北京四中---高中数学高考综合复习 专题十五 向量的概念与运算

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1、1高中数学高考综合复习 专题十五 向量的概念与运算一、知识网络 二、高考考点1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选2择题或填空题的形式出现。2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主要是：（1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用；（2）向量共线的充要条件的应用；（3）向量垂直的充要条件的应用；（4）向量的夹角的计算与应用；（5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化。3、线段的定比分点线或平移问题。4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题，以向量为载

2、体的函数或解析几何问题（多以解答题的形式出现）。三、知识要点（一）向量的概念1、定义（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。（2）向量的模：向量 的大小（即长度）叫做向量 的模，记作 。特例：长度为 0 的向量叫做零向量，记作 ；长度为 1 的向量叫做单位向量.（3）平行向量（共线向量）：一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.特殊规定： 与任一向量平行（即共线）. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。零向量与零向量相等。认知：向量的平移具有“保值性”。2、向量的坐标表示（1）定义：在直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位

3、向量 、 作为基底，任作一个向量 ,则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x，y 使得 ，将有序实数对（x,y）叫做向量 的坐标，记作；并将 叫做向量 的坐标表示。（2）认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。（二）向量的运算1、向量的加法2、向量的减法33、实数与向量的积（1）定义（2）实数与向量的积的运算律：（3）平面向量的基本定理：如果 是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 1， 2 使，这两个不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（4）向量共线的充要条件：（i）向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 使 （ii）设 则： 4

4、、向量的数量积（内积）（1）定义：（i）向量的夹角：已知两个非零向量 和 ，作 叫做向量 与 的夹角。（ii）设两个非零向量 和 的夹角为 ，则把数量 叫做 与 的数量积（内积），记作 ，即 并且规定：零向量与任一向量的数量积为 0.（2）推论设 、 都是非零向量，则（i） （ii） （iii） 4(3)坐标表示(i) 设非零向量 ，则 (ii)设 (4)运算律（自己总结，认知）四、经典例题例 1判断下列命题是否正确：（1）若 的方向相同或相反；（2）若 （3）若 则 A、B、C、D 四点组成的图形为梯形；分析：（1）不正确 不能比较方向。（2）不正确 当 时，虽然对任意 ， 都有 不一定平行

5、。（3）不正确 ，故这里的已知条件也包含 A、B、C、D 四点共线的情形。点评：判断或证明向量的共线或垂直问题，务必要注意有关向量为零向量的情形，判断失误或解题出现疏露，多是零向量惹的祸。例 2设点 O 为 ABC 所在平面内一点（1）若 ，则 O 为 ABC 的（ ）A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心（2）若 ，则 为 ABC 的（ ）A、外心 B、内心 C、重心 D、重心5（3）若动点 P 满足 ,则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的（ ） A、外心 B、内心 C、重心 D、重心（4）若动点 P 满足 ,则点 P 轨迹一定通过 ABC 的（ ） A、外心 B、内心 C、重心 D、重心分

6、析：（1）借助向量加法分析已知条件：以 、 为邻边作平行四边形 OBDC，并设 ODBC=E，则由平行四边形性质知，E 为 BC 和 OD 中点。 且 由、得 A、O、E、D、四点共线 且 于是由、知 O 为 ABC 的重心，应选 D(2)由 同理可得 OABC,OCAB于是可知，O 为 ABC 的垂心，应选 C（3）由已知得 令 ，则 是 上的单位向量，令 ，则 是 上的单位向量。由得： 令 ,则点 Q 在角 A 的平分线上 又由知的 与 共线且同向（或 ）动点 P 在角 A 的平分线上点 P 的轨迹一定通过 ABC 的内心，应选 B。6（4）注意到 的几何意义，=0又由已知的得： 动点 P

7、 在 BC 边的高线上动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的垂心，应选 C。点评：品味各小题，从中参悟解题思路以及三角形的各心的向量特征。例 3：（1） 成立的充分必要条件为（ ）A、 B、 C、 D、 （2）已知 A、B、C 三点共线，O 为该直线外一点，设 且存在实数 m 使， 则点 A 分 所成的比为（ ）A、- B、2 C、 D、-2 分析：（1）注意到不等式 ，当且仅当 、 反向或 、 中至少有一个为 时等号成立，由 得 、 反向或 由此否定 A、B、C，本题应选 D（2）注意到条件的复杂以及已知式变形方向的迷茫，故考虑从“目标 ”分析切入，主动7去沟通“已知”，设 则 (刻意变形，靠

8、拢已知 ) （目标的延伸） 又由已知得： （已知的变形或延伸） 根据两向量相等的条件由、得： 于是可知，点 A 分 所成 的比 ，应选 A点评：（i）（1）对任意向量 、 都有 ，其中，当且仅当 同向或 中至少有一个为 时左边的等号成立；当且仅当 反向或 中至少有一个为 时右边的等号成立；当且仅当 中至少有一个为 时，左右两等号同时成立。（ii）对于（2），“已知”与“目标”相互靠扰，只是切入点是从 “已知”切入还是从“目标” 切入，需要仔细分析。例 4：设 、 分别是平面直角坐标系内 x 轴、y 轴正方向上的两个单位向量，在同一条直线上有 A、B、C 三点，求实数 m、n 的值。解：由题设知

9、 与 共线又 代入得： 7（2n-1）=(n+2)(2n+1)8(n-3)(2n-3)=0当 时代入得： m=3当 时代入得：m=6 m=6，n=3 或 m=3， 点评：不失时机地利用向量的坐标表示，是解题的基本技巧。例 5 设 试求满足：（这里 O 为原点）分析：注意到 的坐标即点 D 的坐标，可从设 坐标，由（x,y）切入，去 建立关于 x，y 的方程组。解：设 ，则点 D 坐标为（x,y）则由已知条件 得： x-2y+1=0 由 得： x+4=3(y-1) x-3y+7=0 于是将、联立，解得： 点评：本题是对向量坐标的概念，向量的垂直与向量的平行的充要条件的综合应用，借此练习，可进一步

10、认识与把握关于向量的概念与公式。例 6 设向量 满足 （1）若 ，求 与 的夹角；9（2）若 的值。解：（1）设 与 的夹角为 ，则 于是由代入得 ： 注意到 O, ,可得结果 （2）解法（着眼于对 等各个击破）一方面由已知得： 又 由、得 注意到 ，当且仅当 ， 同向或 ， 中至少有一个为 时等号成立由得 与 同向另一方面，又由 知， 与 反向与 的夹角为 0， 与 的夹角为 180， 与 的夹角为 180原式 =31-14-34=-13解法二（着眼于寻求目标与已知的整体联系）：10由已知条件得 解法三（从寻求目标局部的值切入）：原式 同理， 点评：解法二与解法三，均着眼于整体代入，解题过程

11、简明，比解法一有明显优势。但是，解法一中对已知数值的利用，却对今后的条件求值有着不可替代的潜在作用，条件求值中对已知数据的应用主要有以下三个方面：（1）利用数值本身（代入）；（2）分别利用数值的绝对值和符号；（3）利用有关数值的关系沟通有关元素间的联系（比如，由 3+1=4，3 2+42=52 沟通联系等）。例 7已知 的夹角为 120，且 ,试求 m，n 及 与 的夹角。解法一：（利用内积的定义），设 与 的夹角为 ，由 再 再由： 由，得 将代入得： 11于是由，得所求 ,n=-4, 的夹角为 30或 150点评 1：本题已知条件繁多，头绪纷乱，更需要在解题时梳理思绪。注意到所求 m、n

12、含在 中，故在求出 、 的值之后，以 的变形为主线展开求索：变形 1. 变形 2. 变形 3. 于是，整个解题过程既显得有条不紊，又感觉酣畅淋漓。解法二（利用向量的坐标）：设 ， 与 的夹角为 ，由已知得 由 又 x12+y12=8 x 22+y22=4 由，解得 或 由，解得 或 将上述 ， 坐标分四次代入 便解得 n=-4， , =30或 150点评 2：本解法致力于求 与 的坐标，虽然解题过程仍然曲折，但思路明朗，更多几分胜算。12例 8 设 的夹角为 ，分析：此题为以向量为载体的三角求值问题，因此，从化简 ， 的坐标切入，向三角函数中常见的关系式转化。解： 注意到这里 由、得到 于是由

13、、得 由、得 解得 13因此由得 点评：在这里，利用实数与向量的乘法的法则，将 表为 ,从而为简化 及 的表达式以及简化 的表达式奠定良好的基础。五、高考填题（一）选择题、1、（2005湖南卷）P 是 ABC 所在平面上一点，且 ，则 P 是 ABC 的（ ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心分析：由 同理，ABPC,BCPA点 P 为 ABC 的垂心，应选 D2、（2005山东卷）已知向量 ， ,且 ,则一定共线的三点是（ ）AA、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A 、C 、D分析：利用两向量共线的充要条件来判定，从寻找所给向量的联系切入由题意得 A、B、D 三点共线，应选 A3、（2005全国卷 B）已知点 A（ ,1），B（0，0 ），C（ ，0），设BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于E，那么有 ,其中 等于（ ）A、 2 B、 C、-3 D、- 14分析：从认知目标切入，由题设易知 与 反向，故 0 又由三角形内角平分线定理得 即 =3 于是由、得 =-3，应选 C4、（2005北京卷）若 , , ，则向量 与 的夹角为（ ）A、30B、60 C、120 D、150分析：令向量 与 的夹角为 ，则 又由 得 于是将已知与代入得 所得 ，应选 C5、（2005福建）在 ABC 中， ， ， ，则 k 的值是（ ）。A、5 B、-