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1、2020 年中考数学专题训练：圆的综合练习 1对于平面内C和C外一点P，若过点P的直线l与C有两个不同的公共点M，N，点 Q为直线l上的另一点，且满足（如图 1 所示），则称点Q是点P关于的密切点 已知在平面直角坐标系xOy中，O的半径为2，点P（ 4，0） （1）在点D（2，1），E（1，0），F（3，）中，是点P关于O的密切点的为E （2）设直线l方程为ykx+b，如图 2 所示， k时，求出点P关于O的密切点Q的坐标； T的圆心为T（t，0），半径为2，若T上存在点P关于O的密切点，直接写出t 的取值范围 解：（ 1）当圆心在坐标原点时，直线l为y0 时， O的半径为2，点P（4，0）
2、M（2，0），N（ 2，0），PM2，PN6， ， ， 设Q点坐标为（x，y），则QM|2 x| ，QN|x（ 2）| |x+2| ， ， |2+x| 3|2 x| ， 2+x6 3x，或 2+x3x6， x1，或x4， E（1，0）是点P关于O的密切点 故答案为：E （2）依题意直线l：ykx+b过定点P（4，0）， k 将P（4，0）代入yx+b得： 04+b， b， yx+ 如图，作MAx轴于点A，NB垂直x轴于点B， 设M（x，x+），由OM2 得： x 2+ 4， 5x 2 4x100， 则M，N两点的横坐标xM，xN是方程 5x 24x100 的两根， 解得xM，xN， AB，PA
3、，PB， ， ， ， HA， OHOAHA1， Q（1，1） 点P关于O的密切点的轨迹为切点弦ST（不含端点），如图所示： 1t 0 或 2t3 2定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所 对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”如图1，ABC中，点D是BC 边上一点，连结AD，若AD 2 BD?CD，则称点D是ABC中BC边上的“好点” （1）如图 2，ABC的顶点是43 网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好 点” （2）ABC中，BC9，tanB，tanC，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的 长 （3）如图 3，ABC是O的内接三
4、角形，OHAB于点H，连结CH并延长交O于点D 求证：点H是BCD中CD边上的“好点” 若O的半径为9，ABD90，OH6，请直接写出的值 解：（ 1）如答图1，当CDAB或点D是AB的中点是，CD 2 AD?BD； （2）作AEBC于点E，由，可设AE4x， 则BE3x，CE6x， BC9x 9，x1， BE3，CE6，AE4， 设DEa， 如答图2，若点D在点E左侧， 由点D是BC边上的“好点”知，AD 2 BD?CD， a 2+42（ 3 a）（ 6+a），即 2a 2+3a20， 解得，a2 2（舍去）， 如答图3，若点D在点E右侧， 由点D是BC边上的“好点”知，AD 2 BD?CD
5、， a 2+42（ 3+a）（ 6 a），即 2a 23a 20， 解得a12，（舍去） BD3+a3+25 或 5 （5）CHABHD，ACHDBH AHCDHB， ，即AH?BHCH?DH， OHAB， AHBH， BH 2 CH?DH 点H是BCD中CD边上的“好点” 理由如下：如答图4，连接AD，BD， ABD90， AD是直径， AD18 又OHAB， OHBD 点O是线段AD的中点， OH是ABD的中位线， BD2OH12 在直角ABD中，由勾股定理知：AB 6 由垂径定理得到：BHAB3 在直角BDH中，由勾股定理知：DH3 又由知，BH 2 CH?DH，即 453CH，则CH
6、，即 3数学概念 若点P在ABC的内部， 且APB、 BPC和CPA中有两个角相等， 则称P是ABC的 “等 角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P是ABC的“强等角点” 理解概念 （1）若点P是ABC的等角点，且APB100，则BPC的度数是100或 160或 130 （2）已知点D在ABC的外部，且与点A在BC的异侧，并满足BDC+BAC180 作BCD的外接圆O，连接AD，交O于点P 当BCD的边满足下面的条件时，求证：P是ABC的等角点 （要求：只选择其中一道题进行证明！） 如图，DBDC 如图，BCBD 深入思考 （3）如图，在ABC中，A、B、C均小于 120，用直尺和圆规作它的
7、强等角点 Q（不写作法，保留作图痕迹） （4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： 直角三角形的内心是它的等角点； 等腰三角形的内心和外心都是它的等角点； 正三角形的中心是它的强等角点； 若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等； 若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点， 其中，正确的有（填序号） 解：（ 1）如答图1，点P在ABC的内部， 根据题意知，APBBPC100； 当APBCPA100时，BPC360 100 100 160； 当APB100，BPCCPA时，BPCCPA130 综上所述，BPC的度数是100或 160或 130
8、故答案是： 100或 160或 130 （2）选择： 如答图 2，连接PB、PC DBDC， BPDCPD APB+BPD180，APC+CPD180， APBAPC P是ABC的等角点 选择：如答图3，连接PB、PC BCBD， BDCBPD 四边形PBDC是O的内接四边形， BDC+BPC180 BPD+APB180， BPCAPB P是ABC的等角点 （3）如答图 4，在BCD中，BDBCCD，点Q即为所求 （4）理由如下： 等腰直角三角形的内心是它的等角点，故不符合题意； 等腰三角形内心是它的等角点，故不符合题意； 正三角形的中心是它的强等角点，故符合题意； 若一个三角形存在强等角点，
9、则该三角形是正三角形，则该强等角点是正三角形的内 心，该点到三角形三边的距离相等； 若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点 对于（ 4）中的说明： 由（ 3）可知，当ABC的三个内角都小于120时，ABC必存在强等角点Q 如答图 5，在三个内角都小于120的ABC内任取一点Q，连接QA、QB、QC， 将QAC绕点A逆时针旋转60到MAD，连接QM 由旋转得QAMA，QCMD，QAM60， AQM是等边三角形 QMQA QA+QB+QCQM+QB+MD B、D是定点， 当B、Q、M、D四点共线时，QM+QB+MD最小，即QA+QB+QC最小 而当Q为ABC的强等角
10、点时，AQBBQCCQA120AMD 此时便能保证B、Q、M、D四点共线，进而使QA+QB+QC最小 4如图，ABC内接于O，AB为O的直径，D为的中点， 过D作DFAB于点E，交O 于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF （1）求证：BFGDCG； （2）若AC10，BE8，求BF的长； （3）在（2）的条件下，P为O上一点，连接BP，CP，弦CP交直径AB于点H，若BPH 与CPB相似，求CP的长 解：（ 1）D是的中点，则， AB为O的直径，DFAB， ， ，BFCD， 又BFGDCG，BGFDGC， BFGDCG（AAS）； （2）如图 1，连接OD交BC于点M， D为的中点， ODB
11、C，BMCM， OAOB， OM是ABC的中位线， OMAC5， ， ， OEOM 5， ODOBOE+BE 5+813， EFDE12， BF4； （3）如图 2，弦CP交AB于点H，则点P与点C在直径的两侧，则CBPHBP， 又CPBBPH， ACPBCP， AB是直径，则ACBAPB90， ACPBCP45， 过点B作BNPC于点N，由（ 2）得AB26， 在 RtCBN中，CNBNBC 12， CABCPB， tan CABtan CPB，即，故PN5， PCCN+PN5+1217 5如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC、BD相交于点F，AC是O的直径，延长CB 到点E，连接AE，
12、BAEADB，ANBD，CMBD，垂足分别为点N、M （1）证明：AE是O的切线； （2）试探究DM与BN的数量关系并证明； （3）若BDBC，MN2DM，当AE时，求OF的长 （1）证明：AC是O的直径， ADC90， ADB+BDC90， BACBDC，BAEADB， BAE+BAC90，即CAE90， AEAC， AE是O的切线； （2）解：DMBN，理由如下： ANBD，CMBD，ADC90， ANDANBDMCADC90， ADN+MDCMCD+MDC90， ADNMCD， DMCAND， ， ABNACD，ANBADC90， ADCANB， ，即， ， DMBN； （3）解：由（
13、2）知DMBN，则BMDN， 设DMBNa， MN2DM，BDBC， MN2a，BMDN3a，BDBC4a， BMC90， CMa， AC是O的直径，ANBD， ABCAND90， ADBACB， ADNACB， ， 设AN3b，AB4b（b0）， ANBABC90，BNa， AN 2+BN2 AB 2，即（ 3b）2+a2（ 4b）2， 解得：ba， ANa，ABa， BC4a， ACa， cosACBcosADBcosEAB， AE， ABAE cosEABa， a， AC， OCAC， ANFCMF90，AFMMFC， ANFCMF， ， CFAC， OFCFOC 6如图，在平面直角坐标
14、系中，0 为坐标原点，点A、B分别为直线y+6 与x轴、y 轴的交点动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1 个 单位长度 / 秒的速度匀速运动，运动时间为t秒（ 0t5），以P为圆心，PA长为半径 的P与AB、OA的交点分别为C、D，连接CD、QC （1）求当t为何值时，点Q与点D重合？ （2）设QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值； （3）若P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围 解：（ 1）点A、B分别为直线y+6 与x轴、y轴的交点， A（8，0），B（0，6）， OA8，OB6， AB， ，sin AC为P的直径， ACD
15、为直角三角形 ADAC?cosBAO2t 当点Q与点D重合时，OQ+ADOA， 即：t+，解得：t t时，点Q与点D重合 （2）在 RtACD中，CDAC?sin BAO2t 当 0t，DQOAOQAD8t S ， 当t时，S有最大值为； 当时，DQOQ+ADAOt+ ， 所以S随t的增大而增大， 当t5 时，S有最大值为15，又 15， 综上所述，S的最大值为15 （3）当CQ与P相切时，有CQAB， BAOQAC，AOBACQ90， ACQAOB， ， 即，解得t 所以，P与线段QC只有一个交点，t的取值范围为0或 7如图，AB是O的直径，ACAB，BC交O于点D，点E在劣弧BD上，DE的
16、延长线交 AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G （1）求证：AEDCAD； （2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED 2 EG?EA； （3）在（ 2）的条件下，若BOBF，DE2，求EF的长 （1）证明：AB是O的直径， ADB90， ACAB， CAB90， ABDCAD， ， AEDABD， AEDCAD； （2）证明：点E是劣弧BD的中点， ， EDBDAE， DEGAED， EDGEAD， ， ED 2 EG?EA； （3）解：连接OE， 点E是劣弧BD的中点， DAEEAB， OAOE， OAEAEO， AEODAE， OEAD， ， BOBFOA，DE2， ， EF4 8如图，在RtABC中，ACB 90，以直角边BC为直径作O、交AB于点D，E为AC 的中点，连接DE （1）求证：DE为O的切线； （2）已知BC4填空 当DE2 时，四边形DOCE为正方形； 当DE2时，BOD为等边三角形 （1）证明：如图，连接CD，OE， BC为O的直径， BDC90， DE为 RtADC的斜边AC上的中线， 在COE与DOE中，
