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1、1 多维随机变量及其联合分布2 边际分布与随机变量的独立性 3 多维随机变量函数的分布4 多维随机变量的特征数5 条件分布与条件数学期望,第三章 多维随机变量及其分布,第三章 多维随机变量及其分布,1 多维随机变量及其联合分布,1.1 多维随机变量1.2 联合分布函数1.3 二维离散型随机变量及联合分布律 1.4 二维连续型随机变量 1.5 常用的多维随机变量,1.1 多维随机变量,1 多维随机变量及其联合分布,图示,实例 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量.,二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例 考
2、查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ).,说明,1.2 多联合分布函数,二维随机变量联合分布函数的性质,性质1 F(x,y)分别关于x和y单调不减.,.,性质3 F(x,y)分别关于x和y右连续.,证明 对任意的,因为,所以,即,同理可证,对任意的,有,性质1 F(x,y)分别关于x和y单调不减.,证明,证明,性质3 F(x,y)分别关于x和y右连续.,证明,证明,1.3 二维离散型随机变量及联合分布律,二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为,解 (X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), 则
3、(X,Y)的联合分布律为,解,且由乘法公式得,例,( X, Y ) 所取的可能值是,解,抽取两支都是绿笔,抽取一支绿笔,一支红笔,例 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色 圆珠笔的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别 表示抽出的蓝笔数和红笔数,求 ( X, Y ) 的分布律.,故所求分布律为,例 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数.,( X, Y ) 的可能取值为,解,故 ( X ,
4、Y ) 的分布律为,下面求分布函数.,所以( X ,Y ) 的分布函数为,说明,离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为,二维离散型随机变量联合分布律的性质,性质1,证 因为,所以,性质2,证,1.4 二维连续型随机变量,表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.,说明,解 (1)由,得,所以 k=6,(2),解 由,则,当x1,y1时,所以(X,Y)的联合分布函数,例,解,(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标,即有,1.5 常用的多维随机变量,1.5.1 多项式分布,1.5.2 多维超几何分布,1.5.3 多维均匀分布,例 已知随机变量
5、 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布, 试求( X , Y )的分布密度及分布函数,其中D为x 轴, y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 .,解,所以 ( X , Y ) 的分布函数为,1.5.4 二维正态分布,若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度,二维正态分布的图形,2 边际分布与随机变量的独立性,2.1 边际分布函数2.2 边际分布律2.3 边际密度函数2.4 随机变量的独立性,2 边际分布与随机变量的独立性,2.1 边际分布函数,解 (X,Y)关于X的边缘分布函数,解 (X,Y)关于Y的边缘分布函数,2.2 边际分布律,例: 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次
6、抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求(X,Y)的概率函数 .,解（X, Y）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8,P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8,P(X=2, Y=1)=3/8,P(X=3, Y=0)=1/8,列表如下,二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布. 那么要问: 二者之间有什么关系呢?,从表中不难求得:,P(X=0)=1/8,P(X=1)=3/8,P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)
7、=P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1)=3/8+3/8=6/8,P(Y=3)=P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3)=1/8+1/8=2/8.,注意这两个分布正好是 表的行和与列和.,这里称X,Y各自的概率函数分别为(X,Y)关于X和Y的边际概率函数.,我们常将边际概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边际分布这个名词.,如表 所示,联合分布与边际分布的关系,由联合分布可以确定边际分布;,但由边际分布一般不能确定联合分布.,(1) (X,Y)关于X的边际(缘)分布律,(2) (X,Y)关于Y的边际(缘)分布律,因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为,例
8、 已知下列分布律求其边缘分布律.,注意,联合分布,边缘分布,解,解,2.3 边际密度函数,边际（缘）密度函数完全由联合密度函数所决定.,Y 的边缘分布函数,Y 的边缘概率密度.,设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)则,从而得到X和Y的概率密度函数分别为,解,例,例,解,由于,于是,则有,即,同理可得,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,请同学们思考,边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分 布一定是二维正态分布吗?,不一定.,举一反例以示证明.,答,因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.,例: 设(X,Y)的概率密度是,求 (1) c
9、的值； （2）两个边际密度.,=5c/24=1,c =24/5,解 (1),例: 设(X,Y)的概率密度是,解 (2),求 (1) c的值; (2) 两个边际密度 .,注意积分限,注意取值范围,例: 设(X,Y)的概率密度是,解 (2),求 (1) c的值; (2) 两个边际密度 .,注意积分限,注意取值范围,即,在求连续型 r.v 的边际密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分. 当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 .,解 （X，Y）的联合密度函数,则（X，Y）关于X的边缘密度函数,（X，Y）关于Y的边缘密度函数,2.4 随机变量的独立性,随机变量相互独
10、立是概率论中非常重要的概念,它是随机事件相互独立的推广.本节主要讨论两个随机变量相互独立的一般性定义,然后对两个离散性随机变量和两个连续性随机变量相互独立进行不同的处理.,两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .,例：甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？,解 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻,以12时为起点,以分为单位,依题意,XU(15,45),
11、YU(0,60),所求为P( |X-Y | 5) 及P(XY),甲先到 的概率,由独立性,先到的人等待另一人 到达的时间不超过5分钟 的概率,解,P(| X-Y| 5),=P( -5 X -Y 5),=1/6,=1/2,P(XY),=P(X Y) why?,证 X与Y的联合分布律与边缘分布律如表所示:,解,例,(1)由分布律的性质知,特别有,又,(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有,解,由于X 与Y 相互独立,例,因为 X 与 Y 相互独立,解,所以,求随机变量 ( X, Y ) 的分布律.,例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在812 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时,
12、设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 公室的时间相差不超过 5 分钟的概率.,解,于是,例: 设(X,Y)的概率密度为,问X和Y是否独立？,解,x0,即：,y 0,故X,Y 独立,解,0x1,0y1,由于存在面积不为0的区域，,故X和Y不独立 .,解 (1),例:设随机向量(X,Y)的概率密度函数为,试证X和Y相互独立.,解,于是有 p(x,y)= pX(x) pY(y) 所以X和Y相互独立.,解 (1)X与Y的密度函数分别为,因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的联合密度函数,解 (2)因为,所以,例:设(X,Y)N(1,2,12,22,), 求证X和Y相互独立的充要条件为参数=0.,
13、证明 因为X,Y的联合分布概率密度为,又因为关于X,Y的边缘概率密度函数分别为,所以,因此,(1)若=0 ,则对于所有的x,y,有 p(x,y)= pX(x)pY(y) 即X和Y相互独立.,(2)如果X和Y相互独立, 则对于所有的x,y有 p(x,y)= pX(x) pY(y),特别,令x= 1, y= 2,则有,从而=0.,定义:设 F(x1, x2, xn)及Fi (xi)分别为(X1, X2, Xn)和Xi的分布函数,对于任意n个实数x1, x2, xn,有 F(x1, x2, xn)= F1 (x1) F2 (x2) .Fn (xn) 则称X1, X2, Xn是相互独立的.,定义:设X
14、i, Xj的联合分布函数为 Fij(xi, xj) ,Xi, Xj的分布函数分别为Fi (xi), Fj (xj),若对于任意的ij及对于任意实数xi, xj有 F(xi, xj)= Fi (xi) Fj (xj) (i,j=1,2,n) 则称X1, X2, Xn是两两独立的.,定理:设X1, X2, Xn相互独立,则其中任意k(2kn)个随机变量Xi1, Xi1, Xik也是相互独立的.,证明 令1,2,n-i1,i1,i1k=ik+1,ik+2,in,则(Xi1, Xi1, Xik) 的分布函数为,即Xi1, Xi1, Xik是相互独立的.,定理:设p(x1, x2, xn)为n维连续型随
15、机向量(X1, X2, Xn)的联合概率密度函数, pi(xi)为Xi的密度函数, 则X1, X2, Xn相互独立的充要条件是 p(x1, x2, xn)= p1(x1) p2(x2). pn(xn) 几乎处处成立.,定义:设X1, X2, Xn,为一随机变量序列, 若对任意k(k=2,3,.)个随机变量Xi1, Xi1, Xik的联合分布函数有 F(xi1, xi2, xik)= Fi1(xi1) Fi2(xi2) .Fik(xik) 其中Fir(xir)为Xir的分布函数,则称随机变量序列是相互独立的随机变量序列.,定理: 若X1, ,Xn相互独立,而 Y1=f1(X1), Yn=fn (
16、Xn)则 Y1,Yn相互独立.,定理: 若X1, ,Xn相互独立,而 Y1=g1(X1, ,Xm), Y2=g2 (Xm+1, ,Xn) 则Y1与Y2独立 .,3 多维随机变量函数的分布,3.1 多维离散随机变量函数的分布3.2 最大值与最小值分布3.3 连续型随机向量函数的分布3.4 商的分布3.5 随机向量的变换,为了解决类似的问题下面 我们讨论随机变量函数的分布.,问题的引入,3 多维随机变量函数的分布,解决两个随机变量函数的分布的方法与一个随机变量函数的分布的方法是一样的,只是前者要比后者复杂得多.有鉴于此,我们仅仅对几种特殊的情形加以讨论.,3.1 多维离散随机变量函数的分布,例,解,等价于,结论,例 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为,求随机变量 Z=X+Y 的分布律.,可得,离散型卷积公式
