柱 O1O2内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱 O1O2的体积为 V1,球 O
8、 的体 积为 V2,则的值是. 1 2 答案 3 2 5.(2016 浙江,9,6 分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3. 答案80;40 6.(2017 课标全国,18,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90. 1 2 (1)证明:直线 BC平面 PAD; (2)若PCD 的面积为 2,求四棱锥 P-ABCD 的体积. 7 解析(1)证明:在平面 ABCD 内, 因为BAD=ABC=90, 所以 BCAD. 又 BC平面 PAD,AD平面 PAD,故
9、BC平面 PAD. (2)取 AD 的中点 M,连接 PM,CM. 由 AB=BC= AD 及 BCAD,ABC=90得四边形 ABCM 为正方形,则 CMAD. 1 2 因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD,所以 PMAD,PM底面 ABCD. 因为 CM底面 ABCD, 所以 PMCM. 设 BC=x,则 CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x. 23 取 CD 的中点 N,连接 PN, 则 PNCD,所以 PN=x. 14 2 因为PCD 的面积为 2, 7 所以 xx=2, 1 2 2 14 2 7 解得 x=-2(舍去)或 x
10、=2.于是 AB=BC=2,AD=4,PM=2. 3 所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V= 2=4. 1 3 2 (2 + 4) 2 33 7.(2016 课标全国,19,12 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H.将 DEF 沿 EF 折到DEF 的位置. (1)证明:ACHD; (2)若 AB=5,AC=6,AE= ,OD=2,求五棱锥 D-ABCFE 的体积. 5 4 2 解析(1)证明:由已知得 ACBD,AD=CD. 又由 AE=CF 得=,故 ACEF.(2 分) 由此得 EFHD
11、,EFHD,所以 ACHD.(4 分) (2)由 EFAC 得= .(5 分) 1 4 由 AB=5,AC=6 得 DO=BO=4. 2- A2 所以 OH=1,DH=DH=3. 于是 OD2+OH2=(2)2+12=9=DH2,故 ODOH. 2 由(1)知 ACHD,又 ACBD,BDHD=H,所以 AC平面 BHD,于是 ACOD. 又由 ODOH,ACOH=O,所以 OD平面 ABC.(8 分) 又由=得 EF= . 9 2 五边形 ABCFE 的面积 S= 68- 3=.(10 分) 1 2 1 2 9 2 69 4 所以五棱锥 D-ABCFE 的体积 V= 2=.(12 分) 1
12、3 69 4 2 232 2 教师用书专用(827) 8.(2015 浙江,2,5 分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是() A.8 cm3 B.12 cm3 C. cm3 D. cm3 32 3 40 3 答案C 9.(2015 湖南,10,5 分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的 一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=() 新工件的体积 原工件的体积 A.B.C.D. 8 9 8 27 24(2- 1)3 8(2- 1)3 答案A 10.(2014 湖北,10,5 分)算数书竹简
13、于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍, 其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其 体积 V 的近似公式 VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么,近似公式 VL2h 相当于将圆锥体积公 1 36 2 75 式中的 近似取为() A.B.C.D. 22 7 25 8 157 50 355 113 答案B 11.(2014 四川,4,5 分)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是() 锥体体积公式:V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为
14、高 1 3 A.3B.2C.D.1 3 答案D 12.(2014 重庆,7,5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() A.12B.18C.24D.30 答案C 13.(2013 课标全国,11,5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() A.16+8 B.8+8 C.16+16D.8+16 答案A 14.(2013 浙江,5,5 分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是() A.108 cm3B.100 cm3C.92 cm3D.84 cm3 答案B 15.(2016 四川,12,5 分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.
15、 答案 3 3 16.(2015 天津,10,5 分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3. 答案 8 3 17.(2015 四川,14,5 分)在三棱柱 ABC-A1B1C1中,BAC=90,其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形.设点 M,N,P 分别是棱 AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥 P-A1MN 的体积是. 答案 1 24 18.(2014 天津,10,5 分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3. 答案 20 3 19.(2013 湖北,16,5 分)我国古代数学名著数书九章中有
16、“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆 盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是寸.(注:平地降雨量等 于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸) 答案3 20.(2013 天津,10,5 分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为. 9 2 答案 3 21.(2015 安徽,19,13 分)如图,三棱锥 P-ABC 中,PA平面 ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60. (1)求三棱锥 P-ABC 的体积; (2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 ACBM,并求的值. 22.(2015 课标,19,12 分)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点 E,F 的 平面 与此长方体的面相交,交线围
