函数模型的应用实例3

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1、函数模型的应用实例,高一新教材,从以上两个例子，我们看到对数函数，指数函数和幂函数在第一区间的增长是有差异的，下面用几何画板来观察它们的差异,进入几何画板,1.对数函数y=logax(a1)，指数函数y=ax(a1)与幂函数y=xn(n0)在区间（0,+)上增长情况的比较:,2.对数函数y=logax(0a1)，指数函数y=ax(0a1)与幂函数y=xn(n0)在区间（0,+)上衰减情况的比较:,1.在区间(0, ,+)上,尽管函数y=logax(a1)，y=ax(a1)与y=xn(n0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上。随着x的增大，y=ax（a1)的增长速度越来越

2、快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度,而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢. 因此总存在一个x0,当x x0时,就会有 logaxxn ax,2.在区间(0, ,+)上,尽管函数y=logax(0 x0时,就会有 logaxaxxn,课本113页练习,你能用同样的方法,讨论一下函数y=logax(0a1)，y=ax(0a1)与y=xn(n0)在区间(0, ,+)上衰减情况吗?,结论:,在区间(0, ,+)上,尽管函数y=logax(0 x0时,就会有 logaxaxxn,复习一次函数与二次函数模型,学习例1，提高读图、建模能力,布置作业,设计练习，加强读图、建模能力的培养,

3、学习例2，提高读表、建模能力,设计练习，加强读表、建模能力的培养,小结方法，形成知识系统,1.一次函数的解析式为_ , 其图像是一条_线， 当_时，一次函数在 上为增函数，当_时， 一次函数在 上为减函数。,2.二次函数的解析式为_, 其图像是一条 _线，当_时，函数有最小值为_，当_ 时，函数有最大值为_。,直,抛物,这个函数的图像如下图所示：,(2)根据图形可得：,一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示： （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与

4、时间t h的函数解析式，并作出相应的图象,1,2,3,4,5,例4：人口问题是当今世界各国普遍关注 的问题。认识人口数量的变化规律，可以 为有效控制人口增长提供依据。早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型：,其中t表示经过的时间， 表示t=0时的人 口数，r表示人口的年平均增长率。,下面是19501959年我国的人口数据资料：,(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨 斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口 增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否 相符；,(2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一

5、年 我国的人口达到13亿？,因为,，所以可以得出,于是，19511959年期间，我国人口的年 平均增长率为：,根据马尔萨斯人口增长模型 ， ，则我国在19511959年期间的人 口增长模型为,1,2,3,从该图可以看出，所得模型与 19501959年的实际人口 数据基本吻合。,（2）将y=130000代入 得：,大约在1950年后的第39年（1989年）我国人口就已达到13亿,函数模型的应用实例,应用已知函数模型解决问题,收集数据，建立函数模型解决问题,根据图表，建立函数模型解决问题,数学模型为二次函数的问题 二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（最小值），故常常最优、

6、最省等最值问题是二次函数的模型。,分析：由表中信息可知销售单价每增加1元，日均销售量就减少40 桶销售利润怎样计算较好？,解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为,（桶）,而,有最大值,只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。,例6 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:,(1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近视地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.,(2)若体重超过相同身高男性体重平均的1.2倍为偏胖，低于0.8倍偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生

7、的体重是否正常?,分析;这里只给了通过测量得到的统计数据表,要想由这些数据直接发现函数模型是困难的.同学们想想办法.,提示:函数的三种表示方法可以互相转化使用,它们各有优劣,同学们根据这些数据画出散点图,在进行观察和思考,所作的散点图与已知的哪个函数图像最接近,从而选择函数模型.,通过散点图,发现指数型函数yabx的图像可能与散点 图的吻合较好,而函数中只有两个待定参数故只需选取两组 数据就能求出a,b。这里共有12组数据，是否任取两组数据， 得到的a，b的值会相同？,请同学分组选取数据操作 第一，二组同学选取（60，13），(70, 90) 第三，四组同学选取 (70, 90)，（160，4

8、7.25） 分别用计算器求出a，b,选取（60，13），(70, 90) 算出a1.338，b1.026， 函数模型y1.338 1.026x,画出函数图像与散点图，我们发现， 散点图上的许多点偏离函数y1.338 1.026x 的图象，所以函数y1.338 1.026x 不能较好地刻画出该地区未成年人体重与身高的关系。,选取 (70, 90)， ，（160，47.25） 算出a2，b1.02，函数模型y2 1.02x,画出函数图像与散点图，我们发现，散点图上的点基本上在或接近函数y2 1.02x的图象，所以函数y2 1.02x能较好地刻画出该地区未成年人体重与身高的关系。,因此，当所选的数据

9、不适合实际，还要对函数模型进行修改,函数应用的基本过程,1、收集数据；,2、作出散点图；,3、通过观察图象判断问题所适用的函数 模型；,4、用计算器或计算机的数据拟合功能得 出具体的函数解析式；,5、用得到的函数模型解决相应的问题。,通过上例的解题过程，体验了利用实际数据拟合函数的过程：,收集数据,画散点图,验 证,选择函数模 型,求函数 模型,用函数模型解决实际问题,检验模型,不好,好,待定系数法,注 意,用已知的函数模型刻画实际的问题 时，由于实际问题的条件与得出已知 模型的条件会有所不同，因此往往需 要对模型进行修正。,2.（选做）甲乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调

10、查， 提供了两个方面的信息，如下图：,甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只 乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个 请你根据提供的信息说明： 第2年甲鱼池的个数及全县甲鱼总数 到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由。,布置作业,1 . (必做)课本第126页 练习1,2,函数模型的应用实例,第二课时,1.一次函数的解析式为_ , 其图像是一条_线， 当_时，一次函数在 上为增函数，当_时， 一次函数在 上为减函数。,2.二次函数的解析式为_, 其图像是一条 _线，当_时，函数有最小值为_，当_ 时，函数有最大值为_。,

11、直,抛物,问题,3、某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。,如果用纵轴表示家到教室的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（ ）,例1：,一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？,解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以

12、列表分析：,y在x 250，400上是一次函数,则每月获利润y（6x750）（0.8x200）6x0.8x550（250 x400）,x400份时，y取得最大值870元,答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元,例1一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？,分析：由表中信息可知销售单价每增加1元，日均销

13、售量就减少40 桶销售利润怎样计算较好？,解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为,（桶）,而,有最大值,只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。,；,（2）、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿 纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：,，时间单位：天）,解(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为:,由图2可得种植成本与时间的函数关系式为:,(2)设 时刻的纯收益为 ,则由题意得 即,综上,由 可知, 在 上可以取得最大值 100,此时 =50,即二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益 最大.,1.一家旅社有100间相同的客房

14、，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：,要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）,A.20元 B.18元 C.16元 D.14元,2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为( ),A.95元 B.100元 C.105元 D.110元,C,A,y=(90+x-80）（400-20 x),1.下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个 图像写出一件事。,我离开家不久，发现自己把作业忘在家里，于是返回家里找到作业再上学,我骑车一路匀速行驶

15、，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间,我出发后，心情轻松，缓慢行进，后来为了赶时间开始加速,A,B,C,D,2.在一定范围内，某种产品的购买量为y t，与单价X元之间满足一次函数关系 如果购买1000t，每吨为800元，如果购买2000t，每吨为700元，一客户购买400t，单价应该为（ ） A.820 元 B.840元 C.860元 D.880元,c,1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：,要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）,A.20元 B.18元 C.16元 D.14元,2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为( ),A.95元 B.100元 C.105元 D.110元,C,A,应用函数知识解应用题的方法步骤： (1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键。 转化来源于对已知条件的综合分析，归纳与抽象，并与熟 知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类。 (2)用相关的函数知识进